Basic Analysis (Jiri Lebl) 16日目 Riemann積分の定義

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Chapter 5 The Riemann Integral

5.1 The Riemann Integral

高校で習う積分.普通積分というとこれのこと.この本ではDarbouxの方法でRiemannが考えたのと同値な積分を導入する.

5.1.1 Partitions and lower and upper integrals

Definition 5.1.1

$P$が区間 $[a, b]$ の分割である
$\Leftrightarrow$ Pは
$$a= x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$$
を満たす $\{x_0, ..., x_n\}$.
このとき、$\Delta x_i := x_i - x_{i-1}$ と書く.
また,有界な$f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ と $[a, b]$ の分割 $P$ があるとき、
$$m_i := \inf\{f(x) | x_{i-1} \leq x \leq x_i \} \\ M_i := \sup\{f(x) | x_{i-1} \leq x \leq x_i\} \\ L(P, f) := \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i \\ U(P, f) := \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i$$
と定める.$L(P, f), U(P, f)$ をそれぞれ下Darboux和, 上Darboux和という.(上下Darboux和を$\overline{S}(P,f), \underline{S}(P,f)$と書く本もある)

Proposition 5.1.2

$f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$が有界で, $m, M \in \mathbb{R}$を$f$の下限,上限とする . $[a, b]$の任意の分割$P$に,
$$m(b-a) \leq L(P, f) \leq U(P, f) \leq M(b-a)$$
proof.
略 (ほとんど明らか)

Definition 5.1.3

Darboux和は有界だから,
$$\underline{\int^b_a }f = \underline{\int^b_a} f(x) dx = \sup \{L(P,f) | Pは[a, b]の分割\} \\ \overline{\int^b_a} f= \overline{\int^b_a} f(x) dx = \inf \{U(P, f) | P は[a, b]の分割\}$$
が存在して,それぞれを下Darboux積分, 上Darboux積分という.

Definition 5.1.6

$[a, b]$の分割$P=\{x_0, ..., x_n\}, \tilde P = \{ \tilde{x_0}, ..., \tilde{x_m}\}$があるとき, $\tilde{P}$が$P$の細分である
$\Leftrightarrow P \subset \tilde{P}$

Proposition 5.1.7

$f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$が有界で,$P$は$[a, b]$の分割で,$\tilde{P}$が$P$の細分とする.このとき
$$L(P, f) \leq L(\tilde P, f) \ \ \ \ \ U(\tilde P, f) \leq U(P, f)$$
proof.

$P=\{x_0, ..., x_n\}, \tilde P = \{ \tilde{x_0}, ..., \tilde{x_m}\}$とする. 細分の定義から, $x_0 = \tilde x_0, x_n = \tilde{x}_m$であって,$x_k = \tilde x_{k_j}$をみたす狭義単調増加数列$\{k_j\}_{j=0}^n$が存在する.$\Delta \tilde{x_j} = \tilde x_{j-1} - \tilde x_j$ とすると,
$$\Delta x_j = \sum_{p = k_{j-1}+1} ^{k_j}\Delta \tilde x_p$$
が成立する.$m_j = \inf \{f(x) | x_{j-1} \leq x \leq x_j\}, \tilde{m}_j = \inf \{f(x)| \tilde{x}_{j-1} \leq x \leq \tilde x_j\}$とすれば,$k_{j-1}< p \leq k_j$において$m_j \leq \tilde{m}_p$. したがって
$$m_j \Delta x_j = m_j \sum_{p=k_{j-1}+1}^{k_j} \Delta \tilde{x}_p \leq \sum_{p=k_{j-1}+1}^{k_j} \tilde{m}_p \Delta\tilde{x}_p$$
ゆえに
$$L(P, f) = \sum_{j=1}^n m_j \Delta x_j \leq \sum_{j=1}^n \sum_{p=k_{j-1}+1}^{k_j} \tilde{m}_p \Delta \tilde{x}_p = \sum_{j=1}^m \tilde{m}_j \Delta \tilde{x}_j = L(\tilde{P}, f)$$
が成立する.
$U(\tilde{P}, f) \leq U(P, f)$も同様に示せる.

Proposition 5.1.8

以上の定義のもとで
$$m(b-a) \leq \underline{\int^b_a} f \leq \overline{\int^b_a} \leq M(b-a)$$
proof.

Prop 5.1.2 より任意の$P$に
$$m(b-a) \leq L(P, f) \leq U(p,f) \leq M(b-a)$$
$m(b-a) \leq L(P,f)$から$m(b-a) \leq \sup L(P,f) = \underline{\int^b_a f}$.同様に$\overline{\int^b_a}f \leq M(b-a)$.
また,任意の分割$P_1, P_2$があったとき,$\tilde P = P_1 \cup P_2$とすると,$\tilde P$は$P_1, P_2$の細分であって,Prop 5.1.7より$L(P_1, f) \leq L(\tilde P, f) \leq U(\tilde P, f) \leq U(P_2, f)$したがって,$L(P_1, f) \leq U(P_2, f)$が常に成立.Prop 1.2.7より,
$$\underline{\int^b_a} f = \sup \{L(P, f)|P\} \leq \inf \{U(P, f)|P\} = \overline{\int^b_a}f$$

5.1.2 Riemann integral

Definition 5.1.9

$f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$は有界で,
$$\underline{\int^b_a} f = \overline{\int^b_a}f$$
であるとする.このとき$f$はリーマン可積分であるといい,リーマン積分可能な$[a,b]$上の関数の集合を$\mathscr{R}[a,b]$と書く.$f \in \mathscr{R}[a,b]$であるとき,
$\int^b_a f = \int^b_a f(x)dx := \underline{\int^b_a} f = \overline{\int^b_a} f$で積分の値を表す.
定義よりリーマン可積分関数は有界で,Prop 5.1.8より直ち次の命題を得る.

Proposition 5.1.10

$f \in \mathscr{R}[a,b]$とする.$m, M$をそれぞれ$f$の下界,上界とすると,
$$m(b-a) \leq \int^b_a f \leq M(b-a) (\Rightarrow |\int^b_a f| \leq \max(|m|,|M|)(b-a)$$

Proposition 5.1.13

$f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$は有界とする. $f$がリーマン可積分
$\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \ \ \exists P \ \ \mbox{s.t. } U(P,f)-L(P,f)<\epsilon$
proof. 略

5.2 Properties of the integral

5.2.1 Additivity

Darboux和の加法性を示すことで,Riemann積分の加法性を示す.

Lemma 5.2.1

$a < b < c, f: [a, c] \rightarrow \mathbb{R}$は有界とする.このとき
$$\underline{\int^c_a} f = \underline {\int^b_a}f = \underline{\int^c_b}f \\ \overline{\int^c_a} f = \overline {\int^b_a}f = \overline{\int^c_b}f$$
が成立する.
proof.

分割$P_1 = \{a=x_0, ..., x_k=b\}, P_2 = \{b=x_k, _{k+1}, ..., x_n=c\}$を考えると,$P_1 \cup P_2$は$[a, c]$の分割.
$L(P, f) = L(P_1, f)+L(P_2, f)$ とできる.右辺で上限を取るとき,左辺は$P$を$b \in P$に制限した上での上限.
$Q$を$[a,c]$の任意の分割とすると,$P=Q \cup \{b\}$は$Q$の細分であって,$L(Q,f) \leq L(P,f)$したがって$b \in P$に制限した上限は制限しないときの上限に等しく,命題の片方が成立する.もう一方も同様.

Theorem 5.2.2

$$a < b < c, f \in \mathscr{R}[a,c] \Leftrightarrow f_{|[a,b]} \in \mathscr{R}[a,b], f_{|[b,c]} \in \mathscr{R}[b,c]$$
proof.

($\Rightarrow$)Lemma 5.2.1より,
$$\int^c_a f = \underline{\int^c_a}f = \underline{\int^b_a} f + \underline{\int^c_b} f \leq \overline{\int^b_a} f + \overline{\int^c_b} f = \overline{\int^c_a}f = \int^c_a f$$
したがって,
$$\underline{\int^b_a} f + \underline{\int^c_b} f = \overline{\int^b_a} f + \overline{\int^c_b} f$$
ここで,$\underline{\int^b_a} f \leq \overline{\int^b_a} f, \underline{\int^c_b} f \leq \overline{\int^c_b}f$だから,
$\underline{\int^b_a} f = \overline{\int^b_a} f, \underline{\int^c_b} f = \overline{\int^c_b}f$.
すなわち$f$は$[a, b], [b, c]$でリーマン積分可能.
($\Leftarrow$) Lemma 5.2.1から明らか.