Linear Algebra (D. Cherney et al.) ５日目

CC BY-NC-SA 3.0

Chapter 6. Linear Transformations

Definition

関数$L: V \rightarrow W$が線形である
$\Leftrightarrow$ V, W はベクトル空間であって, $u, v \in V, r, s \in \mathbb{R}$ に$L(ru + sv) = rL(u)+sL(v)$

線形関数を文脈に応じて線形変換,線形写像,homogeneousとか呼ぶことがある.(日本語の本ではだいたい線形写像を使う)
今後,$L$で書いた写像は全て線形とする.

6.1 The Consequence of Linearity

線形性によって,写像の性質を少ない個数の変数で表現することが出来る.

Example 70 (Two outputs in $\mathbb{R}^2$ specifies all outputs)

$$L \left(\begin{array}{} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{} 5 \\ 3 \end{array} \right) \ \ \ L \left(\begin{array}{} 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{} 2 \\ 2 \end{array} \right)$$
がわかっているなら,$\mathbb{R}^2$の点は$(x, y)^T$と書けるから,
$$L \left( \begin{array}{} x \\ y \end{array}\right) = L\left[x \left( \begin{array}{} 1 \\ 0 \end{array}\right) + y \left(\begin{array}{} 0 \\ 1 \end{array}\right)\right] = \left(\begin{array}{} 5x + 2y \\ 3x + 2y \end{array}\right)$$
このように,任意の点からの像がただちにわかる.
一般に,$L: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$について,$(1, 0, ..., 0)^T, (0, 1, 0, ..., 0)^T, ...,(0, 0, ..., 1)^T$の$n$本のベクトルに対する像がわかれば,$L$の任意の像が計算できる.

6.2 Linear Functions on Hyperplanes

線形関数は行列で書ける.これは線形連立方程式を解くことにほかならない.定義域がある超平面である線形関数を調べる.

Example 71

$$V = \left\{ c_1 \left(\begin{array}{} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+c_2 \left(\begin{array}{} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)\right\}$$
とする.$L: V \rightarrow \mathbb{R}^3$が
$$L \left(\begin{array}{} 1 \\ 1\\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{} 0 \\ 1\\ 0\end{array}\right)\ \ \ L \left(\begin{array}{} 0 \\ 1\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{} 0 \\ 1\\ 0\end{array}\right)$$
を満たすとき,
$$L \left[c_1 \left(\begin{array}{} 1 \\ 1\\ 0\end{array}\right) + c_2\left(\begin{array}{} 0 \\ 1\\ 1\end{array}\right) \right] = (c_1 + c_2)\left( \begin{array}{} 0 \\1 \\0 \end{array}\right)$$
$L$の定義域は三次元上の$(1\ \ 1\ \ 0)^T, (0\ \ 1\ \ 1)^T$の張る平面.$L$は
$$L\left(\begin{array}{} c_1 \\ c_1 + c_2 \\ c_2\end{array} \right)=\left(\begin{array}{} 0 & 0 & 0\\ 1& 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{}c_1 \\c_1+c_2\\c_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{} 0 & 0 & 0\\ 0& 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{}c_1 \\c_1+c_2\\c_2\end{array}\right)=(c_1+c_2)\left(\begin{array}{}0 \\1\\0\end{array}\right)$$
$3 \times 3$行列は常に$\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$を定るが,$V$は二次元だから$L$を表す２つの$3\times 3$行列がある.一方で
$$L \left[c_1 \left(\begin{array}{} 1 \\ 1\\ 0\end{array}\right) + c_2\left(\begin{array}{} 0 \\ 1\\ 1\end{array}\right) \right] = (c_1 + c_2)\left( \begin{array}{} 0 \\1 \\0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{} 0 & 0\\1&1\\0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{}c_1 \\ c_2\end{array} \right)$$
と,$V$の元を$c_1, c_2$だけで代表させ,順番を変えなければ,$L$は唯一つの$3 \times 2$行列に対応する.

6.4 Bases(Take 1)

あるベクトル空間$V$の基底とは,$V$の部分集合$\{v_1, ...,v_n\}$であって(無限集合になることもある),任意の$V$の元$v$を$v = \sum_{i} \alpha_i v_i$と一意に書けるもの

正直この本ってだいぶ読みにくいね