2017年6月3日土曜日

Basic Analysis (Jiri Lebl) 14日目 テイラー展開

CC BY-NC-SA 3.0

Taylor’s theorem

4.3.1 Derivatives of higher orders

f:IRが微分可能なとき,一次導関数fが定義できる.さらにfが微分可能なとき,二次導関数fが定義できる.これを続けていけばn微分可能である限りn次導関数が定義できて,それをf(n)と書く.

4.3.2 Taylor’s theorem (テイラー展開)

平均値の定理の拡張としてテイラー展開を考えることができる.
f(x)の定義域の中の点x0の近くで,ff(x0)によって近似する.
f(x)=f(x0)+f(c)(xx0)


が中間値の定理により成立するが,cx0とすると,誤差が生じる.この誤差をより高次な微分係数を使って近似していく.

Definition 4.3.1

n回微分可能なfx0の近くで定義されているとき,n次テイラー多項式を
Px0n(x)=nk=0f(k)(x0)k!(xx0)k


と定める.
このとき,テイラー多項式のk次導関数(今後,k次導関数をk次微分とも呼ぶことにする)は
Px0(k)n(x)=ni=0f(i)(x0)i!k!(xx0)ik

であって,x=x0とすると,Px0(k)n(x0)=f(k)(x0).

Theorem 4.3.2 (Taylor)

f:[a,b]Rがn次までの導関数が連続で,f(n+1)(a,b)で定義されているとする.
f(x)=Px0n(x)+f(n+1)(c)(n+1)!(xx0)n+1=(nk=0f(k)(x0)k!(xx0)k+fn+1(c)(n+1)!(xx0)n+1)


x,x0(a,b)を選ぶたびにc(x,x0)を選べば成立する.
Rx0n:=f(n+1)(n+1)!(xx0)n+1をラグランジュの剰余項という.
proof.

f(x)=Px0n(x)+Mx,x0(xx0)n+1


を満たすMx,x0を見つける.
g(s)=f(s)Px0n(s)Mx,x0(sx0)n+1

とするとPx0(k)n(x0)=f(k)(x0)だから,s=x0のとき
g(x0)=g(x0)==g(n)(x0)=0

g(x0)=0,g(x)=0が成り立つので,平均値の定理よりx1(x0,x)があって,g(x1)=0が成立する.gにも平均値の定理を適用して,g(x0)=g(x1)=0からx2(x0,x1)があって,g(x2)=0が成立する.これを繰り返して,g(n+1)(xn+1)=0となるxn+1(x0,x)がある.
c=xn+1とすると,Px0nn+1回微分すると0になるから,
g(n+1)(s)=f(n+1)(s)(n+1)!Mx,x0

s=cとすれば,Mx,x0=f(n+1)(c)(n+1)!が成立する.

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