The Rust Programming Language 2nd 1日目 Introduction

https://doc.rust-lang.org/book/second-edition/
Apache License　Version 2.0

1. Introduction

1.2 Hello, World!

Creating a Project with Cargo

シェル上で

cargo new hello_cargo --bin

を実行して,カレントディレクトリ以下に”hello_cargo”プロジェクトのディレクトリが作成されて,その中には必要なファイルのテンプレートが入っている.”–bin”によってライブラリでなく実行ファイルを作成することを明示している.

hello_cargo/
　├ cargo.toml : プロジェクトの情報を書く
　└ src/       : ソースコードを置くディレクトリ
　 　└ main.rs : ソースコードの拡張子はrs

cargo.tomlにはプロジェクトの情報を書く.

[package]
name = "hello_cargo"
version = "0.1.0"
authors = ["Your Name <you@example.com>"]

[dependencies]

[package]欄にはプログラムの名前と著者の情報を書く.
[dependencies]欄には,このプログラムが使用するcrate(他の言語でいうライブラリ)の名前を書く.ここに書かれたcrateをcargoがダウンロードしてきて,ビルド時にリンクしてくれる.

Building and Running a Cargo Project

cargo build

によってhello_cargo直下にtargetディレクトリ以下が作られ,ビルドされた実行ファイルはtarget/debug/hello_cargo である.

cargo run 

によって,ビルドしたら直ちに実行してくれる.ソースコードに変更がない場合,ビルドをやり直すことはせず,以前つくった実行ファイルをまた実行する.

Building for Release

“cargo build”でビルドされた実行ファイルはデバッグ用の機能が埋め込まれ,最適化もされていない.”cargo build –release”によって,最適化が行われた実行ファイルが”target/release”に作成される.

Basic Analysis (Jiri Lebl) 22日目 極限と積分の順序交換

CC BY-NC-SA 3.0

6.2 INterchange of limits

6.2.1 Continuity of the limit

Theorem 6.2.2

$\{f_n\}$が連続関数の列で,$f$に一様収束するとき,$f$は連続.
proof. 略

6.2.2 Integral of the limit

Theorem 6.2.4

$\{f_n\}\subset \mathscr{R}[a,b]$で,$f$に一様収束するとき,$f\in \mathscr{R}[a,b]$で,$\int^b_a f = \lim \int^b_a f_n$.
proof.

$\epsilon>$を固定する.$\{f_n\}$は$f$に一様収束するから,$n\geq M \Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{2(b-a)}$なる$M$がある.
このとき$|f(x)|<\frac{\epsilon}{2(b-a)}+|f_n(x)|$であって,$f_n$の有界性より$f$も有界.
$$\begin{aligned}\overline{\int^b_a} f - \underline{\int^b_a} f &= \overline{\int^b_a} (f - f_n + f_n) - \underline{\int^b_a} (f - f_n + f_n) \\ &\underline{\leq}_{(1)} \overline{\int^b_a} (f -f_n) + \overline{\int^b_a} f_n - \underline{\int^b_a} (f-f_n) - \underline{\int^b_a} f_n \\ &=_{(2)} \overline{\int^b_a}(f-f_n) + \int^b_a f_n - \underline{\int^b_a} (f-f_n) - \int^b_a f_n \\ &\leq 2\frac{\epsilon}{2(b-a)}(b-a) = \epsilon \end{aligned}$$
が成立する.((1): Exercise 5.2.16, (2): $f_n$のリーマン可積性)
$\epsilon$は任意だから,$f$のダルブー上下積分は一致し,リーマン可積分.
さらに,Prop 5.1.10から,$n \geq M$で
$$\left| \int^b_a f - \int^b_a f_n \right| = \left|\int^b_a (f - f_n)\right| \leq \epsilon/2 < \epsilon$$
より,$\int^b_a f = \lim \int^b_a f_n$がたしかに成立.

Example 6.2.5

$$f_n = \frac{nx+\sin(nx^2)}{n},\ \ \lim_{n \rightarrow \infty} \int^1_0 f_n$$
を計算する.

$$|f_n-x| = \left| \frac{\sin(nx^2)}{n} \right|< |\frac{1}{n}| \rightarrow 0$$
より,$\{f_n\}$は$x$に一様収束する.
$\lim \int^1_0 f_n = \int^1_0 x = 1/2$.

Example 6.2.6

リーマン可積分関数列の各点収束極限がリーマン可積分でない例
$$f_n(x):= \begin{cases} 1 \ \ &(x=p/q, q \leq n\text{と書けるとき}) \\ 0 &(otherwise)\end{cases}$$
とすると,
$$f := \begin{cases} 1 \ \ &(x \in \mathbb{Q}) \\ 0&(x \notin \mathbb{Q})\end{cases}$$
に$[0,1]$上で各点収束する.
これはリーマン可積分でない.

6.2.3 Exercises

Definition

$\{x_{n,m}\}$を2次元数列とする.$L$がこの数列のjoint limitである
$\Leftrightarrow [\forall \epsilon\ \exists M\ n,m\geq M \Rightarrow |x_{n,m}-L|<\epsilon]$
このとき$L$を$\lim_{(n,m)\rightarrow \infty} x_{n,m}=L$と書く.

Exercise 6.2.13

$L=\lim_{n,m} x_{n,m}$とする.任意の$n$を固定したしたとき$\lim_m x_{n,m}$が存在し,$m$を固定したときも同様のことが言えるとする.このとき$L=\lim_n(\lim_m x_{n,m}) = \lim_m(\lim_n x_{n,m})$を示せ.
答案.

$y_n = \lim_m x_{n,m}$とする.
$$|x_{n,n} - y_n|\leq \underline{|x_{n,n} -L|}_{(0)}+ \underline{|L-x_{n,m}|}_{(1)} + \underline{|x_{n,m} - y_n|}_{(2)}$$
が常に成立する.
$\epsilon >0$を固定する.joint limitの存在より$n,m \geq N_1 \Rightarrow (0),(1) < \epsilon$なる$N_1$が存在する.
$y_n = \lim_m x_{n,m}$から,十分大きな$m$に$(2) < \epsilon$.
以上より$n \geq N_1 \Rightarrow |x_{n,n} -y_n|<3\epsilon$.
したがって$\{x_{n,n}\}_n$と$\{y_n\}=\{\lim_m x_{n,m}\}_n$の極限は等しく,$L$.
同様に$L=\lim_m (\lim_n x_{n,m})$.
以上により示せた.

Exercise 6.2.14

joint limitの存在は,$\lim_m x_{n,m}$や$\lim_n x_{n,m}$の存在を保証しない.
$$x_{n,m} := \frac{(-1)^{n+m}}{\min{n,m}}$$
とする.
(a)$\lim_m x_{n,m}$が存在しないこと, $\lim_n x_{n,m}$が存在しないことを示せ.(したがって$\lim_n (\lim_m x_{n,m}),\ \lim_{m} (\lim_n x_{n,m})$は意味を持たない)
(b) joint limitは$0$であることを示せ.
答案.

(a)
$n$を固定するとき,$m>n$について$x_{n,m}=(-1)^{n+m}/n$であって,$m$とともに振動して収束しない.よって$\lim_m x_{n,m}$は存在しない.もう一方も同様.
(b)
$\epsilon >0$とする.$N=\lceil{1/\epsilon}\rceil$とすると,$n,m\geq N \Rightarrow |x_{n,m}|<\epsilon$.よって示せた.

6.3 Picard’s Theorem

これまでに学んだすべてを使ってPicard’s theoremを証明する.ある常微分方程式のクラスの解の存在と一意性を与える定理であり,応用上も重要.wikipediaにあるピカールの定理とは違う定理で,Picard–Lindelöf theorem,Picard’s existence theorem or Cauchy–Lipschitz theoremとか呼ばれることもある.

6.3.1 First order ordinary differential equation

$y' = F(x,y)$という形の微分方程式を1階上微分方程式という.ふつう初期値$y(x_0)=y_0$を予め与えて,その条件のもとで解く.$F$が$x$のみの関数なら,微積分学の基本定理を使えば良いが,そうでないときは解が存在するとは限らない(存在すれば一意).

6.3.2 The Theorem

Definition 6.3.1

$U \subset \mathbb{R}^2$を定義域とする$F:U\rightarrow \mathbb{R}$を考える.$(x, y) \in U$で$F$が連続
$\Leftrightarrow$ $(x,y)$に収束する任意の列$\{x_n,y_n\}_n$について,$F(x_n,y_n)\rightarrow F(x,y)$.
$\forall x \in U$で連続なら,$F$は$U$で連続という.

Theorem 6.3.2 (Picard’s theorem on existence and uniqueness)

$I, J\subset \mathbb{R}$を有界閉区間とする.$I_0, J_0$を$I, J$の内部,$(x_0,y_0) \in I_0 \times J_0$とする.$f:I\times J \rightarrow \mathbb{R}$は連像で,2つめの引数についてリプシッツ連続とする.すなわち
$$\exists L \text{s.t. }\forall y, z \in J, x\in I \ \ \ |F(x,y) - F(x,z)| \leq L|y-z|$$
このとき,ある$h>0$と,で微分可能な$f:[x_0-h, x_0+h]\rightarrow J$で,$f'(x) = F(x,f(x)), f(x_0)=y_0$をみたす$f$がただ一つ存在する.

sketch.

条件を満たす$f$が存在すると仮定すると,$y_0=f(x_0)$と初期値を与えると微積分学の基本定理から
$$f(x) = y_0 + \int^x_{x_0} F(t, f(t)) dt$$
が成立する.右辺を近似して,極限で右辺の解に収束するような関数列$\{f_k\}$を考える.この手法をPicard iterationといい, $\{f_k\}$をPicard iteratesという.

proof.

$x_0=0$として一般性を失わない(Exercise 6.3.3).$|F(x,y)| \leq M$なる$M$が存在する.$[-\alpha, \alpha] \subset I, \ [y_0 -\alpha, y_0+\alpha]\subset J$なる$\alpha>0$を一つ取る.$h := \min\{\alpha, \alpha/(M+L\alpha)$とすると,$[-h,h] \subset I$.
$f_0(x)=y_0$から帰納的に$\{f_k\}$を定める.
$f_{k-1}([-h,h]) \subset[y_0-\alpha, y_0+\alpha]$であるとき,$F(t, f_{k-1}(t))$は$t\in [-h,h]$できちんと定義された関数であって(Exercise 6.3.2),$f_{k-1}$が$[-h,h]$で連続なら$F(t, f_{k-1}(t))$もまた$t \in [-h,h]$で連続(Exercise 6.3.1).
$$f_k(x) := y_0 + \int^x_0 F(t,f_{k-1}(t))dt$$
が存在して,$f_k$はまた微積分学の基本定理より$[-h, h]$で連続である.$x \in [-h,h]$で
$$|f_k(x)-y_0| = \left| \int^x_0 F(t, f_{k-1}(t))dt \right|\leq M|x|\leq Mh\leq M\frac{\alpha}{M+L\alpha} \leq \alpha$$
だから,$f_{k}$のrangeは$[y_0-\alpha, y_0+\alpha]$の部分集合.
こうして$\{f_k\}$を構成していく.$\{f_k\}$が題意を満たす$f$に収束することを示す.
$\{f_k\}$が$[-h,h]$である関数に一様収束することを示す.$t \in [-h,h]$に,
$$|F(t,f_n(t))-F(t,f_k(t))| \leq L|f_n(t)-f_k(t)| \leq L||f_n-f_k||u$$
が任意の$n,k$に成立し,$|x|\leq h \leq \alpha/(M+L\alpha)$だから,
$$\begin{aligned} |f_n(x)-f_k(x)| &= \left|\int^x_0 \left[ F(t,f_{n-1}(t))dt - F(t,f_{k-1}(t)) \right]dt \right| \\&\leq L||f_{n-1}-f_{k-1}||_u |x| \\ &\leq \frac{L\alpha}{M+L\alpha}||f_{n-1}-f_{k-1}||_u \end{aligned}$$
であって,$C:=L\alpha/(M+L\alpha)<1$とすれば$||f_n-f_k||_u \leq C||f_{n-1}-f_{k-1}||_u$
$n\geq k$として,$||f_n-f_k||_u \leq C^k ||f_{n-k} -f_0||_u$が成立し,
$||f_n-f_k\|_u \leq C^k ||f_{n-k}-f_0||_u \leq C^k \alpha$.
$C<1$だから$\{f_n\}$がuniform Cauchyで,$\{f_n\}$は$[-h,h]$である$f:[-h,h]\rightarrow \mathbb{R}$に一様収束する(このような$f$は一意).
$f$は連続関数の一様収束極限だから,連続であり,$f_n([-h,h]) \subset[y_0-\alpha,y_0+\alpha]$から,$f([-h,h]) \subset [y_0-\alpha, y_0+\alpha]$.
$f$がたしかに与えられた方程式の解であることを示す.
$$|f(t, f_n(t)) -F(t,f(t))| \leq L||f_n - f||_u$$
で,$||f_n-f||_u \rightarrow 0$から,$F(t, f_n(t))$は$F(t, f(t))$に一様収束する.
したがって$x\in [0,h]$で,$t \in [0,x]$
$$\begin{aligned} y_0 + \int^x_0 F(t, f(t)) dt &= y_0 + \int^x_0 F(t, \lim f_n (t)) dt \\&= y_0 + \int^x_0 \lim F(t, f_n(t)) \\ &= \lim_n \left(y_0 + \int^x_0 F(t,f_n(t))dt\right)\\ &= \lim_n f_{n+1}(x) = f(x) \end{aligned}$$
である.
微積分学の基本定理から,$f$は微分可能で導関数は$F(x,f(x))$.また$f(0)=y_0$.

6.3.4 Exercises

Exercise 6.3.1

$I, J \subset \mathbb{R}$を区間とする.$F: I\times J \rightarrow \mathbb{R}$が2変数の連続関数で,$f: I\rightarrow J$が連続なら,$F(x,f(x))$も$I$上連続と示せ.
答案.

$x_0$での連続性を示す.
$x_0$に収束する$\{x_n\}\subset I$を任意にとる.$f$の連続性から$\{f(x_n)\}$は$f(x_0)\in J$に収束する.
$(x_n, f(x_n))$は$(x_0,f(x_0))$に収束する$I\times J$に含まれる数列であって,$F$の連続性から任意の$\epsilon$に
$n \geq N \Rightarrow |F(x_n, f(x_n))-F(x_0,f(x_0))|< \epsilon$なる$N$がある.
これは$F(x,f(x))$の$x_0$での連続性と同値.

Exercise 6.3.2

$I, J \subset \mathbb{R}$は有界な閉区間とする.$F: I \times J \rightarrow \mathbb{R}$が連続なら,$F$は有界であると示せ.
答案.

非有界であるとして矛盾を導く.
$F(x_n,y_n)>n$を満たすような$\{(x_n,y_n)\}_n \subset I\times J$が存在する.Bolzano-Weierstrassの定理(多次元)から,収束する部分列$\{(x_{n_k}, y_{n_k})\}_k$がある.その極限を$(x_0,y_0)$とすると,$M:=F(x_0,y_0)$は有限値.一方$\{F(x_{n_k}, y_{n_k})\}$は発散する.これは$F$の連続性に反する.背理法によって示せた.

Basic Analysis (Jiri Lebl) 21日目 関数列の収束

CC BY-NC-SA 3.0

大概の本ではこの章の議論は数列の議論の直後にやる一方,関数のノルム収束は扱われないことが多い.

Chapter 6. Sequences and Functions

この章では$S: \text{a set}, \ \{f_n:S \rightarrow \mathbb{R}\}, f: S\rightarrow \mathbb{R}$とする.

6.1 Pointwise and uniform convergence

6.1.1 Pointwise convergence

Definition 6.1.1. (各点収束)

$\{f_n:S \rightarrow \mathbb{R}\}_n$が$f:S\rightarrow \mathbb{R}$にpointwise converge(各点収束)する
$\Leftrightarrow [\forall x \in S \ \forall \epsilon > 0 \ \exists N(x,\epsilon) \text{s.t.} n \geq N(x, \epsilon) \Rightarrow |f(x)-f_n(x)|<\epsilon]$
つまり、各$x$を固定したとき、数列$\{f_n(x)\}$が$f(x) \in \mathbb{R}$に収束するということ.

Example 6.1.4

$f_n(x) = \sin(xn)$とする.これは$x=k\pi\ \ (k \in \mathbb{N})$以外のすべての点でいかなる関数にも各点収束しない.
proof.

$x=k\pi \ \ (k \in \mathbb{N})$において,$f_n(x)=0$が常に成立するので,$0$に収束する.
それ以外の点でいかなる$N$をとっても,$n,m > N$で,$\pi/6 < \text{mod}(nx, 2\pi)< 5\pi/6,\ 7\pi/6 < \text{mod}(nx, 2\pi) < 11\pi/6$を満たす$n,m$が存在する.
このとき,$\sin(nx)-\sin(mx)>1$が成立する.よって$\{\sin(nx)\}_n \ \ (x \notin \pi \mathbb{N})$はコーシー列でないので,収束しない.

6.1.2 Uniform convergence (一様収束)

Definition 6.1.6

$\{f_n\}n$が$f$に一様収束する
$\Leftrightarrow [\forall \epsilon \ \exists N(\epsilon)\in\mathbb{N} \ \text{s.t.} n \geq N(\epsilon) \Rightarrow \forall x |f_n(x)-f(x)|<\epsilon]$

Proposition 6.1.7

$\{f_n\}$が$f$に一様収束するとき,$\{f_n\}$は$f$に各点収束する.
proof.

定義より明らか.

Example 6.1.8

$f_n(x) = x^{2n}$は$[-1, 1]$で各点収束するが一様収束しない.
proof.

$f(x) = \begin{cases} 0 \ \ \ (x \in (-1, 1)) \\ 1 \ \ \ (x \in \{-1,1\}) \end{cases}$
に各点収束するのは明らか.
一方,ある$f$に一様収束すると仮定する.$\epsilon = 1/2$とすると,$x \in (-1,1)$で,
$|f_N(x) - f(x)| = |f_N(x)| = x^{2N} <1/2$ となる$N$が$x$によらず存在する.
両辺で$\log$をとると,$2N \log x < -\log 2 \Rightarrow \log x < -\log 2 /(2N)<0$
$-\log 2 /(2N) < y < 0$なる$y$があって、 $e^y \in (0, 1)$である. $x=e^y$とすると$f_N(x) \geq 1/2$となり,矛盾.背理法によって$\{f_n\}$が一様収束しないと示せた.

6.1.3 Convergence in uniform norm

有界関数にある実数(uniform norm)を与える.uniform normは恒等関数0からのその関数の距離を表している(多くの本ではノルムのことを長さの一般化としているが,原点からの距離と長さを同一視するのは自然かも).関数列から関数のノルムの実数列を作って,収束性を議論する.

Definition 6.1.9

有界な$f: S \rightarrow \mathbb{R}$のuniform norm(sup norm, infinity norm)を
$$||f||_{\sup} = ||f||_{\infty}=||f||_u := \sup\{|f(x)| : x \in S\}$$
と定める.

Proposition 6.1.10

$\{f_n\}$が$f$に一様収束する
$\Leftrightarrow$
$$\lim_{n \rightarrow \infty} ||f_n - f||_u = 0$$
proof.

($\Rightarrow$)
$\epsilon>0$に$n \geq N \Rightarrow \forall x\ |f_n(x)-f(x)|<\epsilon/2$が成立する.
ここで$\sup$の性質より$|f_n(x)-f(x)| \leq ||f_n - f|| \leq \epsilon$が常に成立するから,$||f_n-f|| \rightarrow 0$がたしかに成立.
($\Leftarrow$)
$\forall x\ \ |f_n(x)-f(x)|\leq ||f_n-f||_u$から明らか.

Example 6.1.11

$f_n:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$を$f_n(x) = \frac{nx + \sin(nx^2)}{n}$とする.
$$\begin{aligned} ||f_n-x||_U &=\sup \left\{\left| \frac{nx+\sin(nx^2)}{n} - x \right| \right\} \\ & = \sup \left\{ \frac{|\sin(nx^2)|}{n}\right\} \\ & \leq \sup \{1/n\} \\ &= 1/n \\ &\rightarrow 0 \end{aligned}$$
よって$\{f_n\}$は$f=x$に一様収束する.

Definition 6.1.12

$\{f_n\}$は有界な関数列とする.この関数列が”Cauchy in the uniform norm” or “uniformly Cauchy”である
$\Leftrightarrow [\forall \epsilon \ \exists N\ \text{s.t. } m,k\geq N \Rightarrow ||f_m - f_k||_u < \epsilon]$

Proposition 6.1.13

$\{f_n\}$は有界関数の列とする.$\{f_n\}$がCauchy in the uniform normである
$\Leftrightarrow [\exists N\ \text{s.t. } n \geq N \Rightarrow ||f_m-f_k||m < \epsilon]$
proof. 略

6.1.4 Exercises

Exercise 6.1.9

$\{f_n:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\}$のそれぞれの関数が単調増加とする.
$f_n(0)=0,\ \ \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(1) = 0$なら,$\{f_n\}$は$f=0$に一様収束すると示せ.
答案.

$$\begin{aligned}||f_n-0||_u &= \sup_{x \in [0,1]} \{|f_n(x)|\}& \\ &=|f_n(1)| &(\because \text{単調増加}) \\ & \rightarrow 0 &(n \rightarrow \infty)\end{aligned}$$
よって示せた

Exercise 6.1.10

$\{f_n:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}\}$について,$f_n(x_n)=1$をみたす各要素が異なる数列$\{x_n\}$が存在するとき,以下の命題の真偽を調べよ
(a) 0に各点収束するような$\{f_n\}$がある
(b) 0に一様収束するような$\{f_n\}$がある
答案.

(a)
$$f_n(x) = \begin{cases} 1 \ \ &(x = 1/n)\\ 0 \ \ &(x \neq 1/n)\end{cases}$$
とすると,任意の$x>0$について,$n > 1/x \Rightarrow f_n(x)=0$
また$x=0$では常に$f_n(x)=0$.よって$\{f_n\}$は$0$に各点収束していて,命題(a)は真.
(b)
$$||f_n - 0||_u = \sup\{|f_n(x)|\} \geq |f_n(x_n)|=1$$
が必ず成り立つから,命題(b)は偽.

Exercise 6.1.11

連続関数$h:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$を固定し,
$$f(x) := \begin{cases} h(x) \ \ &(x\in [a,b]) \\ h(a) &(x < a) \\ h(b) &(x > b) \end{cases}$$
とする.まず$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$が連続であると示し,さらに$[a,b]$を定義域とする$f_n$を
$$f_n(x):= \frac{1}{2\epsilon} \int^{x+\epsilon}_{x-\epsilon} f, \ \ \epsilon = 1/n$$
としたとき,$f_n$が$h$に一様収束することを示せ.
答案.

$f$の連続性は明らかである.
$x \in (a,b)$について,$n$が十分大きければ$[x-\epsilon, x+\epsilon] \subset [a,b]$であって,$f(x)=h(x) \ \ (x \in [x-\epsilon, x+\epsilon])$ だから,$f_n(x) = 0$となる.
$x=a$であれば,
$$f_n(a) = \frac{1}{2\epsilon}(\int^a_{a-\epsilon} + \int^{a+\epsilon}_a) f = \frac{1}{2\epsilon}\cdot[\epsilon h(a) + \int^{a+\epsilon}_a h] = \frac{h(a)}{2} +\frac{1}{2\epsilon} \int^{a+\epsilon}_a h(x)$$
$h$の連続性から,$\zeta>0$に,$|x-a|<e \Rightarrow |h(a)-h(x)|<\zeta$なる$e$がある.
$$\frac{h(a)}{2} -\frac{\zeta}{2} = \frac{1}{2e}\int^{a+e}_a(h(a)-\zeta)<\frac{1}{2e} \int^{a+e}_a h < \frac{1}{2e}\int^{a+e}_a (h(a)+\zeta)=\frac{h(a)}{2} + \frac{\zeta}{2}$$
したがって,$n > 1/e$ならば$|f_n(a)-h(a)|<\zeta/2$.
x=b の場合も同様に$n>1/e$ならば$f_n(b) -h(b)|<\zeta/2$が言える.
以上より,任意の$\zeta >0$に,$n > N$ならば$\forall x \ \ |f_n(x) - h(x)|<\zeta$なる$N(=1/e)$が存在する.
よって確かに$f_n$は$h$に一様収束する.

Basic Analysis (Jiri Lebl) 20日目 Cauchyの主値

CC BY-NC-SA 3.0

Cauchy principal value (Cauchyの主値)

$\int^1_{-1} 1/x$のような,普通には広義積分が収束しない場合にも与えられることがある値．

Definition

$f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$について，$a<c<b$なる任意の$c$と任意の$\epsilon >0$に,$f$が$[a, c-\epsilon], [c+\epsilon, b]$でリーマン可積分であるとき，
$$p.v. \int^b_a f := \lim_{\epsilon \rightarrow 0+0} \left(\int^{c-\epsilon}_a f+\int^b_{c+\epsilon} f\right)$$
が収束するとき，これをCauchyの主値という．

Exercise 5.5.13

(a) $p.v.\int^1_{-1} 1/x dx$を計算せよ
(b) $\lim_{\epsilon \rightarrow 0+0} (\int^{-\epsilon}_{-1} 1/x dx + \int^1_{2\epsilon} 1/x dx)$が，(a)と異なることを示せ．
(c) $f \in \mathscr{R}[a,b]$ならば，$\int^b_a f = p.v. \int^b_a f$を示せ
(d) $c \in [a,b]$を特異点に持ち,$p.v.\ \int^b_a f$が存在するが，$\int^c_a f, \int^b_c f$が存在しないような$f$を見つけろ
(e) $f:[-1, 1]$が連続とする．$p.v. \int^1_{-1} f(x)/x dx$が存在することを示せ

答案.

(a) $$\lim_{\epsilon \rightarrow 0+0} \left(\int^{-\epsilon}_{-1}1/x + \int^1_{\epsilon} 1/x\right)= \lim_{\epsilon \rightarrow 0 +0} [\log(|-\epsilon|) - \log(\epsilon)] = \lim_{\epsilon \rightarrow 0+0} 0 = 0$$
(b)
$$\lim_{\epsilon \rightarrow 0+0} \left(\int^{-\epsilon}_{-1}1/x + \int^1_{2\epsilon} 1/x\right)= \lim_{\epsilon \rightarrow 0 +0} [\log(|-\epsilon|) - \log(2\epsilon)] = \lim_{\epsilon \rightarrow 0+0} \log\frac{1}{2} = -\log2$$
確かに(a)で得られた値と異なっている．
(c)
特異点$c$として，任意の$\epsilon>0$に$[a, c-\epsilon],[c-\epsilon, c+\epsilon], [c+\epsilon, b]$において$f$は可積分で，
$$\int^b_a f = \left(\int^{c-\epsilon}_a + \int^{c+\epsilon}_{c-\epsilon} + \int^b_{c+\epsilon} \right) f$$
が常に成立するから．定積分と主値積分は等しい．
(d)
(a)で与えられた$\int^1_{-1} 1/x$が求める条件を満たしている．
(e)
特異点は明らかに$0$のみ.また$x\neq 0$で連続だから，任意の$\epsilon >0$に,$f$が$[-1, -\epsilon], [\epsilon, 1]$でリーマン可積分である.微積分の基本定理(Second form)より，$F_1 = \int^{x}_{-1} f, F_2 = \int^x_\epsilon f$があって，$f$は$x\neq 0$で連続だから$F_1'(x) =f(x)/x \ \ (-1 \leq x \leq -\epsilon), F_2'(x)=f(x)/x \ \ (\epsilon \leq x \leq 1)$
$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} ( F_1(-\epsilon) +F_2(\epsilon))$ が存在することを言えば良い．
$$F_1'(-\epsilon)=\lim \left[\frac{f(-\epsilon - h)}{-\epsilon -h} - \frac{f(-\epsilon)}{-\epsilon}\right] / -h$$
$$F_2'(\epsilon)=\lim \left[\frac{f(\epsilon + h)}{\epsilon + h} - \frac{f(\epsilon)}{\epsilon}\right] / h$$
ビーンもうダメ

Exercise 5.5.14

$f,g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$は連続で，ある$[a,b]$があって$[a,b]$以外の点$g$はで常に0の値を取る．
(a)
$$(g * f)(x) = \int^{\infty}_{-\infty} f(t)g(x-t)dt$$
は$x \in \mathbb{R}$で定義されていることを示せ．
(b)
$\int^{\infty}_{-\infty} |f| < \infty$ならば，
$$\lim_{x\rightarrow -\infty} (g * f)(x) =0, \ \ \ \lim_{x\rightarrow \infty} (g*f)(x)=0$$
を示せ．
答案.

(a)
$t \notin [a+x, b+x]$ならば$f(t)g(x-t)=0$だから，積分区間を$[a+x, b+x]$とそれ以下，それ以上の3つに区切れば，常に$[a+x, b+x]$以外の区間での積分は$0$となり，$\int^{\infty}_{-\infty}f(t)g(x-t)dt = \int^{b+x}_{a+x} f(t)g(x-t)dt$

Linear Algebra (D. Cherney et al.) 7日目

CC BY-NC-SA 3.0

7.3 Properties of Matrices

線形関数が行列(と基底)によって表現できることがわかった．行列の性質を知ることで線形関数の理解を深めることができる．

Definition

$r \times k$行列$M=(m^i_j), i=1,...,r; j=1,...,k$は実数あるいは複素数を
$$\left(\begin{array}{} m^1_1 & m^1_2 & \cdots & m^1_k \\ m^2_1 & m^2_2 &\cdots \\ \vdots \\ m^r_1 & m^r_2 &\cdots &m^r_k \end{array}\right)$$
と並べたもの．$m^i_j$を$M$の$(i, j)$成分と呼ぶことにする．
$(m^i_1 \ m^i_2 \ \cdots \ m^i_k)$を$M$の第$i$行といい，
$(m^1_j \ m^2_j \ \cdots \ m^r_j)^T$を$M$の第$j$列という．
$$\mathbf{v}= \left(\begin{array}{} v^1 \\ v^2 \\ \vdots \\ v^r \end{array} \right)$$
のような$r \times 1$行列を特に縦ベクトルとよび，
$$\mathbf{v} = \left(v_1 \ \ v_2 \ \ \cdots \ \ v_k \right)$$
のような$1\times k$行列を特に横ベクトルと呼ぶ．

Example 82

gif画像形式ファイルは，各要素がピクセルの色を表現する行列．

Example 83

グラフを行列で表現する．グラフとは，頂点(vertice)の集合$V$と，頂点を結ぶ辺(edge)の集合のこと．．$V=\{1, ..., n\}$と，頂点を自然数で表すとき，頂点$i$から出て$j$を終点とする辺の本数を$(i, j)$成分とする行列を作れば，行列でグラフを表現できる．このようにしてグラフを表現する行列を隣接行列(adjacency matrix)という．

$$M= \left(\begin{array}{} 1&2&1&1 \\ 2& 0&1&0 \\ 1&1&0&1\\1&0&1&3 \end{array}\right)$$

$r \times k$行列の集合を$\mathbb{M}^r_k$と書く．

(和書洋書をいくつか見てもこうした記法は見られないので，以後，$M$の$(i, j)$成分を$m_{i\ j}$, $m \times n$行列の集合を$M(m,n)$と書くことにする．)

Definition 行列の積

$L \in M(l,m), M \in M(m, n)$があるとき，$L$と$M$の積$LM$を定義できる．
$N =LM$，$L=(l_{i\ j}), M=(m_{i\ j}), N=(n_{i j})$とすると，
$$n_{i\ j} = \sum_{1 \leq k \leq m} l_{i\ k} m_{k\ j}$$

横ベクトル$\mathbf{u}=(u_1, ..., u_n)$と縦ベクトル$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{} v_1\\ \vdots \\ v_n \end{array}\right)$ があるとき，積$\mathbf{uv}=\sum_i u_iv_i$
$L=\left(\begin{array}{} \mathbf{l_1}\\ \mathbf{l_2} \\ \vdots \\ \mathbf{l_l} \end{array}\right), M=(\mathbf{m_1} \ \mathbf{m_2} \ \cdots \ \mathbf{m_m})$と，横ベクトル$\mathbf{l}_i$と縦ベクトル$\mathbf{m}_j$で$L,M$を表すと，
$$n_{i\ j} = \mathbf{l}_i \mathbf{m}_j$$
が成立する．また，$M \in M(m,n)$と$\mathbf{x}\in M(n,1)$があって$M=(\mathbf{m_1} \ \mathbf{m_2} \ \cdots \ \mathbf{m}_n)$と縦ベクトル$\mathbf{m}_i$でかいて，$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{}x_1 \\ \vdots \\x_n \end{array}\right)$とすると，
$$M\mathbf{x} = (x_1 \mathbf{m_1} + \cdots x_n \mathbf{m}_m)$$

Theorem 7.3.1

行列$M$と縦ベクトル$x$があるとき，$Mx=0$なら，$M$のすべての行と$x$は直交する．

Remark

$M$の列たちのなすベクトル空間を$M$の列空間といい，行たちのなすベクトル空間を$M$の行空間という．

7.3.1 Associativity and Non-Commutativity

行列$L,M,N$について，積が定義できるなら$(LM)N=L(MN)$
一方で$LM=ML$は一般には成り立たない．

7.3.2 Block Matrices

$$M = \left(\begin{array}{} 1 & 2 & 3 & 1\\ 4 & 5 & 6 & 0\\ 7 & 8 & 9& 1\\ 0 & 1 & 2 & 0\end{array}\right)$$
があるとき，
$$A= \left(\begin{array}{} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{} 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{} 0 & 1 & 2\end{array}\right), D= \left(0\right)$$
として，$M=\left(\begin{array}{} A & B \\ C & D \end{array}\right)$と書ける．
$N$が$M=\left(\begin{array}{} A' & B' \\ C' & D' \end{array}\right)$と書けて，$AA',BB',CC',DD'$が定義できていれば，
$MN =\left(\begin{array}{} AA'+BC & AB'+BD \\ CA'+DC' & CB'+DD' \end{array}\right)$
が成立する．このように行列を小さな行列を要素とする行列(blocks)に分割して行列の積を計算したりできる．

7.3.3 The Algebra of Square Matrices

正方行列$M$にはべき乗$M^0=I, M^n = M(M^{n-1})$が自然に定義できて，$f(x)=x^2+2x+3$のような多項式に自然に代入できる．

7.3.4 Trace

Definition

$M\in M(n,n)$のtraceは，その対角成分の和．すなわち
$$\text{tr} M = \sum_i m_{i\ i}$$

Theorem 7.3.3

traceは交代的．つまり$\text{tr} MN = \text{tr} NM$

7.5 Inverse matrix

Definition

$M \in M(n,n)$が可逆(正則，非特異)である
$\Leftrightarrow \exists M^{-1} \ \ s.t. \ \ MM^{-1}=M^{-1}M=I$
$M(n,n)$の部分集合で，可逆な行列の集合を一般線形群といい，$GL(n)$と書く．

7.5.1 Three Properties of the Inverse

1. $(A^{-1})^{-1}=A$
2. $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
3. $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$

7.5.2 Finding Inverses (Redux)

大規模な行列の逆行列を求めるに当たって効率の良いアルゴリズム．
$M \in GL(n)$とし，$Mx=v$という線形連立方程式を解く．
$M^{-1}$が存在するから，$x=M^{-1}v$となって，解は一つに定まる．
$I= \left(v_1 \ v_2 \ \cdots \ v_n \right)$となるように縦ベクトル$v_i$を定め，$x_i = M^{-1}v_i$とすると，
$$\left(x_1 \ x_2 \ \cdots \ x_n\right) = M^{-1} \left(v_1 \ v_2 \ \cdots \ v_n\right)=M^{-1}I=M^{-1}$$
が成立する.
よって，$MX=I$という連立方程式を解けば良い．拡大係数行列は
$$(M|I)$$
という形で，基本変形を繰り返して
$$(I|M')$$
という形にしたとき，$M'$は$M^{-1}$に等しい．

7.5.3 Linear Systems and Inversees

$M^{-1}$が存在するとき，$Mx=v \Leftrightarrow x=M^{-1}v$

7.5.4 Homogeneous Systems

Theorem 7.5.1

正方行列$M$が可逆$\Leftrightarrow Mx=0$が$0$以外の解をもたない
proof.

($\Rightarrow$)
$Mx=0$に左から$M^{-1}$をかけて,$x=0$
($\Leftarrow$)
仮定より，$M$は基本変形によって単位行列に変形できる．このとき7.5.2の方法で$M^{-1}$を計算できる．

Basic Analysis (Jiri Lebl) 19日目 広義積分

CC BY-NC-SA 3.0

Chapter 5. The Riemann Integral

5.5 Improper integrals (広義積分)

定積分の積分区間を動かしたときの極限実数すべてでの定積分を計算したいときや,ある点で発散する関数の,その点を端とした開区間での定積分を計算したいときに使う.

Definition 5.5.1

$f: [a,b) \rightarrow \mathbb{R}$は(非有界でも良い)関数とする.
任意の$c < b$について,$[a, c]$で$f$がリーマン可積分($\Rightarrow$有界)で
$$\int^b_a f := \lim_{c \rightarrow b -0} \int^c_a f$$
の右辺が存在するとき,$f$の$[a,b]$における広義積分と定める.
また,$f: [a, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$について,任意の$a < c$で$f[a,c]$がリーマン可積分で,
$$\int^{\infty}_a = \lim_{c\rightarrow \infty} \int^c_a f$$
の右辺が存在するとき,$f$の$[a,\infty]$における広義積分と定める.

Proposition 5.5.2 (p-test for integrals)

$$\int^{\infty}_1 \frac{1}{x^p}$$
は$p>1$において$\frac{1}{p-1}$に収束し,$0 < p \leq 1$において発散する.また,
$$\int^1_0 \frac{1}{x^p}$$
は$0 < p < 1$において$\frac{1}{1-p}$に収束し,$p \geq 1$において発散する.
proof. 略

Proposition 5.5.3

$f:[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$が任意の$b>a$について$[a,b]$上可積分なとき,また任意の$b$をとって,$\int^{\infty}_b f$が収束する$\Leftrightarrow \int^{\infty}_a f$ が収束する.
またこのとき,
$$\int^{\infty}_a f = \int^b_a f + \int^{\infty}_b f$$
proof. 略

Proposition 5.5.4

$f: [a, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$が常に非負で,任意の$a < b$で$[a,b]$上可積分とする.このとき
(i)
$$\int^{\infty}_a f = \sup \left\{ \int^x_a f : x \geq a \right\}$$

(ii)
$\{x_n\}$を$x_n \rightarrow \infty$なる列とすると,$\int^{\infty}_a f$が収束する$\Leftrightarrow$ $\lim \int^{x_n}_a f$が存在する.
またこのとき
$$\int^{\infty}_a f = \lim_n \int^{x_n}_a f$$

proof.
(i)

$f$は非負だから,$\int^x_a f$は$x$について単調増加する.右辺が発散するとき,任意の$M$に$\int^N_a f \geq M$なる$N$がある.$\int^x_a f$は単調増加するから$x \geq N \Rightarrow \int^x_a f \geq M$よって$\int^{\infty}_a f$は発散する.
また,(i)の右辺が$A$に収束するときを考える.任意の$\epsilon > 0$に,$A - \int^N_a f < \epsilon$とできる$N$があって,$\int^x_a f$は増加するから,$x \geq N \Rightarrow A- \int^x_a f<\epsilon$が成立する.したがって$\int^{\infty}_a f$は$A$に収束する.

(ii)

$\Rightarrow$は明らかである.一方,仮定のもとで,任意の$\epsilon$に,$n\geq N \Rightarrow A-\epsilon < \int^{x_n}_a f < A+\epsilon$なる$N$がある.$\int^{\infty}_a f$は増加するから,$x \geq x_N$ ならば
$$A-\epsilon < \int^{x_N}_a f \leq \int^x_a f$$
が成立する.さらに$x_n \rightarrow \infty$から,任意の#x#に$x \geq x_m$なる$m$があって,
$$\int^x_a f \leq \int^{x_m}_a f < a+\epsilon$$
したがって$x \geq x_N$ならば$|\int^x_a f - A| < \epsilon$

Proposition 5.5.5 (Comparison test for improper integrals)

$f:[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, g:[a, \infty)\rightarrow \mathbb{R}$が$a>b$なる任意の$[a,b]$上リーマン可積分で,常に$|f(x)|\leq g(x)$ならば
(i) $\int^{\infty}_a g$が収束するなら$\int^{\infty}_a f$も収束し,$|\int^{\infty}_a f|\leq \int^{\infty}_a g$
(ii) $\int^{\infty}_a f$が発散するなら$\int^{\infty}_a g$も発散する
proof. 略

Example 5.5.6

$$\int^{\infty}_0 \frac{sin(x^2)(x+2)}{x^3+1}dx$$
は収束する
proof.

$$\frac{sin(x^2)(x+2)}{x^3+1}\leq \frac{x+2}{x^3+1} \leq \frac{x+2}{x^3} \leq \frac{x+2x}{x^3} \leq \frac{3}{x^2} \ \ \ (x \geq 1)$$
$\int^{\infty}_1 3/x^2 = \infty$から示せた.

Example 5.5.7

$$\int^{\infty}_2 \frac{2}{x^2-1}dx$$
ここで,
$$\frac{2}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$$
広義積分をこうして和の形にして計算するには，すべての項が確かに収束することを確かめなければならない．

Definition 5.5.8

$f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}$が$a<c<d<b$なる任意の$[c,d]$でリーマン可積分なとき，
$$\int^b_a f := \lim_{c\rightarrow a+0} \lim_{d\rightarrow b-0} \int^d_c f$$
によって$[a,b]$での広義積分を定義する.
同様に,$f$が任意の区間$[a,b]$でリーマン可積分なとき
$$\int^{\infty}_{-\infty} f := \lim_{c\rightarrow -\infty}\lim_{d\rightarrow \infty} \int^d_c f$$
で実数全体の広義積分を定義する.

Proposition 5.5.10

$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$が任意の区間で広義積分可能とする．このとき
$$\lim_{a\rightarrow -\infty}\lim_{b\rightarrow \infty} f \text{が収束する} \Leftrightarrow \lim_{b\rightarrow -\infty}\lim_{a\rightarrow \infty} f$$
とくにこのとき広義積分の値は
$$\lim_{a\rightarrow \infty} \int^a_{-a} f$$
に等しい．

proof.

$a < 0 < b$としてよい.左辺が収束すると仮定すると,
$$\begin{aligned} \lim_{a\rightarrow -\infty}\lim_{b \rightarrow \infty}\int^b_a f &= \lim_{a\rightarrow -\infty}\lim_{b \rightarrow \infty} \left(\int^{0}_a f + \int^b_0 f \right)= \left(\lim_{a\rightarrow -\infty} \int^0_af\right) + \left(\lim_{b\rightarrow \infty} \int^b_0 f\right)\\ &= \lim_{b\rightarrow \infty} \left(\left(\lim_{a\rightarrow -\infty} \int^0_a f \right)+\int^b_0 f \right) = \lim_{b\rightarrow \infty} \lim_{a \rightarrow \infty} \left(\int^0_a f + \int^b_0 f \right) \end{aligned}$$
右辺が収束すると仮定したときも動揺に左辺が収束すると言える.さらに,
$$\int^{\infty}_{\infty} f = \left(\lim_{a\rightarrow \infty} \int^0_{-a}\right) + \left(\lim_{a \rightarrow \infty} \int^a_0 f \right) =\lim_{a\rightarrow \infty} \int^a_{-a} f$$
から，積分値の簡単な求め方もわかる．

Example 5.5.11

$$f(x)=\begin{cases} \frac{x}{|x|} \ \ \ (x \neq 0) \\ 0 \ \ \ (x = 0) \end{cases}$$
とすると，$a < 0 < b$で
$$\int^b_a f = \int^0_a f+ \int^b_0 f = a + b$$
が成立する.$a, b \rightarrow \mp \infty$のとき，各項は発散するので広義積分は発散する．
一方，$\lim_{a\rightarrow \infty} f = 0$で，収束する.
このように，積分区間を区切って積分するときは，区切られた積分が収束するか確かめなければならないのは，Example 5.5.7と同じ．

Example 5.5.12

$$\text{sinc}(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} \ \ \ &(x\neq 0) \\ 0 \ \ \ &(x=0)\end{cases}$$
を(非正規化)sinc関数という.

figure 1. sincのグラフ

$$\int^{\infty}_{-\infty} \text{sinc} = \pi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int^{\infty}_{-\infty} |\text{sinc}| = \infty$$
であることを示す．
まず，
$$\int^{\infty}_{2\pi} \frac{\sin x}{x} dx$$
の収束を示す．$x \in [\pi 2n, \pi(2n+1)]$で

$$0 \leq \frac{\sin(x)}{\pi(2n+1)} \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq \frac{\sin(x)}{\pi 2 n}$$
$x \in [\pi(2n+1), \pi(2n+2)]$で
$$\frac{\sin(x)}{\pi(2n+1)} \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq \frac{\sin(x)}{\pi 2 n+2} \leq 0$$
が成立するが，微積分学の基本定理から
$$\frac{2}{\pi(2n+1)}= \int^{\pi(2n+1)}_{\pi 2n} \frac{sin}{\pi (2n+1)}\leq \int^{\pi(2n+1)}_{\pi 2n} \frac{\sin(x)}{x} dx \leq \int^{\pi (2n+1)}_{\pi 2n} \frac{sin}{\pi 2n} = \frac{1}{\pi n}$$
さらに，
$$\frac{-2}{\pi(2n+1)} \leq \int^{\pi(2n+2)}_{\pi(2n+1)} \frac{\sin(x)}{x} dx \leq \frac{-1}{\pi(n+1)}$$
であって，左辺を足して，
$$0 = \int^{\pi (2n+2)}_{\pi 2n} \frac{\sin(x)}{x} dx \leq \frac{1}{\pi n(n+1)}$$
$M>2\pi$を任意にとって$2\pi k \leq M$なる最大の$k$を選べば，
$$\int^M_{2\pi} \frac{sin(x)}{x} dx = \int^{2\pi k}_{2\pi} \frac{\sin(x)}{x} dx + \int^M_{2k\pi} \frac{\sin(x)}{x} dx$$
$x \in [2k\pi, M]$で$|\sin(x)/x|\leq 1/(2k\pi)$だから，
$$\left| \int^M_{2k\pi} \frac{\sin(x)}{x} dx\right| \leq \frac{1}{k}$$
$k$は$M$とともに増加するので，$M\rightarrow \infty$でこの項は$0$に収束する．
さらに，
$$0\leq \int^{2k\pi}_{2\pi} \frac{\sin(x)}{x} \leq \sum_{n=1}^{k-1} \frac{1}{\pi n(n+1)}$$
この級数は収束するから，
$$\int^{\infty}_{2\pi} \frac{\sin(x)}{x} \leq \sum_{n\geq 1} \frac{1}{\pi n(n+1)} < \infty$$
が示せた．

$$\int^{\infty}_{-\infty} |\text{sinc}| = \infty$$
は，
$$\frac{1}{\pi(n+1)} \leq \int^{\pi (2n+2)}_{\pi(2n+1)} \left| \frac{\sin(x)}{x}\right|dx \leq \frac{2}{\pi(2n+1)}$$
を考えればよい．

Definition

$\int^b_a |f|$が収束するとき，$\int^b_a f$は絶対収束するという．

Theorem

絶対収束する関数の広義積分は(Riemann積分の範囲では)収束する．
proof.

$f:[0, \infty)\rightarrow \mathbb{R}$での広義積分を考える．
$\lim_{a\rightarrow \infty} \int^a_0 |f|$が収束する
$\Leftrightarrow$ (Caucy)
$\forall \epsilon >0 \exists M \ \ .s.t. a_2 > a_1 > G \Rightarrow |\int^{a_2}_0 |f|- \int^{a_1}_0 |f||<\epsilon$
ここで，$|\int^{a_2}_0 f- \int^{a_1}_0| = |\int^{a_2}_{a_1}| \leq \int^{a_2}_{a_1} |f| < \epsilon$から，$\lim_{a \rightarrow \infty} \int^a_0 f$も収束する．

5.5.1 Integral test for series

Proposition 5.5.13

$f:[k,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$が単調減少する非負関数で，$k \in \mathbb{N}$としたとき，
$$\sum_{n \geq k} f(n) \text{が収束する} \Leftrightarrow \int^{\infty}_k f \text{が収束する}$$
またこのとき
$$\int^{\infty}_k f \leq \sum_{n\geq k} f(n) \leq f(k) + \int^{\infty}_k f$$

proof. 略

Example 5.5.14

$\sum_{n \geq 1} 1/n^2$が収束して，その極限を近似する．．$\int^{\infty}_k 1/x^2 = 1/k$だから，収束する．また，
$$\frac{1}{k} = \int^{\infty}_k \frac{1}{x^2}dx \leq \sum_{n\geq k} \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{k^2} + \int^{\infty}_k \frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}$$
だから，各項に$1$から$k-1$までの場合の級数を足して，
$$\frac{1}{k} +\sum_{n=1}^{k-1} \frac{1}{n^2} \leq \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k} + \sum_{n=1}^{k-1} \frac{1}{n^2}$$
$k=10$を代入すると,
$$1.6397 \sim \frac{1}{10}+\sum_{n=1}^9 \frac{1}{n^2} \leq \sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{100}+\frac{1}{10}+\sum_{n=1}^9 \frac{1}{n^2} \sim 1.6497$$

5.5.2 Exercises

Exercise 5.5.12

$g(x)=x^2 f(x)$が$[1, \infty)$で有界となるような$f:[1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$があるとき，$\int^{\infty}_1 f$は収束すると示せ.
proof.

有界性から，$\forall x \in [1, \infty) \ \ |x^2 f(x)|<M$を満たす実数$M$が存在する．
したがって$0 \leq |f(x)|<M/x^2$.
$\lim_{a\rightarrow \infty}\int^a_1 M/x^2 dx = M\lim_a [-1/x]^{\infty}_1 =M$
comparison test for improper integrals より示せた．

なぜかCauchyの主値積分がExerciseにあるがそれはまた明日

Linear Algebra (D. Cherney et al.) 6日目

CC BY-NC-SA 3.0

7.1 Linear Transformation and Matrices

7.1.1 Basis Notation

任意の$m\times n$行列もまたベクトル空間を成すから,ある縦ベクトルで表現したり,$\mathbb{R}^n$の元を標準基底$(1,0,...)^T,(0,1,...,0)^T,...,(0,0,...,1)^T$でない基底によって表現したいときがある. これを実現するのがbasis notation.
基底$B=(b_1, ...,b_n)$を選んで,それぞれの係数$(a_1, ...,a_n)$を与えれば,
$\left(\begin{array}{} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right)_B:=(b_1\ \ ... \ \ b_n) (a_1 \ \ ... \ \ a_n)^T$(行列の積)によって$V$の任意の元を表現できる.$B$を固定すれば,$V$の次元と同じ次元の縦ベクトルでもとのベクトル空間の元を表現できる.

Example 77 (A basis for a hyperplane)

$$V=\left\{ c_1\left(\begin{array}{} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + c_2\left(\begin{array}{} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\right\}$$
という超平面を考える.基底
$$b_1 = \left(\begin{array}{} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), b_2=\left(\begin{array}{} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), B=(b_1, b_2)$$
を選ぶ.
$V$の元は$x,y$を選んで$xb_1 + yb_2$で表現できるから,$E$を標準基底とすると
$$\left(\begin{array}{} x \\ y\end{array}\right)_B := (b_1 \ \ b_2) \left(\begin{array}{} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{} x \\ x+y \\ y \end{array}\right)_E$$

基底$B$で表現されたベクトルを別の基底$B'$のベクトルに変換することは,線形連立方程式を解くことに等しい.

Example 78 (Pauli Matrices)

$$V=\left\{\left(\begin{array}{} z & u \\ v & -z \end{array}\right)| z, u, v \in \mathbb{C} \right\}$$
の基底は,
$$\sigma_x = \left(\begin{array}{} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right), \sigma_y = \left(\begin{array}{} 0 & -i \\ i & 0 \end{array}\right), \sigma_z = \left(\begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$$
とすれば,$B=(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$で与えられる.
$$v = \left(\begin{array}{} -2+i & 1 + i\\ 3-i & 2-i\end{array}\right)_E$$
を$B$で表現する.$v=\alpha^x \sigma_x+\alpha^y \sigma_y + \alpha^z \sigma_z$とすると,$\alpha^x = 2, \alpha^y = 2-2i, \alpha^z = -2+i$
したがって,
$$v = \left(\begin{array}{} -2+i & 1 + i\\ 3-i & 2-i\end{array}\right)_E=(\sigma^x\ \ \sigma^y\ \ \sigma^z) \left(\begin{array}{}2 \\ 2-i \\ -2+i\end{array}\right)=\left(\begin{array}{}2 \\ 2-i \\ -2+i\end{array}\right)_B$$

7.1.2 From LInear Operators to Matrices

$L: V\rightarrow W$を表現する行列は,$V,W$の基底のとり方によって異なる.
$V$の基底を$B=(b_1, ...,b_m)$,$W$の基底を$B'=(\beta_1, ...,\beta_n)$とすると,
$$L(b_i) = m^1_i \beta_1 + \cdots + m^n_i \beta_n$$
を満たす係数$\{m^j_i\}_{1\leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$があって,
$$\begin{aligned}(L(b_1), ...,L(b_m))&=(\beta_1\ \ ...\ \ \beta_n)\left(\begin{array}{} m^1_1 & m^1_2 & \cdots & m^1_m\\m^2_1 & m^2_2 &\cdots &m^2_m \\ \cdots \\ m^n_1& \cdots & \cdots & m^n_m\end{array}\right) \end{aligned}$$
が成立する.

Example 80

$$V=\{a_0 1 + a_1 x +a_2 x^2|a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R}\}$$
$B=(1, x, x^2)$と基底を定めると
$$\left(\begin{array}{} a \\ b \\ c\end{array}\right)=a \cdot 1 + bx + cx^2$$
$$\frac{d}{dx}\left(\begin{array}{} a \\ b \\ c\end{array}\right)_B=\left(\begin{array}{} b\\ 2c \\ 0\end{array}\right)_B$$
から,$B$に対する微分演算子の行列表現は
$$\left(\begin{array}{} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Basic Analysis (Jiri Lebl) 18日目 微積分学の基本定理

CC BY-NC-SA 3.0

Chapter 5 The Riemann Integral

5.3 Fundamental theorem of calculus

5.3.1 First form of the Theorem

Theorem 5.3.1

$F:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$が連続で,$(a,b)$上微分可能とする.$f \in \mathscr{R}[a,b]$で,$f(x)=F'(x) \ \ \text{for } x \in (a,b)$であれば,
$$\int^b_a f = F(b)-F(a)$$
proof.

$P= \{x_0, ..., x_n\}$を$[a,b]$の分割とする.$[x_{i-1},x_i]$において平均値の定理より
$$f(c_i)\Delta x_i = F'(c)(x_i-x_{i-1})=F(x_i)-F(x_{i-1})$$
をみたす$c_i \in (x_{i-1},x_i)$がある.積分の定義で使った記法$m_i, M_i$をまた使うと,
$$m_i \Delta x_i \leq F(x_i) -F(x_{i-1}) \leq M_i \Delta x_i$$
が成立しており,足し合わせて
$$\sum_i m_i \Delta x_i \leq \sum_i (F(x_i) - F(x_{i-1})) \leq \sum_i M_i \Delta x_i$$
が成立する.$\sum_i (F(x_i) - F(x_{i-1}))$は$F(x_n), F(x_0)$以外は打ち消し合って,$F(x_n)-F(0)=F(b)-F(a)$となる.したがって,
$$L(P, f) \leq F(b)-F(a) \leq U(P,f)$$
が任意の分割に成立する.左辺の$\sup$, 右辺の$\inf$は存在して$f\in \mathscr{R}[a,b]$から,その値は等しい.
以上よりたしかに$\int^b_a f = F(b)-F(a)$が成立する.

5.3.2 Second form of the Theorem

Theorem 5.3.3

$f\in \mathscr{R}[a,b]$であるとき,
$$F(x) := \int^x_a f$$
とすれば$F$は$[a,b]$上連続であり,$f$が$c \in [a,b]$で連続なら$F$は$c$で微分可能で$F'(c)=f(c)$
proof.

$f$は有界だから$\forall x \ \ |f(x)|\leq M$なる$M$がある. $x, y \in [a,b]$ならば
$$|F(x)-F(y)|=\left| \int^x_a f - \int^y_a f \right| = \left|\int^x_y f \right| \leq M|x-y|$$
よって$F$は連続.
$c$で$f$が連続とする.$\forall \epsilon \ \ \exists \delta \ \ \text{s.t. } |x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(c)|<\epsilon$したがって
$$f(c)-\epsilon \leq f(x) \leq f(c)+\epsilon$$
よって$x>c$ならば
$$(f(c)-\epsilon)(x-c)\leq \int^x_c f \leq (f(c)+\epsilon)(x-c)$$
$x < c$のときは逆の不等式が成立する.したがって$c\neq x$なら
$$f(c) - \epsilon \leq \frac{\int^x_c f}{x-c} \leq f(c)+\epsilon$$
ここで
$$\frac{F(x)-F(c)}{x-c} = \frac{\int-x_a f - \int^c_a f}{x-c} = \frac{\int^x_c f}{x-c}$$
だから,
$$\left| \frac{F(x)-F(c)}{x-c} -f(c)\right| \leq \epsilon$$
$\epsilon$は任意だから,たしかに$F'(c)=f(c)$.

Remark 5.3.4

Theorem 5.3.3と同じ条件で,$d \in [a, b]$としたとき,
$$F(x) = \int^x_a f = \int^x_d f$$
proof

Theorem 5.3.3の証明において,$|F(x)-F(y)|=|\int^x_d f - \int^y_d f|$と書き換えればそのまま成り立つから成立.

5.3.3 Change of variables

Theorem 5.3.5 (Change of varibales)
$g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$は微分可能で導関数は連続とする.$g([a,b])\subset [c,d]$で,$f:[c,d] \rightarrow \mathbb{R}$が連続なら,
$$\int^b_a f(g(x))g'(x)dx = \int^{g(b)}_{g(a)} f(s)ds$$
proof. 略