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2017年6月7日水曜日

Basic Analysis (Jiri Lebl) 15日目 陰関数定理

CC BY-NC-SA 3.0

4.4 Inverse function theorem (陰関数定理)

4.4.1 Inverse function theorem

Lemma 4.4.1

I,JRは区間で,f:IJは全単射かつ狭義単調増加で,xIで微分可能で,f(x)0であるとする.このとき,y=f(x)において,
(f1)(y)=1f(f1(y))=1f(x)
が成立し,特にfIで連続でf0なとき,f1もまた連続微分可能である.(連続微分可能 微分可能かつ導関数が連続)
proof. 略

Theorem 4.4.2 (Inverse function theorem)

f:(a,b)Rが連続微分可能でx0(a,b)f(x0)0であるとき,x0I(a,b) なる区間Iであって,fIへの制限f|I:If(I)が全単射で,連続微分可能な逆関数g=(f|I)1があって,
g(y)=1f(g(y))
が成立する.

proof. 略

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