Basic Analysis (Jiri Lebl) 17日目 Riemann積分の線形性

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Chapter 5 The Riemann Integral

5.2 Properties of the Integral

5.2.2 Linearity and monotonicity

Proposition 5.2.4 (Linearity)

$f, g \in \mathscr{R}[a, b], \alpha \in \mathbb{R}$とする.
(i) $\alpha f \in \mathscr{R}[a,b]$で,
$$\int^b_a \alpha f = \alpha \int^b_a f$$
(ii) $f + g \in \mathscr{R}$で,
$$\int^b_a(f+g) = \int^b_a f + \int^b_a g$$
proof.

(i) 略
(ii) (Exercies 5.2.2)
Prop 5.1.13の逆(明らか)より,$U(P_1, f)-L(P_1,f)<\epsilon, U(P_2,g)-L(P_2,g)<\epsilon$なる$[a,b]$の分割$P_1,P_2$がある.$P=P_1 \cup P_2$とすると,Prop 5.1.7より
$$U(P,f)-L(P,f) < \epsilon, U(P,g)-L(P,g)<\epsilon$$
さらに
$$\sup_{x_{i-1}\leq x \leq x_i}(f+g)(x) \leq \sup_{x_{i-1}\leq x \leq x_i}f(x) + \sup_{x_{i-1}\leq x \leq x_i}g(x)$$
が常に成立するから$\overline{\int^b_a}(f+g) \leq \overline{\int^b_a}f + \overline{\int^b_a}g$
同様に$\underline{\int^b_a}(f+g) \geq \underline{\int^b_a}f + \underline{\int^b_a}g$
したがって
$$\underline{\int^b_a}f + \underline{\int^b_a}g \leq \underline{\int^b_a}(f+g) \leq \overline{\int^b_a}(f+g) \leq \overline{\int^b_a}f + \overline{\int^b_a}g$$
$f, g\in \mathscr{R}$から上の不等式の最左辺と最右辺の値は等しく.故にすべての辺の値は等しい.
Darboux上下積分が一致するから$f+g \in \mathscr{R}[a,b]$であって,積分値は$f,g$の積分値の和に等しい.

Proposition 5.2.5 (Monotonicity)

$f, g \in \mathscr{R}[a,b], f(x)\leq g(x)$なら,
$$\int^b_a f \leq \int^b_a g$$
proof.

$P = \{x_0, ..., x_n\}$を$[a, b]$の分割とする.
$m_i = \inf\{f(x)| x \in [x_{i-1}, x_i]\}, \tilde{m_i} = \inf\{g(x)|x \in [x_{i-1}, x_i]\}$
であって, $L(P,f) \leq L(P,g)$が任意の$P$に成立.
すべての$P$での$\sup$を考えれば,$\underline{\int^b_a}f \leq \underline{\int^b_a}g$.
Darboux上積分も同様の不等式がなりたつから,命題が成立する.

5.2.3 Continuos Functions

連続関数とリーマン可積分性の関係を調べる.

Lemma 5.2.6

$f: [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$が連続なら,$f\in \mathscr{R}[a,b]$.
proof.

閉区間上連続だから,$f$は一様連続.$|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon/(b-a)$なる$\delta$がある.
$P=\{x_0, ..., x_n\}$を分割とし,$\Delta x_i < \delta$が常に成り立つようにする.このとき
$$f(x)-f(y) \leq |f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{b-a}$$
$f$は$[x_{i-1}, x_i]$で連続だから,そこで最大値/最小値を持つ.$x = \text{argmax}f(x) (x \in [x_{i-1},x_i]), y = \text{argmin}f(x) (x \in [x_{i-1},x_i])$
とすれば$M_i = f(x), m_i = f(y)$であって,$M_i-m_i < \epsilon/(b-a)$.したがって
$$\begin{aligned} \overline{\int^b_a}f-\underline{\int^b_a}f &\leq U(P,f)-L(p,f) \\ &= (\sum M_i \delta x_i) - (\sum m_i \delta x_i) \\ &= \sum(M_i-m_i)\Delta x_i \\ &\leq \epsilon/(b-a)\sum \delta x_i \\ &= \epsilon \end{aligned}$$
$\epsilon$は任意だから,Darbouxの上下積分は一致し,すなわちリーマン可積分.

Lemma 5.2.7

$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$が有界で,$a<a'<b'<b$なる任意の$[a',b']$でリーマン積分可能なら$f\in\mathscr{R}[a,b]$であり,$a<a_n<b_n<b$で$lim a_n=a, \lim b_m=b$であるとき,
$$\int^b_a f = \lim \int^{b_n}_{a_n} f$$
proof.

$M>0$を$|f(x)|<M$なる実数とする.
$$-M(b-a) \leq -M(b_n-a_n) \leq \int^{b_n}_{a_n} f \leq M(b_n-a_n) \leq M(b-a)$$
だから,$\{\int^{b_n}_{a_n}f\}_n$は有界で,Bolzano-Weierstrassの定理から,収束する部分列$\{\int^{b_{n_k}}_{a_{n_k}}f\}_k$がある.その極限を$L$とする. Lemma 5.2.1より,
$$\underline{\int^b_a} f = \underline{\int^{a_{n_k}}_a}f + \int^{b_{n_k}}_{a_{n_k}} f + \underline{\int^b_{b_{n_k}}}f \geq -M(a_{n_k}-a) + \int^{b_{n_k}}_{a_{n_k}} f - M(b-b_{n_k})$$
$k \rightarrow \infty$とすれば
$$\underline{\int^b_a} f \geq L$$
同様に$\overline{\int^b_a} f \leq L$が言えて,$L\leq \underline{\int^b_a}f \leq \overline{\int^b_a} f \leq L$から,$f$のDarboux上下積分は一致してその値は$L$.
部分列の極限が常に$\int^b_a f$という実数だから,もとの数列も$\int^b_a f$に収束する.

Definition

$f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$が区分的連続
$\Leftrightarrow$ 有限個の点を除いた$[a,b]$で$f$は連続.

Theorem 5.2.8

$f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$が有界で区分的連続ならリーマン積分可能
proof.

$[a, b]$から非連続な点を除いた区間の列$(a_i, b_i)$をつくる.それぞれの$(a_i, b_i)$に含まれる任意のの閉区間$[c_i, d_i]$で$f$は連続だから,リーマン積分可能.Lemma 5.2.7から$[a_i, b_i]$でも$f$はリーマン積分可能.Theorem 5.2.2より$[a_i, b_i]$をすべてつなげた$[a,b]$で$f$はリーマン積分可能.

Proposition 5.2.9

$f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$がリーマン可積分とする.$g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$で,有限集合$S$があって$\forall x \in [a,b]\backslash S \ \ f(x)=g(x)$であるなら,$g \in \mathscr{R}$であって,積分値は等しい.
proof. (Exercise 5.2.7)

簡単のため,$f$は連続であるとする.
$[a,b]$から$S$の元を除いた区間の列$(a_i, b_i)$をつくる.$g$は$[a_i,b_i]$で積分可能であって,$\int^{b_i}_{a_i} g = \int^{b_i}_{a_i} f$. Theorem 5.2.2から$\int^b_a f = \int^b_a g$.