Basic Analysis (Jiri Lebl) 19日目 広義積分

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Chapter 5. The Riemann Integral

5.5 Improper integrals (広義積分)

定積分の積分区間を動かしたときの極限実数すべてでの定積分を計算したいときや,ある点で発散する関数の,その点を端とした開区間での定積分を計算したいときに使う.

Definition 5.5.1

$f: [a,b) \rightarrow \mathbb{R}$は(非有界でも良い)関数とする.
任意の$c < b$について,$[a, c]$で$f$がリーマン可積分($\Rightarrow$有界)で
$$\int^b_a f := \lim_{c \rightarrow b -0} \int^c_a f$$
の右辺が存在するとき,$f$の$[a,b]$における広義積分と定める.
また,$f: [a, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$について,任意の$a < c$で$f[a,c]$がリーマン可積分で,
$$\int^{\infty}_a = \lim_{c\rightarrow \infty} \int^c_a f$$
の右辺が存在するとき,$f$の$[a,\infty]$における広義積分と定める.

Proposition 5.5.2 (p-test for integrals)

$$\int^{\infty}_1 \frac{1}{x^p}$$
は$p>1$において$\frac{1}{p-1}$に収束し,$0 < p \leq 1$において発散する.また,
$$\int^1_0 \frac{1}{x^p}$$
は$0 < p < 1$において$\frac{1}{1-p}$に収束し,$p \geq 1$において発散する.
proof. 略

Proposition 5.5.3

$f:[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$が任意の$b>a$について$[a,b]$上可積分なとき,また任意の$b$をとって,$\int^{\infty}_b f$が収束する$\Leftrightarrow \int^{\infty}_a f$ が収束する.
またこのとき,
$$\int^{\infty}_a f = \int^b_a f + \int^{\infty}_b f$$
proof. 略

Proposition 5.5.4

$f: [a, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$が常に非負で,任意の$a < b$で$[a,b]$上可積分とする.このとき
(i)
$$\int^{\infty}_a f = \sup \left\{ \int^x_a f : x \geq a \right\}$$

(ii)
$\{x_n\}$を$x_n \rightarrow \infty$なる列とすると,$\int^{\infty}_a f$が収束する$\Leftrightarrow$ $\lim \int^{x_n}_a f$が存在する.
またこのとき
$$\int^{\infty}_a f = \lim_n \int^{x_n}_a f$$

proof.
(i)

$f$は非負だから,$\int^x_a f$は$x$について単調増加する.右辺が発散するとき,任意の$M$に$\int^N_a f \geq M$なる$N$がある.$\int^x_a f$は単調増加するから$x \geq N \Rightarrow \int^x_a f \geq M$よって$\int^{\infty}_a f$は発散する.
また,(i)の右辺が$A$に収束するときを考える.任意の$\epsilon > 0$に,$A - \int^N_a f < \epsilon$とできる$N$があって,$\int^x_a f$は増加するから,$x \geq N \Rightarrow A- \int^x_a f<\epsilon$が成立する.したがって$\int^{\infty}_a f$は$A$に収束する.

(ii)

$\Rightarrow$は明らかである.一方,仮定のもとで,任意の$\epsilon$に,$n\geq N \Rightarrow A-\epsilon < \int^{x_n}_a f < A+\epsilon$なる$N$がある.$\int^{\infty}_a f$は増加するから,$x \geq x_N$ ならば
$$A-\epsilon < \int^{x_N}_a f \leq \int^x_a f$$
が成立する.さらに$x_n \rightarrow \infty$から,任意の#x#に$x \geq x_m$なる$m$があって,
$$\int^x_a f \leq \int^{x_m}_a f < a+\epsilon$$
したがって$x \geq x_N$ならば$|\int^x_a f - A| < \epsilon$

Proposition 5.5.5 (Comparison test for improper integrals)

$f:[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, g:[a, \infty)\rightarrow \mathbb{R}$が$a>b$なる任意の$[a,b]$上リーマン可積分で,常に$|f(x)|\leq g(x)$ならば
(i) $\int^{\infty}_a g$が収束するなら$\int^{\infty}_a f$も収束し,$|\int^{\infty}_a f|\leq \int^{\infty}_a g$
(ii) $\int^{\infty}_a f$が発散するなら$\int^{\infty}_a g$も発散する
proof. 略

Example 5.5.6

$$\int^{\infty}_0 \frac{sin(x^2)(x+2)}{x^3+1}dx$$
は収束する
proof.

$$\frac{sin(x^2)(x+2)}{x^3+1}\leq \frac{x+2}{x^3+1} \leq \frac{x+2}{x^3} \leq \frac{x+2x}{x^3} \leq \frac{3}{x^2} \ \ \ (x \geq 1)$$
$\int^{\infty}_1 3/x^2 = \infty$から示せた.

Example 5.5.7

$$\int^{\infty}_2 \frac{2}{x^2-1}dx$$
ここで,
$$\frac{2}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$$
広義積分をこうして和の形にして計算するには，すべての項が確かに収束することを確かめなければならない．

Definition 5.5.8

$f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}$が$a<c<d<b$なる任意の$[c,d]$でリーマン可積分なとき，
$$\int^b_a f := \lim_{c\rightarrow a+0} \lim_{d\rightarrow b-0} \int^d_c f$$
によって$[a,b]$での広義積分を定義する.
同様に,$f$が任意の区間$[a,b]$でリーマン可積分なとき
$$\int^{\infty}_{-\infty} f := \lim_{c\rightarrow -\infty}\lim_{d\rightarrow \infty} \int^d_c f$$
で実数全体の広義積分を定義する.

Proposition 5.5.10

$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$が任意の区間で広義積分可能とする．このとき
$$\lim_{a\rightarrow -\infty}\lim_{b\rightarrow \infty} f \text{が収束する} \Leftrightarrow \lim_{b\rightarrow -\infty}\lim_{a\rightarrow \infty} f$$
とくにこのとき広義積分の値は
$$\lim_{a\rightarrow \infty} \int^a_{-a} f$$
に等しい．

proof.

$a < 0 < b$としてよい.左辺が収束すると仮定すると,
$$\begin{aligned} \lim_{a\rightarrow -\infty}\lim_{b \rightarrow \infty}\int^b_a f &= \lim_{a\rightarrow -\infty}\lim_{b \rightarrow \infty} \left(\int^{0}_a f + \int^b_0 f \right)= \left(\lim_{a\rightarrow -\infty} \int^0_af\right) + \left(\lim_{b\rightarrow \infty} \int^b_0 f\right)\\ &= \lim_{b\rightarrow \infty} \left(\left(\lim_{a\rightarrow -\infty} \int^0_a f \right)+\int^b_0 f \right) = \lim_{b\rightarrow \infty} \lim_{a \rightarrow \infty} \left(\int^0_a f + \int^b_0 f \right) \end{aligned}$$
右辺が収束すると仮定したときも動揺に左辺が収束すると言える.さらに,
$$\int^{\infty}_{\infty} f = \left(\lim_{a\rightarrow \infty} \int^0_{-a}\right) + \left(\lim_{a \rightarrow \infty} \int^a_0 f \right) =\lim_{a\rightarrow \infty} \int^a_{-a} f$$
から，積分値の簡単な求め方もわかる．

Example 5.5.11

$$f(x)=\begin{cases} \frac{x}{|x|} \ \ \ (x \neq 0) \\ 0 \ \ \ (x = 0) \end{cases}$$
とすると，$a < 0 < b$で
$$\int^b_a f = \int^0_a f+ \int^b_0 f = a + b$$
が成立する.$a, b \rightarrow \mp \infty$のとき，各項は発散するので広義積分は発散する．
一方，$\lim_{a\rightarrow \infty} f = 0$で，収束する.
このように，積分区間を区切って積分するときは，区切られた積分が収束するか確かめなければならないのは，Example 5.5.7と同じ．

Example 5.5.12

$$\text{sinc}(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} \ \ \ &(x\neq 0) \\ 0 \ \ \ &(x=0)\end{cases}$$
を(非正規化)sinc関数という.

figure 1. sincのグラフ

$$\int^{\infty}_{-\infty} \text{sinc} = \pi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int^{\infty}_{-\infty} |\text{sinc}| = \infty$$
であることを示す．
まず，
$$\int^{\infty}_{2\pi} \frac{\sin x}{x} dx$$
の収束を示す．$x \in [\pi 2n, \pi(2n+1)]$で

$$0 \leq \frac{\sin(x)}{\pi(2n+1)} \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq \frac{\sin(x)}{\pi 2 n}$$
$x \in [\pi(2n+1), \pi(2n+2)]$で
$$\frac{\sin(x)}{\pi(2n+1)} \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq \frac{\sin(x)}{\pi 2 n+2} \leq 0$$
が成立するが，微積分学の基本定理から
$$\frac{2}{\pi(2n+1)}= \int^{\pi(2n+1)}_{\pi 2n} \frac{sin}{\pi (2n+1)}\leq \int^{\pi(2n+1)}_{\pi 2n} \frac{\sin(x)}{x} dx \leq \int^{\pi (2n+1)}_{\pi 2n} \frac{sin}{\pi 2n} = \frac{1}{\pi n}$$
さらに，
$$\frac{-2}{\pi(2n+1)} \leq \int^{\pi(2n+2)}_{\pi(2n+1)} \frac{\sin(x)}{x} dx \leq \frac{-1}{\pi(n+1)}$$
であって，左辺を足して，
$$0 = \int^{\pi (2n+2)}_{\pi 2n} \frac{\sin(x)}{x} dx \leq \frac{1}{\pi n(n+1)}$$
$M>2\pi$を任意にとって$2\pi k \leq M$なる最大の$k$を選べば，
$$\int^M_{2\pi} \frac{sin(x)}{x} dx = \int^{2\pi k}_{2\pi} \frac{\sin(x)}{x} dx + \int^M_{2k\pi} \frac{\sin(x)}{x} dx$$
$x \in [2k\pi, M]$で$|\sin(x)/x|\leq 1/(2k\pi)$だから，
$$\left| \int^M_{2k\pi} \frac{\sin(x)}{x} dx\right| \leq \frac{1}{k}$$
$k$は$M$とともに増加するので，$M\rightarrow \infty$でこの項は$0$に収束する．
さらに，
$$0\leq \int^{2k\pi}_{2\pi} \frac{\sin(x)}{x} \leq \sum_{n=1}^{k-1} \frac{1}{\pi n(n+1)}$$
この級数は収束するから，
$$\int^{\infty}_{2\pi} \frac{\sin(x)}{x} \leq \sum_{n\geq 1} \frac{1}{\pi n(n+1)} < \infty$$
が示せた．

$$\int^{\infty}_{-\infty} |\text{sinc}| = \infty$$
は，
$$\frac{1}{\pi(n+1)} \leq \int^{\pi (2n+2)}_{\pi(2n+1)} \left| \frac{\sin(x)}{x}\right|dx \leq \frac{2}{\pi(2n+1)}$$
を考えればよい．

Definition

$\int^b_a |f|$が収束するとき，$\int^b_a f$は絶対収束するという．

Theorem

絶対収束する関数の広義積分は(Riemann積分の範囲では)収束する．
proof.

$f:[0, \infty)\rightarrow \mathbb{R}$での広義積分を考える．
$\lim_{a\rightarrow \infty} \int^a_0 |f|$が収束する
$\Leftrightarrow$ (Caucy)
$\forall \epsilon >0 \exists M \ \ .s.t. a_2 > a_1 > G \Rightarrow |\int^{a_2}_0 |f|- \int^{a_1}_0 |f||<\epsilon$
ここで，$|\int^{a_2}_0 f- \int^{a_1}_0| = |\int^{a_2}_{a_1}| \leq \int^{a_2}_{a_1} |f| < \epsilon$から，$\lim_{a \rightarrow \infty} \int^a_0 f$も収束する．

5.5.1 Integral test for series

Proposition 5.5.13

$f:[k,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$が単調減少する非負関数で，$k \in \mathbb{N}$としたとき，
$$\sum_{n \geq k} f(n) \text{が収束する} \Leftrightarrow \int^{\infty}_k f \text{が収束する}$$
またこのとき
$$\int^{\infty}_k f \leq \sum_{n\geq k} f(n) \leq f(k) + \int^{\infty}_k f$$

proof. 略

Example 5.5.14

$\sum_{n \geq 1} 1/n^2$が収束して，その極限を近似する．．$\int^{\infty}_k 1/x^2 = 1/k$だから，収束する．また，
$$\frac{1}{k} = \int^{\infty}_k \frac{1}{x^2}dx \leq \sum_{n\geq k} \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{k^2} + \int^{\infty}_k \frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}$$
だから，各項に$1$から$k-1$までの場合の級数を足して，
$$\frac{1}{k} +\sum_{n=1}^{k-1} \frac{1}{n^2} \leq \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k} + \sum_{n=1}^{k-1} \frac{1}{n^2}$$
$k=10$を代入すると,
$$1.6397 \sim \frac{1}{10}+\sum_{n=1}^9 \frac{1}{n^2} \leq \sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{100}+\frac{1}{10}+\sum_{n=1}^9 \frac{1}{n^2} \sim 1.6497$$

5.5.2 Exercises

Exercise 5.5.12

$g(x)=x^2 f(x)$が$[1, \infty)$で有界となるような$f:[1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$があるとき，$\int^{\infty}_1 f$は収束すると示せ.
proof.

有界性から，$\forall x \in [1, \infty) \ \ |x^2 f(x)|<M$を満たす実数$M$が存在する．
したがって$0 \leq |f(x)|<M/x^2$.
$\lim_{a\rightarrow \infty}\int^a_1 M/x^2 dx = M\lim_a [-1/x]^{\infty}_1 =M$
comparison test for improper integrals より示せた．

なぜかCauchyの主値積分がExerciseにあるがそれはまた明日