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4.4 Inverse function theorem (陰関数定理)
4.4.1 Inverse function theorem
Lemma 4.4.1
I,J⊂Rは区間で,f:I→Jは全単射かつ狭義単調増加で,x∈Iで微分可能で,f′(x)≠0であるとする.このとき,y=f(x)において,
(f−1)′(y)=1f′(f−1(y))=1f′(x)
が成立し,特にf′がIで連続でf′≠0なとき,f−1もまた連続微分可能である.(連続微分可能 ⇔ 微分可能かつ導関数が連続)
proof. 略
Theorem 4.4.2 (Inverse function theorem)
f:(a,b)→Rが連続微分可能でx0∈(a,b)でf′(x0)≠0であるとき,x0∈I⊂(a,b) なる区間Iであって,fのIへの制限f|I:I→f(I)が全単射で,連続微分可能な逆関数g=(f|I)−1があって,
g′(y)=1f′(g(y))
が成立する.
proof. 略
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