Basic Analysis (Jiri Lebl) 22日目 極限と積分の順序交換

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6.2 INterchange of limits

6.2.1 Continuity of the limit

Theorem 6.2.2

$\{f_n\}$が連続関数の列で,$f$に一様収束するとき,$f$は連続.
proof. 略

6.2.2 Integral of the limit

Theorem 6.2.4

$\{f_n\}\subset \mathscr{R}[a,b]$で,$f$に一様収束するとき,$f\in \mathscr{R}[a,b]$で,$\int^b_a f = \lim \int^b_a f_n$.
proof.

$\epsilon>$を固定する.$\{f_n\}$は$f$に一様収束するから,$n\geq M \Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{2(b-a)}$なる$M$がある.
このとき$|f(x)|<\frac{\epsilon}{2(b-a)}+|f_n(x)|$であって,$f_n$の有界性より$f$も有界.
$$\begin{aligned}\overline{\int^b_a} f - \underline{\int^b_a} f &= \overline{\int^b_a} (f - f_n + f_n) - \underline{\int^b_a} (f - f_n + f_n) \\ &\underline{\leq}_{(1)} \overline{\int^b_a} (f -f_n) + \overline{\int^b_a} f_n - \underline{\int^b_a} (f-f_n) - \underline{\int^b_a} f_n \\ &=_{(2)} \overline{\int^b_a}(f-f_n) + \int^b_a f_n - \underline{\int^b_a} (f-f_n) - \int^b_a f_n \\ &\leq 2\frac{\epsilon}{2(b-a)}(b-a) = \epsilon \end{aligned}$$
が成立する.((1): Exercise 5.2.16, (2): $f_n$のリーマン可積性)
$\epsilon$は任意だから,$f$のダルブー上下積分は一致し,リーマン可積分.
さらに,Prop 5.1.10から,$n \geq M$で
$$\left| \int^b_a f - \int^b_a f_n \right| = \left|\int^b_a (f - f_n)\right| \leq \epsilon/2 < \epsilon$$
より,$\int^b_a f = \lim \int^b_a f_n$がたしかに成立.

Example 6.2.5

$$f_n = \frac{nx+\sin(nx^2)}{n},\ \ \lim_{n \rightarrow \infty} \int^1_0 f_n$$
を計算する.

$$|f_n-x| = \left| \frac{\sin(nx^2)}{n} \right|< |\frac{1}{n}| \rightarrow 0$$
より,$\{f_n\}$は$x$に一様収束する.
$\lim \int^1_0 f_n = \int^1_0 x = 1/2$.

Example 6.2.6

リーマン可積分関数列の各点収束極限がリーマン可積分でない例
$$f_n(x):= \begin{cases} 1 \ \ &(x=p/q, q \leq n\text{と書けるとき}) \\ 0 &(otherwise)\end{cases}$$
とすると,
$$f := \begin{cases} 1 \ \ &(x \in \mathbb{Q}) \\ 0&(x \notin \mathbb{Q})\end{cases}$$
に$[0,1]$上で各点収束する.
これはリーマン可積分でない.

6.2.3 Exercises

Definition

$\{x_{n,m}\}$を2次元数列とする.$L$がこの数列のjoint limitである
$\Leftrightarrow [\forall \epsilon\ \exists M\ n,m\geq M \Rightarrow |x_{n,m}-L|<\epsilon]$
このとき$L$を$\lim_{(n,m)\rightarrow \infty} x_{n,m}=L$と書く.

Exercise 6.2.13

$L=\lim_{n,m} x_{n,m}$とする.任意の$n$を固定したしたとき$\lim_m x_{n,m}$が存在し,$m$を固定したときも同様のことが言えるとする.このとき$L=\lim_n(\lim_m x_{n,m}) = \lim_m(\lim_n x_{n,m})$を示せ.
答案.

$y_n = \lim_m x_{n,m}$とする.
$$|x_{n,n} - y_n|\leq \underline{|x_{n,n} -L|}_{(0)}+ \underline{|L-x_{n,m}|}_{(1)} + \underline{|x_{n,m} - y_n|}_{(2)}$$
が常に成立する.
$\epsilon >0$を固定する.joint limitの存在より$n,m \geq N_1 \Rightarrow (0),(1) < \epsilon$なる$N_1$が存在する.
$y_n = \lim_m x_{n,m}$から,十分大きな$m$に$(2) < \epsilon$.
以上より$n \geq N_1 \Rightarrow |x_{n,n} -y_n|<3\epsilon$.
したがって$\{x_{n,n}\}_n$と$\{y_n\}=\{\lim_m x_{n,m}\}_n$の極限は等しく,$L$.
同様に$L=\lim_m (\lim_n x_{n,m})$.
以上により示せた.

Exercise 6.2.14

joint limitの存在は,$\lim_m x_{n,m}$や$\lim_n x_{n,m}$の存在を保証しない.
$$x_{n,m} := \frac{(-1)^{n+m}}{\min{n,m}}$$
とする.
(a)$\lim_m x_{n,m}$が存在しないこと, $\lim_n x_{n,m}$が存在しないことを示せ.(したがって$\lim_n (\lim_m x_{n,m}),\ \lim_{m} (\lim_n x_{n,m})$は意味を持たない)
(b) joint limitは$0$であることを示せ.
答案.

(a)
$n$を固定するとき,$m>n$について$x_{n,m}=(-1)^{n+m}/n$であって,$m$とともに振動して収束しない.よって$\lim_m x_{n,m}$は存在しない.もう一方も同様.
(b)
$\epsilon >0$とする.$N=\lceil{1/\epsilon}\rceil$とすると,$n,m\geq N \Rightarrow |x_{n,m}|<\epsilon$.よって示せた.

6.3 Picard’s Theorem

これまでに学んだすべてを使ってPicard’s theoremを証明する.ある常微分方程式のクラスの解の存在と一意性を与える定理であり,応用上も重要.wikipediaにあるピカールの定理とは違う定理で,Picard–Lindelöf theorem,Picard’s existence theorem or Cauchy–Lipschitz theoremとか呼ばれることもある.

6.3.1 First order ordinary differential equation

$y' = F(x,y)$という形の微分方程式を1階上微分方程式という.ふつう初期値$y(x_0)=y_0$を予め与えて,その条件のもとで解く.$F$が$x$のみの関数なら,微積分学の基本定理を使えば良いが,そうでないときは解が存在するとは限らない(存在すれば一意).

6.3.2 The Theorem

Definition 6.3.1

$U \subset \mathbb{R}^2$を定義域とする$F:U\rightarrow \mathbb{R}$を考える.$(x, y) \in U$で$F$が連続
$\Leftrightarrow$ $(x,y)$に収束する任意の列$\{x_n,y_n\}_n$について,$F(x_n,y_n)\rightarrow F(x,y)$.
$\forall x \in U$で連続なら,$F$は$U$で連続という.

Theorem 6.3.2 (Picard’s theorem on existence and uniqueness)

$I, J\subset \mathbb{R}$を有界閉区間とする.$I_0, J_0$を$I, J$の内部,$(x_0,y_0) \in I_0 \times J_0$とする.$f:I\times J \rightarrow \mathbb{R}$は連像で,2つめの引数についてリプシッツ連続とする.すなわち
$$\exists L \text{s.t. }\forall y, z \in J, x\in I \ \ \ |F(x,y) - F(x,z)| \leq L|y-z|$$
このとき,ある$h>0$と,で微分可能な$f:[x_0-h, x_0+h]\rightarrow J$で,$f'(x) = F(x,f(x)), f(x_0)=y_0$をみたす$f$がただ一つ存在する.

sketch.

条件を満たす$f$が存在すると仮定すると,$y_0=f(x_0)$と初期値を与えると微積分学の基本定理から
$$f(x) = y_0 + \int^x_{x_0} F(t, f(t)) dt$$
が成立する.右辺を近似して,極限で右辺の解に収束するような関数列$\{f_k\}$を考える.この手法をPicard iterationといい, $\{f_k\}$をPicard iteratesという.

proof.

$x_0=0$として一般性を失わない(Exercise 6.3.3).$|F(x,y)| \leq M$なる$M$が存在する.$[-\alpha, \alpha] \subset I, \ [y_0 -\alpha, y_0+\alpha]\subset J$なる$\alpha>0$を一つ取る.$h := \min\{\alpha, \alpha/(M+L\alpha)$とすると,$[-h,h] \subset I$.
$f_0(x)=y_0$から帰納的に$\{f_k\}$を定める.
$f_{k-1}([-h,h]) \subset[y_0-\alpha, y_0+\alpha]$であるとき,$F(t, f_{k-1}(t))$は$t\in [-h,h]$できちんと定義された関数であって(Exercise 6.3.2),$f_{k-1}$が$[-h,h]$で連続なら$F(t, f_{k-1}(t))$もまた$t \in [-h,h]$で連続(Exercise 6.3.1).
$$f_k(x) := y_0 + \int^x_0 F(t,f_{k-1}(t))dt$$
が存在して,$f_k$はまた微積分学の基本定理より$[-h, h]$で連続である.$x \in [-h,h]$で
$$|f_k(x)-y_0| = \left| \int^x_0 F(t, f_{k-1}(t))dt \right|\leq M|x|\leq Mh\leq M\frac{\alpha}{M+L\alpha} \leq \alpha$$
だから,$f_{k}$のrangeは$[y_0-\alpha, y_0+\alpha]$の部分集合.
こうして$\{f_k\}$を構成していく.$\{f_k\}$が題意を満たす$f$に収束することを示す.
$\{f_k\}$が$[-h,h]$である関数に一様収束することを示す.$t \in [-h,h]$に,
$$|F(t,f_n(t))-F(t,f_k(t))| \leq L|f_n(t)-f_k(t)| \leq L||f_n-f_k||u$$
が任意の$n,k$に成立し,$|x|\leq h \leq \alpha/(M+L\alpha)$だから,
$$\begin{aligned} |f_n(x)-f_k(x)| &= \left|\int^x_0 \left[ F(t,f_{n-1}(t))dt - F(t,f_{k-1}(t)) \right]dt \right| \\&\leq L||f_{n-1}-f_{k-1}||_u |x| \\ &\leq \frac{L\alpha}{M+L\alpha}||f_{n-1}-f_{k-1}||_u \end{aligned}$$
であって,$C:=L\alpha/(M+L\alpha)<1$とすれば$||f_n-f_k||_u \leq C||f_{n-1}-f_{k-1}||_u$
$n\geq k$として,$||f_n-f_k||_u \leq C^k ||f_{n-k} -f_0||_u$が成立し,
$||f_n-f_k\|_u \leq C^k ||f_{n-k}-f_0||_u \leq C^k \alpha$.
$C<1$だから$\{f_n\}$がuniform Cauchyで,$\{f_n\}$は$[-h,h]$である$f:[-h,h]\rightarrow \mathbb{R}$に一様収束する(このような$f$は一意).
$f$は連続関数の一様収束極限だから,連続であり,$f_n([-h,h]) \subset[y_0-\alpha,y_0+\alpha]$から,$f([-h,h]) \subset [y_0-\alpha, y_0+\alpha]$.
$f$がたしかに与えられた方程式の解であることを示す.
$$|f(t, f_n(t)) -F(t,f(t))| \leq L||f_n - f||_u$$
で,$||f_n-f||_u \rightarrow 0$から,$F(t, f_n(t))$は$F(t, f(t))$に一様収束する.
したがって$x\in [0,h]$で,$t \in [0,x]$
$$\begin{aligned} y_0 + \int^x_0 F(t, f(t)) dt &= y_0 + \int^x_0 F(t, \lim f_n (t)) dt \\&= y_0 + \int^x_0 \lim F(t, f_n(t)) \\ &= \lim_n \left(y_0 + \int^x_0 F(t,f_n(t))dt\right)\\ &= \lim_n f_{n+1}(x) = f(x) \end{aligned}$$
である.
微積分学の基本定理から,$f$は微分可能で導関数は$F(x,f(x))$.また$f(0)=y_0$.

6.3.4 Exercises

Exercise 6.3.1

$I, J \subset \mathbb{R}$を区間とする.$F: I\times J \rightarrow \mathbb{R}$が2変数の連続関数で,$f: I\rightarrow J$が連続なら,$F(x,f(x))$も$I$上連続と示せ.
答案.

$x_0$での連続性を示す.
$x_0$に収束する$\{x_n\}\subset I$を任意にとる.$f$の連続性から$\{f(x_n)\}$は$f(x_0)\in J$に収束する.
$(x_n, f(x_n))$は$(x_0,f(x_0))$に収束する$I\times J$に含まれる数列であって,$F$の連続性から任意の$\epsilon$に
$n \geq N \Rightarrow |F(x_n, f(x_n))-F(x_0,f(x_0))|< \epsilon$なる$N$がある.
これは$F(x,f(x))$の$x_0$での連続性と同値.

Exercise 6.3.2

$I, J \subset \mathbb{R}$は有界な閉区間とする.$F: I \times J \rightarrow \mathbb{R}$が連続なら,$F$は有界であると示せ.
答案.

非有界であるとして矛盾を導く.
$F(x_n,y_n)>n$を満たすような$\{(x_n,y_n)\}_n \subset I\times J$が存在する.Bolzano-Weierstrassの定理(多次元)から,収束する部分列$\{(x_{n_k}, y_{n_k})\}_k$がある.その極限を$(x_0,y_0)$とすると,$M:=F(x_0,y_0)$は有限値.一方$\{F(x_{n_k}, y_{n_k})\}$は発散する.これは$F$の連続性に反する.背理法によって示せた.