Basic Analysis (Jiri Lebl) 12日目 微分の定義

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Chapter 4. The Derivative

4.1 The derivative

4.1.1 Definition and basics properties

Definition 4.1.1

$I$:区間, $f: I \rightarrow \mathbb{R}, c \in I$について，
$$L := \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}$$
が存在するとき，$f$は$c$で微分可能であり，$L$を$f$の$c$における微分係数といい，$f'(c)=L$と書く．
$\forall c \in I$で微分可能なとき，単に$f$は微分可能という．

Proposition 4.1.4

$f: I \rightarrow \mathbb{R}$が$c \in I$で微分可能なら，$c$で連続．
proof.
$$\lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(x) \mbox,{ ~~~~~ and~~~~~ } \lim_{x \rightarrow c} (x-c)=0$$
が存在することがわかっているから，$f(x)-f(c) = (f(x)-f(c))/(x-c) \cdot (x-c)$の極限は
$\lim (f(x)-f(c)) = \lim \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \lim (x-c) = f'(c)\cdot 0 = 0$
したがって$\lim_{x \rightarrow c} f(x)=f(c)$すなわち$f$は$c$で連続．

Proposition 4.1.5

$f: I \rightarrow \mathbb{R}, g: I \rightarrow \mathbb{R}$が$c$で微分可能なとき，
(i) $\forall \alpha \in \mathbb{R}$に， $\alpha f(x)$は$c$で微分可能．
(ii) $f(x)+g(x)$は$x=c$で微分可能．
proof. 略

Proposition 4.1.6 (Product rule)

4.1.5と同じ条件のもとで，
$h(x) = f(x)g(x)$とすると，$h$は$c$で微分可能で，$h'(c)=f(c)g'(c)+f'(c)g(c)$が成立する．
proof.
$$\frac{f(x)g(x)-f(c)g(c)}{x-c} = \frac{(g(x)-g(c))f(x)}{x-c} + \frac{g(c)(f(x)-f(c))}{x-c}$$
両辺で$\lim_{x \rightarrow c}$をととると，$\lim f(x), \lim \frac{g(x)-g(c)}{x-c}, \frac{f(x)-f(c)}{x-c}$が存在するから示せた．

Proposition 4.1.7 (Quotient rule)

4.1.6の条件かつ$g(x) \neq 0$のとき，$h(x) = f(x)/g(x)$とすると，
$$h'(x) = \frac{f'(c)g(c) - f(c)g'(c)}{g(c)^2}$$
proof. 略

4.1.2 Chain rule

Proposition 4.1.8 (Chain rule)

$I_1, I_2$は区間で，$g: I_1 \rightarrow I_2$が$c \in I_1$で微分可能で,$f: I_2 \rightarrow \mathbb{R}$が$g(c) \in I_2$で微分可能で，$h(x)=f(g(x))$とするとき，$h$は$c$で微分可能であって,
$$h'(c) = f'(g(c))g'(c)$$
が成立する．

proof. 略

4.1.3 Exercises

Exercise 4.1.11

$f: I \rightarrow \mathbb{R}$が有界で，$g: I \rightarrow \mathbb{R}$は$c \in I$で微分可能であり，$g(c)=g'(c)=0$とする．$h(x):=f(x)g(x)$が$c$で微分可能であると示せ．

$$\frac{f(x)g(x)-f(c)g(c)}{x-c} = \frac{(g(x)-g(c))f(x)}{x-c} + \frac{g(c)(f(x)-f(c))}{x-c}$$
であるが，$M=\sup|f(x)|$($\max$でもよい)とすると，右辺第一項で
$$\left| \frac{(g(x)-g(c))f(x)}{x-c} \right| \leq M \left| \frac{(g(x)-g(c))}{x-c} \right|$$
から，この項は$x\rightarrow c$で$0$に収束する．
一方，右辺第二項で，$g(c)=0$からこの項は常に0
よって$h(x)$は$c$で微分可能で，微分係数は$0$.

Exercise 4.1.12

$f, g, h : I \rightarrow \mathbb{R}$について，$c\in I$で$f(c)=g(c)=h(c)$が成り立ち，$g, h$は$c$で微分可能で，$g'(c)=h'(c)$とする．さらに$\forall x \in I \ \ h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ならば$f$も$c$で微分可能で$f'(c)=g'(c)=h'(c)$であることを示せ.

$$\frac{h(x)-h(c)}{x-c}, \frac{f(x)-f(c)}{x-c}, \frac{h(x)-h(c)}{x-c}$$
について，$f, g, h$の大小関係から，
$$\frac{h(x)-h(c)}{x-c} \leq \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \leq \frac{h(x)-h(c)}{x-c}$$
が常に成立する($f(c)=g(c)=h(c)$を使った)
一番左の項と一番右の項が$x \rightarrow c$で同じ値に収束するから，真ん中の項も同じ値に収束する．よって示せた(数列のはさみうちの原理(squeeze lemma)はやったけど関数の極限のはさみうちの原理はやってない気がする)．

4.2 Mean value theorem

4.2.1 Relative minima and maxima

Definition 4.2..1

$f: S \rightarrow \mathbb{R}$が$c \in S$で極大値をとる
$\Leftrightarrow$ $|x - c | < \delta$ならば$f(x) \leq f(c)$となるような$\delta > 0$が存在する．
極小値も動揺に定義される．

Theorem 4.2.2

$f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$が$c \in (a, b)$で微分可能で$c$で極小となるとき，$f'(c)=0$
proof.

$$f'(c) = \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}$$
であるが，$c$で$f$は極小だから，分子は常に非負．一方分母は$c$の周辺で符号を変えうるから，$f'(c)=0$.極大のときも同様．

微分可能な$f$で，$f'(c)=0$となる$c$をcritical pointという．一方，定義域に微分不可能な点を含む関数について,$c$で微分不可能なときにも$c$はcritical pointであるという．この定理は，閉区間上で定義された関数が$c$で極値をとるなら，$c$は$f$のcritical pointであると主張している．