Linear Algebra (D. Cherney et al.) 4日目

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Chapter 5. Vector Spaces (ベクトル空間)

ベクトル空間は，加算とスカラー倍に閉じた集合のこと．

Definition. Vector space

２つの演算$+, \cdot$が定義された集合$V$が$\mathbb{R}$をスカラーとしてベクトル空間である
$\Leftrightarrow$ $u , v, w \in V, c, d, \in \mathbb{R}$とすると，以下のすべてが同時に成立
(+i) (Additive Closure) $u + v \in V$
(+ii) (Additive Commutativity) $u + v = v + u$
(+iii) (Additive Associativity) $(u + v) + w = u + (v + w)$
(+iv) (Zero) $u + 0_V = u$がすべての$u$に成り立つような特別な元$0_V$がある(零元という)
(+v) (Additive Inverse) すべての$u \in V$に， $u + v = 0_V$となるような$v$がある．$v$を$-u$とも書く．
($\cdot$ i) (Multiplicative Closure) $c \cdot v \in V$
($\cdot$ ii) (Distributivity) $(c + d) \cdot v = c \dot v + d \dot v$
($\cdot$ iii) (Distributivity) $c (u + v) = c \cdot u + c \cdot v$
($\cdot$ iv) (Associativity) $(c \cdot d) \cdot v = c \cdot (d \cdot v)$
($\cdot$ v) (Unity) $1 \cdot v = v$ for all $v \in V$

代数学でいう体(field)との違いは，スカラーを別の(同じでもいいが)集合から持ってくること．

5.1 Examples of Vector Spaces

Example 58

$$\mathbb{R}^\mathbb{N} = \{ f | f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\}$$
$(f_1 + f_2)(n) = f_1(n) + f_2(n), (cf)(n) = c(f(n))$とすれば，たしかにベクトル空間となっている．
この空間のそれぞれの元は実数列と考えることができる.

Example 59

$$\mathbb{R}^\mathbb{R} = \{ f | f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\}$$
58と同様にベクトル空間である．

Example 61

$$\{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} | \frac{d}{dx}f \mbox{が存在する}\}$$
もまた58の演算によってベクトル空間となる．

Example 62 (Solution set to a homogeneous linear equation)

$M = \left( \begin{array}{} 1 & 1 & 1 \\\ 2 & 2 & 2 \\\ 3 & 3 & 3 \end{array}\right)$とすると，$Mx=0$の解は$\{ c_1 \left( \begin{array}{} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + c_2 \left( \begin{array}{} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) | c_1 , c_2 \in \mathbb{R}\}$
この解空間もまたベクトル空間である．$\mathbb{R}^3$の部分集合だから，部分空間とも呼ぶ．