2017年6月17日土曜日

Basic Analysis (Jiri Lebl) 21日目 関数列の収束

CC BY-NC-SA 3.0

大概の本ではこの章の議論は数列の議論の直後にやる一方,関数のノルム収束は扱われないことが多い.

Chapter 6. Sequences and Functions

この章ではとする.

6.1 Pointwise and uniform convergence

6.1.1 Pointwise convergence

Definition 6.1.1. (各点収束)

にpointwise converge(各点収束)する

つまり、各を固定したとき、数列に収束するということ.

Example 6.1.4

とする.これは以外のすべての点でいかなる関数にも各点収束しない.
proof.

において,が常に成立するので,に収束する.
それ以外の点でいかなるをとっても,で,を満たすが存在する.
このとき,が成立する.よってはコーシー列でないので,収束しない.

6.1.2 Uniform convergence (一様収束)

Definition 6.1.6

に一様収束する

Proposition 6.1.7

に一様収束するとき,に各点収束する.
proof.

定義より明らか.

Example 6.1.8

で各点収束するが一様収束しない.
proof.


に各点収束するのは明らか.
一方,あるに一様収束すると仮定する.とすると,で,
となるによらず存在する.
両辺でをとると,
なるがあって、 である. とするととなり,矛盾.背理法によってが一様収束しないと示せた.

6.1.3 Convergence in uniform norm

有界関数にある実数(uniform norm)を与える.uniform normは恒等関数0からのその関数の距離を表している(多くの本ではノルムのことを長さの一般化としているが,原点からの距離と長さを同一視するのは自然かも).関数列から関数のノルムの実数列を作って,収束性を議論する.

Definition 6.1.9

有界なのuniform norm(sup norm, infinity norm)を

と定める.

Proposition 6.1.10

に一様収束する


proof.

()
が成立する.
ここでの性質よりが常に成立するから,がたしかに成立.
()
から明らか.

Example 6.1.11

とする.

よってに一様収束する.

Definition 6.1.12

は有界な関数列とする.この関数列が”Cauchy in the uniform norm” or “uniformly Cauchy”である

Proposition 6.1.13

は有界関数の列とする.がCauchy in the uniform normである

proof. 略

6.1.4 Exercises

Exercise 6.1.9

のそれぞれの関数が単調増加とする.
なら,に一様収束すると示せ.
答案.


よって示せた

Exercise 6.1.10

について,をみたす各要素が異なる数列が存在するとき,以下の命題の真偽を調べよ
(a) 0に各点収束するようながある
(b) 0に一様収束するようながある
答案.

(a)

とすると,任意のについて,
またでは常に.よってに各点収束していて,命題(a)は真.
(b)

が必ず成り立つから,命題(b)は偽.

Exercise 6.1.11

連続関数を固定し,

とする.まずが連続であると示し,さらにを定義域とする

としたとき,に一様収束することを示せ.
答案.

の連続性は明らかである.
について,が十分大きければであって, だから,となる.
であれば,

の連続性から,に,なるがある.

したがって,ならば.
x=b の場合も同様にならばが言える.
以上より,任意のに,ならばなるが存在する.
よって確かにに一様収束する.

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