Basic Analysis (Jiri Lebl) 13日目 平均値の定理

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4.2 Mean value theorem

4.2.2 Roll’s theorem

Theorem 4.2.3 (Roll’s theorem)

連続関数$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$が$(a, b)$で微分可能で,$f(a)=f(b)$なら,$f'(c)=0$なる$c \in (a, b)$がある.
proof.

$f$が$[a, b]$上の定数関数なら$\forall c \in (a, b) \ \ f'(c)=0$.
そうでなければ,Theorem 3.2.2 (Minimum-Maximum-theorem)から,$f$は$[a, b]$上で最大値をもつ.Theorem 4.2.2から,最大値を取る点$c$で$f'(c)=0$.

4.2.3 Mean value theorem

Theorem 4.2.4 (Lagrange’s Mean value theorem)

$f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$が連続で,$(a, b)$で微分可能とする.
$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$$
をみたす$c \in (a, b)$が存在する.
proof.

$$\begin{aligned} g(x)&=f(x)-f(b)+(f(b)-f(a))\frac{b-x}{b-a} \\ g'(x)&=f'(x)- \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{aligned}$$
とすれば,$g(a)=g(b)=0$が成立して,Rollの定理から$g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$なる$c \in (a, b)$が存在する. 変形すれば,$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$である.

4.2.4 Applications

Proposition 4.2.5

区間$I$があって,$f: I \rightarrow \mathbb{R}$が微分可能で$f'(x)=0$が常に成立するなら,$f$は$I$上で定数関数である.
proof.

$x, y \in I, x < y$を任意にとって,$[x, y]$で平均値の定理を適用すると,$f(y)-f(x)=f'(c)(y-x)=0$.よって定数関数.

Proposition 4.2.6

区間$I$があって,$f: I \rightarrow \mathbb{R}$が微分可能で
(i) $f'(x)\geq 0$が常に成立するなら,$f$は$I$上単調増加.
(ii) $f'(x)\leq 0$が常に成立するなら,$f$は$I$上単調減少.
proof. 略

Proposition 4.2.8

$f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$が連続で,$c\in (a,b)$があって,$f$は$(a, c), (c, b)$で微分可能とする.このとき
(i) $x \in (a, c) \Rightarrow f'(x) \leq 0, \ x \in (c, b) \Rightarrow f'(x) \geq 0$なるとき,$f$は$c$で最小値を取る.
(ii) $x \in (a, c) \Rightarrow f'(x) \geq 0, \ x \in (c, b) \Rightarrow f'(x) \leq 0$なるとき,$f$は$c$で最大値を取る.
proof.

(ii)を証明する.
$x$を$(a, c)$上の点とし, $\{y_n\}$は$x < y_n < c$で,$c$に収束する列とする.Prop 4.2.6から,$(a, c)$で単調増加するから,$f(x) \leq f(y_n)$. $f$の連続性から$\forall x \in (a, c) \ f(x) \leq f(c)$同様に,$\forall x \in (c, b) \ \ f(x) \leq f(c)$.よって示せた.

4.2.5 Continuity of derivatives and the intermediate value theorem

関数の導関数における中間値の定理.

Theorem 4.2.9 (Darboux)

$f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$が微分可能とする.$f'(a) < y < f'(b)$か$f'(a) > y > f'(b)$なる$y$が存在するとき,$f'(c)=y$なる$c \in (a, b)$が存在する.
proof.

$f'(a) < y < f'(b)$とする. $g(x)=yx - f(x)$とすると$g$は$[a, b]$で連続であって,ある$c$で最大値を取る.
$g'(x) = y - f'(x)$とすると,$g'(a) > 0$である.よって
$$\frac{g(x)-g(a)}{x-a} > 0$$
なる$x>a$がある(微分の定義を思い出せ).$x>a$だから$g(x)>g(a)$.よって$g(a)$は$g$の最大値足り得ない.同様に$g(b)$も$g$の最大値たりえず,$g(c) = \max g$なる$c \in (a, b)$があって,Theorem 4.2.2から,$g'(c)=0$.したがって$f'(c)=y$.

中間値の定理によって,連続関数には中間値性があることがわかっている.非連続関数にも中間値性をもつものがあるが,微分可能な関数の導関数は非連続であっても中間値性がある.