Basic Analysis (Jiri Lebl) 11日目 無限大の極限

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3.5 Limits at infinity

3.5.1 Limits at infinity

Definition 3.5.1

$S \subset \mathbb{R}$に，どのような大きな$M \in\mathbb{R}$をとっても$x > M$なる$x\in S$があるとき，$S$は$\infty$を集積点に持つ．またこのとき$f: S \rightarrow \mathbb{R}$で，$L\in \mathbb{R}$があって，任意の$\epsilon>0$に$x > M \Rightarrow |f(x) - L|< \epsilon$となるような$M$が存在するとき$f$は$x$が無限大に近づくとき$L$に収束するといい，$f_{x\rightarrow \infty} (x) = L$と書く．
$x \rightarrow -\infty$や$f_{x \rightarrow -\infty} (x) =L$も同様に定義される．

Proposition 3.5.2

Def 3.5.1と無限大での極限を定義するとき，その極限は一意．
proof. 略

Lemma 3.5.5

Def 3.5.1の条件のもとで，$\{x_n\}$を$x_n \rightarrow \infty$なる任意の列とすると，
$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = L$

proof. 略

3.5.2 Infinite limit

Definition 3.5.6

$f: S \rightarrow \mathbb{R}$について，どのような大きな$N$にも，$x > M \Rightarrow f(x) >N$となるような$M$があるとき，$f$は$x$が無限大に近づくとき$+\infty$に発散するといい，$f_{x\rightarrow \infty} (x) = \infty$と書く．

3.5.3 Compositions

Proposition 3.5.8

$f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow \mathbb{R}, A,B \subset \mathbb{R}$で，$a,b \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$はそれぞれ$A, B$の集積点であって，
$$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = b, \ \ \ \ \lim_{y \rightarrow b} g(y) = c$$
であり，かつ$b \in B$なら
$$\lim_{x \rightarrow a} g(f(x)) = c$$
が成立する．

proof. 略