Basic Analysis (Jiri Lebl) 14日目 テイラー展開

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Taylor’s theorem

4.3.1 Derivatives of higher orders

$f: I \rightarrow \mathbb{R}$が微分可能なとき,一次導関数$f'$が定義できる.さらに$f'$が微分可能なとき,二次導関数$f''$が定義できる.これを続けていけばn微分可能である限りn次導関数が定義できて,それを$f^{(n)}$と書く.

4.3.2 Taylor’s theorem (テイラー展開)

平均値の定理の拡張としてテイラー展開を考えることができる.
$f(x)$の定義域の中の点$x_0$の近くで,$f$を$f(x_0)$によって近似する.
$$f(x) = f(x_0) + f'(c)(x-x_0)$$
が中間値の定理により成立するが,$c$を$x_0$とすると,誤差が生じる.この誤差をより高次な微分係数を使って近似していく.

Definition 4.3.1

n回微分可能な$f$が$x_0$の近くで定義されているとき,n次テイラー多項式を
$$P^{x_0}_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k$$
と定める.
このとき,テイラー多項式の$k$次導関数(今後,$k$次導関数を$k$次微分とも呼ぶことにする)は
$$P_n^{x_0 (k)}(x)=\sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)} (x_0)}{i!} k!(x-x_0)^{i-k}$$
であって,$x=x_0$とすると,$P_n^{x_0 (k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0)$.

Theorem 4.3.2 (Taylor)

$f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$がn次までの導関数が連続で,$f^{(n+1)}$は$(a, b)$で定義されているとする.
$$f(x) = P^{x_0}_n (x) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1} =\left( \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!} (x-x_0)^k + \frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}\right)$$
が$x, x_0 \in (a,b)$を選ぶたびに$c \in(x, x_0)$を選べば成立する.
$R_n^{x_0} := \frac{f^{(n+1)}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$をラグランジュの剰余項という.
proof.

$$f(x) = P^{x_0}_n (x) + M_{x, x_0} (x-x_0)^{n+1}$$
を満たす$M_{x,x_0}$を見つける.
$$g(s) = f(s) - P^{x_0}_n(s) - M_{x,x_0} (s-x_0)^{n+1}$$
とすると$P_n^{x_0 (k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0)$だから,$s=x_0$のとき
$$g(x_0)=g'(x_0)=\cdots =g^{(n)}(x_0)=0$$
$g(x_0)=0, g(x)=0$が成り立つので,平均値の定理より$x_1 \in (x_0, x)$があって,$g'(x_1)=0$が成立する.$g'$にも平均値の定理を適用して,$g'(x_0)=g'(x_1)=0$から$x_2 \in (x_0, x_1)$があって,$g''(x_2)=0$が成立する.これを繰り返して,$g^{(n+1)}(x_{n+1})=0$となる$x_{n+1} \in (x_0, x)$がある.
$c = x_{n+1}$とすると,$P_n^{x_0}$が$n+1$回微分すると0になるから,
$$g^{(n+1)}(s) = f^{(n+1)}(s) - (n+1)!M_{x, x_0}$$
$s=c$とすれば,$M_{x, x_0} = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}$が成立する.