Basic Analysis (Jiri Lebl) 18日目 微積分学の基本定理

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Chapter 5 The Riemann Integral

5.3 Fundamental theorem of calculus

5.3.1 First form of the Theorem

Theorem 5.3.1

$F:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$が連続で,$(a,b)$上微分可能とする.$f \in \mathscr{R}[a,b]$で,$f(x)=F'(x) \ \ \text{for } x \in (a,b)$であれば,
$$\int^b_a f = F(b)-F(a)$$
proof.

$P= \{x_0, ..., x_n\}$を$[a,b]$の分割とする.$[x_{i-1},x_i]$において平均値の定理より
$$f(c_i)\Delta x_i = F'(c)(x_i-x_{i-1})=F(x_i)-F(x_{i-1})$$
をみたす$c_i \in (x_{i-1},x_i)$がある.積分の定義で使った記法$m_i, M_i$をまた使うと,
$$m_i \Delta x_i \leq F(x_i) -F(x_{i-1}) \leq M_i \Delta x_i$$
が成立しており,足し合わせて
$$\sum_i m_i \Delta x_i \leq \sum_i (F(x_i) - F(x_{i-1})) \leq \sum_i M_i \Delta x_i$$
が成立する.$\sum_i (F(x_i) - F(x_{i-1}))$は$F(x_n), F(x_0)$以外は打ち消し合って,$F(x_n)-F(0)=F(b)-F(a)$となる.したがって,
$$L(P, f) \leq F(b)-F(a) \leq U(P,f)$$
が任意の分割に成立する.左辺の$\sup$, 右辺の$\inf$は存在して$f\in \mathscr{R}[a,b]$から,その値は等しい.
以上よりたしかに$\int^b_a f = F(b)-F(a)$が成立する.

5.3.2 Second form of the Theorem

Theorem 5.3.3

$f\in \mathscr{R}[a,b]$であるとき,
$$F(x) := \int^x_a f$$
とすれば$F$は$[a,b]$上連続であり,$f$が$c \in [a,b]$で連続なら$F$は$c$で微分可能で$F'(c)=f(c)$
proof.

$f$は有界だから$\forall x \ \ |f(x)|\leq M$なる$M$がある. $x, y \in [a,b]$ならば
$$|F(x)-F(y)|=\left| \int^x_a f - \int^y_a f \right| = \left|\int^x_y f \right| \leq M|x-y|$$
よって$F$は連続.
$c$で$f$が連続とする.$\forall \epsilon \ \ \exists \delta \ \ \text{s.t. } |x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(c)|<\epsilon$したがって
$$f(c)-\epsilon \leq f(x) \leq f(c)+\epsilon$$
よって$x>c$ならば
$$(f(c)-\epsilon)(x-c)\leq \int^x_c f \leq (f(c)+\epsilon)(x-c)$$
$x < c$のときは逆の不等式が成立する.したがって$c\neq x$なら
$$f(c) - \epsilon \leq \frac{\int^x_c f}{x-c} \leq f(c)+\epsilon$$
ここで
$$\frac{F(x)-F(c)}{x-c} = \frac{\int-x_a f - \int^c_a f}{x-c} = \frac{\int^x_c f}{x-c}$$
だから,
$$\left| \frac{F(x)-F(c)}{x-c} -f(c)\right| \leq \epsilon$$
$\epsilon$は任意だから,たしかに$F'(c)=f(c)$.

Remark 5.3.4

Theorem 5.3.3と同じ条件で,$d \in [a, b]$としたとき,
$$F(x) = \int^x_a f = \int^x_d f$$
proof

Theorem 5.3.3の証明において,$|F(x)-F(y)|=|\int^x_d f - \int^y_d f|$と書き換えればそのまま成り立つから成立.

5.3.3 Change of variables

Theorem 5.3.5 (Change of varibales)
$g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$は微分可能で導関数は連続とする.$g([a,b])\subset [c,d]$で,$f:[c,d] \rightarrow \mathbb{R}$が連続なら,
$$\int^b_a f(g(x))g'(x)dx = \int^{g(b)}_{g(a)} f(s)ds$$
proof. 略