Basic Analysis (Jiri Lebl) 15日目 陰関数定理

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4.4 Inverse function theorem (陰関数定理)

4.4.1 Inverse function theorem

Lemma 4.4.1

$I, J \subset \mathbb{R}$は区間で,$f: I \rightarrow J$は全単射かつ狭義単調増加で，$x \in I$で微分可能で,$f'(x) \neq 0$であるとする．このとき，$y = f(x)$において，
$$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f' (f^{-1} (y))} = \frac{1}{f'(x)}$$
が成立し，特に$f'$が$I$で連続で$f' \neq 0$なとき，$f^{-1}$もまた連続微分可能である.(連続微分可能 $\Leftrightarrow$ 微分可能かつ導関数が連続)
proof. 略

Theorem 4.4.2 (Inverse function theorem)

$f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$が連続微分可能で$x_0 \in (a,b)$で$f'(x_0)\neq 0$であるとき，$x_0 \in I \subset (a,b)$ なる区間$I$であって，$f$の$I$への制限$f_{|I}:I \rightarrow f(I)$が全単射で,連続微分可能な逆関数$g = (f_{|I}) ^{-1}$があって，
$$g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))}$$
が成立する．

proof. 略