Basic Analysis (Jiri Lebl) 九日目 中間値の定理

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3.3 Min-max and intermediate value theorem

3.3.1 Min-max theorem

Lemma 3.3.1

$f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$が連続なら,有界
proof.

$f$が非有界であると仮定すると,$\{x_n\} \subset [a,b]$で, $f(x_n) \geq n$をみたす列$\{x_n\}$が存在する.
$\{x_n\}$は有界な列だから,Bolzano-Weierstrassの定理より収束する部分列$\{x_{n_i}\}$がある.$x = \lim x_{n_i}$とすると$x \in [a, b]$であるが$\lim |f(x_{n_i})| \geq \lim |f(x_i)| \geq \lim n = \infty$で,連続性から$|f(x)| = \infty$.これは$f$のrangeが実数であることに反する.

Definition

$f: S \rightarrow \mathbb{R}$が$c$で最小値を取る$\Leftrightarrow \forall x \in S \ \ f(x) \geq f(c)$
$f: S \rightarrow \mathbb{R}$が$c$で最大値を取る$\Leftrightarrow \forall x \in S \ \ f(x) \leq f(c)$
このような$c \in S$があるとき,$f$はそれぞれ最小値,最大値を持つ という.

Theorem 3.3.2 (Minimum-maximum theorem)

$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$が連続であるとき,$f$は最大値,最小値を両方持つ.
proof.

最大値を持つことを示す.
Lemma 3.3.1より$f([a,b])$は有界だから，$M= \sup f([a,b])$が存在する．$M = \lim f(x_n)$である$\{x_n\} \subset [a, b]$がある($\because f(x_n) \leq M < f(x_n)+1/n$をみたす$\{x_n\}$が存在する).
Bolzano-Weierstrassの定理より$x :=\lim\{x_{n_i}\} \in [a, b]$である部分列がある.
$f$の連続性より,$f(x) = \lim f(x_{n_i})=M$. $x \in [a,b]$より，$\max f([a,b])=M=f(x)$.最小値の存在も同様に示せる.

Example 3.3.5

$f(x) = 1/x, S = (0,1)$は,$x \rightarrow 0$につれて$\infty$に発散し,$x \rightarrow 1$につれて$1$に近づくが$\forall x f(x) <1$.このように定義域が閉区間(正確にはコンパクト集合)であることが重要.

Example 3.3.6

連続性も重要．$S = [0,1], f(x) = \begin{cases} 1/x \ \ (x \in (0, 1]) \\ 0 \ \ (x = 0) \end{cases}$としても，$x=0$で非連続なので最大値は存在しない.

3.3.2 Bolzano’s intermediate value theorem (中間値の定理)

Lemma 3.3.7

$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$は連続で, $f(a) < 0, f(b) > 0$とすると, $f(c) = 0$である点$c \in (a, b)$が存在する.

proof.

$\{a_n\}, \{b_n\}$を帰納的に定義する.
(i) $a_1 = a, b_1 = b$
(ii) $f(\frac{a_n+b_n}{2}) \geq 0 \Rightarrow a_{n+1} := a_n, b_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}$>
(iii)$f(\frac{a_n+b_n}{2}) \leq 0 \Rightarrow a_{n+1} := \frac{a_n+b_n}{2}, b_{n+1} = b_n$
ともに有界列だから,それぞれの上限,下限を$c, d$とする.$b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{b_n-a_n}{2}\rightarrow 0$だから$d=c$.また，単調性から$\lim a_n = \lim b_n = c$．ここで，構成より$f(a_n) \leq 0, f(b_n) \geq 0$が常に成立している．よって$\lim f(a_n) \leq 0, \lim f(b_n) \geq 0$.連続性から$0 \leq \lim f(b_n) = f(c) \leq \lim f(a_n) \leq 0 \Rightarrow f(c)=0$が成立．

Theorem 3.3.8 (Bolzano’s intermediate value theorem)

$f: [a,b ] \rightarrow \mathbb{R}$は連続で, $f(a) < y < f(b)$あるいは$f(b) < y < f(a)$なら$f(c)=y$なる$c \in (a, b)$が存在する．
proof.

lemma 3.3.7より明らか

3.3 Exercises

3.3.12

$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$は連続で,$x \leq f(x) \leq x+1$が任意の$x \in \mathbb{R}$で成り立つとする．$f(\mathbb{R}) = \{f(x)| x \in \mathbb{R}\}$を求めよ.

$c \in \mathbb{R}$がかならず$f(\mathbb{R})$の元であることを示す.$f(x)=c$なる$x$が存在しないと仮定して矛盾を導く．
中間値の定理の対偶より，このとき$f(a) < c < f(b)$あるいは$f(a) > c > f(b)$なる$a, b$は存在しない．いっぽう題意より
$$f(c-2) \leq c-1 \leq f(c-1) \leq c \leq f(c) \leq c+1 \leq f(c+1)\\ \Rightarrow f(c-2) \leq c-1 <c < c+1 \leq f(c+1)\\ \Rightarrow f(c-2) < c < f(c+1)$$
これは矛盾．よって$\mathbb{R} = f(\mathbb{R})$

3.3.13

$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$は連続で$f|_{\mathbb{Z}}$が有界なら$f$も有界であるか．証明するか反例を与えよ．

反例 $f(x) = x sin(\pi x)$とすれば,任意の$z \in \mathbb{Z}$に$f(z)=0$から$f|_{\mathbb{Z}}$は有界．で，連続関数の合成だから連続．また$\mbox{ceil}(x) = \mbox{x以上である最小の整数}$とすると，どのような$M>0$にも$|f(\mbox{ceil}M+1/2)| \geq M$から，$f$は$\mathbb{R}$で上に非有界．下に非有界なことも同様に示せて，よって反例がつくれた．