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Chapter 5 The Riemann Integral
5.2 Properties of the Integral
5.2.2 Linearity and monotonicity
Proposition 5.2.4 (Linearity)
とする.
(i) で,
(ii) で,
proof.
(i) 略
(ii) (Exercies 5.2.2)
Prop 5.1.13の逆(明らか)より,なるの分割がある.とすると,Prop 5.1.7より
さらに
が常に成立するから
同様に
したがって
から上の不等式の最左辺と最右辺の値は等しく.故にすべての辺の値は等しい.
Darboux上下積分が一致するからであって,積分値はの積分値の和に等しい.
Proposition 5.2.5 (Monotonicity)
なら,
proof.
をの分割とする.
であって, が任意のに成立.
すべてのでのを考えれば,.
Darboux上積分も同様の不等式がなりたつから,命題が成立する.
5.2.3 Continuos Functions
連続関数とリーマン可積分性の関係を調べる.
Lemma 5.2.6
が連続なら,.
proof.
閉区間上連続だから,は一様連続.なるがある.
を分割とし,が常に成り立つようにする.このとき
はで連続だから,そこで最大値/最小値を持つ.
とすればであって,.したがって
は任意だから,Darbouxの上下積分は一致し,すなわちリーマン可積分.
Lemma 5.2.7
が有界で,なる任意のでリーマン積分可能ならであり,でであるとき,
proof.
をなる実数とする.
だから,は有界で,Bolzano-Weierstrassの定理から,収束する部分列がある.その極限をとする. Lemma 5.2.1より,
とすれば
同様にが言えて,から,のDarboux上下積分は一致してその値は.
部分列の極限が常にという実数だから,もとの数列もに収束する.
Definition
が区分的連続
有限個の点を除いたでは連続.
Theorem 5.2.8
が有界で区分的連続ならリーマン積分可能
proof.
から非連続な点を除いた区間の列をつくる.それぞれのに含まれる任意のの閉区間では連続だから,リーマン積分可能.Lemma 5.2.7からでもはリーマン積分可能.Theorem 5.2.2よりをすべてつなげたではリーマン積分可能.
Proposition 5.2.9
がリーマン可積分とする.で,有限集合があってであるなら,であって,積分値は等しい.
proof. (Exercise 5.2.7)
簡単のため,は連続であるとする.
からの元を除いた区間の列をつくる.はで積分可能であって,. Theorem 5.2.2から.