Basic Analysis (Jiri Lebl) 17日目 Riemann積分の線形性

CC BY-NC-SA 3.0

Chapter 5 The Riemann Integral

5.2 Properties of the Integral

5.2.2 Linearity and monotonicity

Proposition 5.2.4 (Linearity)

$f, g \in \mathscr{R}[a, b], \alpha \in \mathbb{R}$とする.
(i) $\alpha f \in \mathscr{R}[a,b]$で,
$$\int^b_a \alpha f = \alpha \int^b_a f$$
(ii) $f + g \in \mathscr{R}$で,
$$\int^b_a(f+g) = \int^b_a f + \int^b_a g$$
proof.

(i) 略
(ii) (Exercies 5.2.2)
Prop 5.1.13の逆(明らか)より,$U(P_1, f)-L(P_1,f)<\epsilon, U(P_2,g)-L(P_2,g)<\epsilon$なる$[a,b]$の分割$P_1,P_2$がある.$P=P_1 \cup P_2$とすると,Prop 5.1.7より
$$U(P,f)-L(P,f) < \epsilon, U(P,g)-L(P,g)<\epsilon$$
さらに
$$\sup_{x_{i-1}\leq x \leq x_i}(f+g)(x) \leq \sup_{x_{i-1}\leq x \leq x_i}f(x) + \sup_{x_{i-1}\leq x \leq x_i}g(x)$$
が常に成立するから$\overline{\int^b_a}(f+g) \leq \overline{\int^b_a}f + \overline{\int^b_a}g$
同様に$\underline{\int^b_a}(f+g) \geq \underline{\int^b_a}f + \underline{\int^b_a}g$
したがって
$$\underline{\int^b_a}f + \underline{\int^b_a}g \leq \underline{\int^b_a}(f+g) \leq \overline{\int^b_a}(f+g) \leq \overline{\int^b_a}f + \overline{\int^b_a}g$$
$f, g\in \mathscr{R}$から上の不等式の最左辺と最右辺の値は等しく.故にすべての辺の値は等しい.
Darboux上下積分が一致するから$f+g \in \mathscr{R}[a,b]$であって,積分値は$f,g$の積分値の和に等しい.

Proposition 5.2.5 (Monotonicity)

$f, g \in \mathscr{R}[a,b], f(x)\leq g(x)$なら,
$$\int^b_a f \leq \int^b_a g$$
proof.

$P = \{x_0, ..., x_n\}$を$[a, b]$の分割とする.
$m_i = \inf\{f(x)| x \in [x_{i-1}, x_i]\}, \tilde{m_i} = \inf\{g(x)|x \in [x_{i-1}, x_i]\}$
であって, $L(P,f) \leq L(P,g)$が任意の$P$に成立.
すべての$P$での$\sup$を考えれば,$\underline{\int^b_a}f \leq \underline{\int^b_a}g$.
Darboux上積分も同様の不等式がなりたつから,命題が成立する.

5.2.3 Continuos Functions

連続関数とリーマン可積分性の関係を調べる.

Lemma 5.2.6

$f: [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$が連続なら,$f\in \mathscr{R}[a,b]$.
proof.

閉区間上連続だから,$f$は一様連続.$|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon/(b-a)$なる$\delta$がある.
$P=\{x_0, ..., x_n\}$を分割とし,$\Delta x_i < \delta$が常に成り立つようにする.このとき
$$f(x)-f(y) \leq |f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{b-a}$$
$f$は$[x_{i-1}, x_i]$で連続だから,そこで最大値/最小値を持つ.$x = \text{argmax}f(x) (x \in [x_{i-1},x_i]), y = \text{argmin}f(x) (x \in [x_{i-1},x_i])$
とすれば$M_i = f(x), m_i = f(y)$であって,$M_i-m_i < \epsilon/(b-a)$.したがって
$$\begin{aligned} \overline{\int^b_a}f-\underline{\int^b_a}f &\leq U(P,f)-L(p,f) \\ &= (\sum M_i \delta x_i) - (\sum m_i \delta x_i) \\ &= \sum(M_i-m_i)\Delta x_i \\ &\leq \epsilon/(b-a)\sum \delta x_i \\ &= \epsilon \end{aligned}$$
$\epsilon$は任意だから,Darbouxの上下積分は一致し,すなわちリーマン可積分.

Lemma 5.2.7

$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$が有界で,$a<a'<b'<b$なる任意の$[a',b']$でリーマン積分可能なら$f\in\mathscr{R}[a,b]$であり,$a<a_n<b_n<b$で$lim a_n=a, \lim b_m=b$であるとき,
$$\int^b_a f = \lim \int^{b_n}_{a_n} f$$
proof.

$M>0$を$|f(x)|<M$なる実数とする.
$$-M(b-a) \leq -M(b_n-a_n) \leq \int^{b_n}_{a_n} f \leq M(b_n-a_n) \leq M(b-a)$$
だから,$\{\int^{b_n}_{a_n}f\}_n$は有界で,Bolzano-Weierstrassの定理から,収束する部分列$\{\int^{b_{n_k}}_{a_{n_k}}f\}_k$がある.その極限を$L$とする. Lemma 5.2.1より,
$$\underline{\int^b_a} f = \underline{\int^{a_{n_k}}_a}f + \int^{b_{n_k}}_{a_{n_k}} f + \underline{\int^b_{b_{n_k}}}f \geq -M(a_{n_k}-a) + \int^{b_{n_k}}_{a_{n_k}} f - M(b-b_{n_k})$$
$k \rightarrow \infty$とすれば
$$\underline{\int^b_a} f \geq L$$
同様に$\overline{\int^b_a} f \leq L$が言えて,$L\leq \underline{\int^b_a}f \leq \overline{\int^b_a} f \leq L$から,$f$のDarboux上下積分は一致してその値は$L$.
部分列の極限が常に$\int^b_a f$という実数だから,もとの数列も$\int^b_a f$に収束する.

Definition

$f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$が区分的連続
$\Leftrightarrow$ 有限個の点を除いた$[a,b]$で$f$は連続.

Theorem 5.2.8

$f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$が有界で区分的連続ならリーマン積分可能
proof.

$[a, b]$から非連続な点を除いた区間の列$(a_i, b_i)$をつくる.それぞれの$(a_i, b_i)$に含まれる任意のの閉区間$[c_i, d_i]$で$f$は連続だから,リーマン積分可能.Lemma 5.2.7から$[a_i, b_i]$でも$f$はリーマン積分可能.Theorem 5.2.2より$[a_i, b_i]$をすべてつなげた$[a,b]$で$f$はリーマン積分可能.

Proposition 5.2.9

$f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$がリーマン可積分とする.$g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$で,有限集合$S$があって$\forall x \in [a,b]\backslash S \ \ f(x)=g(x)$であるなら,$g \in \mathscr{R}$であって,積分値は等しい.
proof. (Exercise 5.2.7)

簡単のため,$f$は連続であるとする.
$[a,b]$から$S$の元を除いた区間の列$(a_i, b_i)$をつくる.$g$は$[a_i,b_i]$で積分可能であって,$\int^{b_i}_{a_i} g = \int^{b_i}_{a_i} f$. Theorem 5.2.2から$\int^b_a f = \int^b_a g$.

Linear Algebra (D. Cherney et al.) ５日目

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Chapter 6. Linear Transformations

Definition

関数$L: V \rightarrow W$が線形である
$\Leftrightarrow$ V, W はベクトル空間であって, $u, v \in V, r, s \in \mathbb{R}$ に$L(ru + sv) = rL(u)+sL(v)$

線形関数を文脈に応じて線形変換,線形写像,homogeneousとか呼ぶことがある.(日本語の本ではだいたい線形写像を使う)
今後,$L$で書いた写像は全て線形とする.

6.1 The Consequence of Linearity

線形性によって,写像の性質を少ない個数の変数で表現することが出来る.

Example 70 (Two outputs in $\mathbb{R}^2$ specifies all outputs)

$$L \left(\begin{array}{} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{} 5 \\ 3 \end{array} \right) \ \ \ L \left(\begin{array}{} 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{} 2 \\ 2 \end{array} \right)$$
がわかっているなら,$\mathbb{R}^2$の点は$(x, y)^T$と書けるから,
$$L \left( \begin{array}{} x \\ y \end{array}\right) = L\left[x \left( \begin{array}{} 1 \\ 0 \end{array}\right) + y \left(\begin{array}{} 0 \\ 1 \end{array}\right)\right] = \left(\begin{array}{} 5x + 2y \\ 3x + 2y \end{array}\right)$$
このように,任意の点からの像がただちにわかる.
一般に,$L: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$について,$(1, 0, ..., 0)^T, (0, 1, 0, ..., 0)^T, ...,(0, 0, ..., 1)^T$の$n$本のベクトルに対する像がわかれば,$L$の任意の像が計算できる.

6.2 Linear Functions on Hyperplanes

線形関数は行列で書ける.これは線形連立方程式を解くことにほかならない.定義域がある超平面である線形関数を調べる.

Example 71

$$V = \left\{ c_1 \left(\begin{array}{} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+c_2 \left(\begin{array}{} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)\right\}$$
とする.$L: V \rightarrow \mathbb{R}^3$が
$$L \left(\begin{array}{} 1 \\ 1\\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{} 0 \\ 1\\ 0\end{array}\right)\ \ \ L \left(\begin{array}{} 0 \\ 1\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{} 0 \\ 1\\ 0\end{array}\right)$$
を満たすとき,
$$L \left[c_1 \left(\begin{array}{} 1 \\ 1\\ 0\end{array}\right) + c_2\left(\begin{array}{} 0 \\ 1\\ 1\end{array}\right) \right] = (c_1 + c_2)\left( \begin{array}{} 0 \\1 \\0 \end{array}\right)$$
$L$の定義域は三次元上の$(1\ \ 1\ \ 0)^T, (0\ \ 1\ \ 1)^T$の張る平面.$L$は
$$L\left(\begin{array}{} c_1 \\ c_1 + c_2 \\ c_2\end{array} \right)=\left(\begin{array}{} 0 & 0 & 0\\ 1& 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{}c_1 \\c_1+c_2\\c_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{} 0 & 0 & 0\\ 0& 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{}c_1 \\c_1+c_2\\c_2\end{array}\right)=(c_1+c_2)\left(\begin{array}{}0 \\1\\0\end{array}\right)$$
$3 \times 3$行列は常に$\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$を定るが,$V$は二次元だから$L$を表す２つの$3\times 3$行列がある.一方で
$$L \left[c_1 \left(\begin{array}{} 1 \\ 1\\ 0\end{array}\right) + c_2\left(\begin{array}{} 0 \\ 1\\ 1\end{array}\right) \right] = (c_1 + c_2)\left( \begin{array}{} 0 \\1 \\0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{} 0 & 0\\1&1\\0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{}c_1 \\ c_2\end{array} \right)$$
と,$V$の元を$c_1, c_2$だけで代表させ,順番を変えなければ,$L$は唯一つの$3 \times 2$行列に対応する.

6.4 Bases(Take 1)

あるベクトル空間$V$の基底とは,$V$の部分集合$\{v_1, ...,v_n\}$であって(無限集合になることもある),任意の$V$の元$v$を$v = \sum_{i} \alpha_i v_i$と一意に書けるもの

正直この本ってだいぶ読みにくいね

Basic Analysis (Jiri Lebl) 16日目 Riemann積分の定義

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Chapter 5 The Riemann Integral

5.1 The Riemann Integral

高校で習う積分.普通積分というとこれのこと.この本ではDarbouxの方法でRiemannが考えたのと同値な積分を導入する.

5.1.1 Partitions and lower and upper integrals

Definition 5.1.1

$P$が区間 $[a, b]$ の分割である
$\Leftrightarrow$ Pは
$$a= x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$$
を満たす $\{x_0, ..., x_n\}$.
このとき、$\Delta x_i := x_i - x_{i-1}$ と書く.
また,有界な$f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ と $[a, b]$ の分割 $P$ があるとき、
$$m_i := \inf\{f(x) | x_{i-1} \leq x \leq x_i \} \\ M_i := \sup\{f(x) | x_{i-1} \leq x \leq x_i\} \\ L(P, f) := \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i \\ U(P, f) := \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i$$
と定める.$L(P, f), U(P, f)$ をそれぞれ下Darboux和, 上Darboux和という.(上下Darboux和を$\overline{S}(P,f), \underline{S}(P,f)$と書く本もある)

Proposition 5.1.2

$f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$が有界で, $m, M \in \mathbb{R}$を$f$の下限,上限とする . $[a, b]$の任意の分割$P$に,
$$m(b-a) \leq L(P, f) \leq U(P, f) \leq M(b-a)$$
proof.
略 (ほとんど明らか)

Definition 5.1.3

Darboux和は有界だから,
$$\underline{\int^b_a }f = \underline{\int^b_a} f(x) dx = \sup \{L(P,f) | Pは[a, b]の分割\} \\ \overline{\int^b_a} f= \overline{\int^b_a} f(x) dx = \inf \{U(P, f) | P は[a, b]の分割\}$$
が存在して,それぞれを下Darboux積分, 上Darboux積分という.

Definition 5.1.6

$[a, b]$の分割$P=\{x_0, ..., x_n\}, \tilde P = \{ \tilde{x_0}, ..., \tilde{x_m}\}$があるとき, $\tilde{P}$が$P$の細分である
$\Leftrightarrow P \subset \tilde{P}$

Proposition 5.1.7

$f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$が有界で,$P$は$[a, b]$の分割で,$\tilde{P}$が$P$の細分とする.このとき
$$L(P, f) \leq L(\tilde P, f) \ \ \ \ \ U(\tilde P, f) \leq U(P, f)$$
proof.

$P=\{x_0, ..., x_n\}, \tilde P = \{ \tilde{x_0}, ..., \tilde{x_m}\}$とする. 細分の定義から, $x_0 = \tilde x_0, x_n = \tilde{x}_m$であって,$x_k = \tilde x_{k_j}$をみたす狭義単調増加数列$\{k_j\}_{j=0}^n$が存在する.$\Delta \tilde{x_j} = \tilde x_{j-1} - \tilde x_j$ とすると,
$$\Delta x_j = \sum_{p = k_{j-1}+1} ^{k_j}\Delta \tilde x_p$$
が成立する.$m_j = \inf \{f(x) | x_{j-1} \leq x \leq x_j\}, \tilde{m}_j = \inf \{f(x)| \tilde{x}_{j-1} \leq x \leq \tilde x_j\}$とすれば,$k_{j-1}< p \leq k_j$において$m_j \leq \tilde{m}_p$. したがって
$$m_j \Delta x_j = m_j \sum_{p=k_{j-1}+1}^{k_j} \Delta \tilde{x}_p \leq \sum_{p=k_{j-1}+1}^{k_j} \tilde{m}_p \Delta\tilde{x}_p$$
ゆえに
$$L(P, f) = \sum_{j=1}^n m_j \Delta x_j \leq \sum_{j=1}^n \sum_{p=k_{j-1}+1}^{k_j} \tilde{m}_p \Delta \tilde{x}_p = \sum_{j=1}^m \tilde{m}_j \Delta \tilde{x}_j = L(\tilde{P}, f)$$
が成立する.
$U(\tilde{P}, f) \leq U(P, f)$も同様に示せる.

Proposition 5.1.8

以上の定義のもとで
$$m(b-a) \leq \underline{\int^b_a} f \leq \overline{\int^b_a} \leq M(b-a)$$
proof.

Prop 5.1.2 より任意の$P$に
$$m(b-a) \leq L(P, f) \leq U(p,f) \leq M(b-a)$$
$m(b-a) \leq L(P,f)$から$m(b-a) \leq \sup L(P,f) = \underline{\int^b_a f}$.同様に$\overline{\int^b_a}f \leq M(b-a)$.
また,任意の分割$P_1, P_2$があったとき,$\tilde P = P_1 \cup P_2$とすると,$\tilde P$は$P_1, P_2$の細分であって,Prop 5.1.7より$L(P_1, f) \leq L(\tilde P, f) \leq U(\tilde P, f) \leq U(P_2, f)$したがって,$L(P_1, f) \leq U(P_2, f)$が常に成立.Prop 1.2.7より,
$$\underline{\int^b_a} f = \sup \{L(P, f)|P\} \leq \inf \{U(P, f)|P\} = \overline{\int^b_a}f$$

5.1.2 Riemann integral

Definition 5.1.9

$f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$は有界で,
$$\underline{\int^b_a} f = \overline{\int^b_a}f$$
であるとする.このとき$f$はリーマン可積分であるといい,リーマン積分可能な$[a,b]$上の関数の集合を$\mathscr{R}[a,b]$と書く.$f \in \mathscr{R}[a,b]$であるとき,
$\int^b_a f = \int^b_a f(x)dx := \underline{\int^b_a} f = \overline{\int^b_a} f$で積分の値を表す.
定義よりリーマン可積分関数は有界で,Prop 5.1.8より直ち次の命題を得る.

Proposition 5.1.10

$f \in \mathscr{R}[a,b]$とする.$m, M$をそれぞれ$f$の下界,上界とすると,
$$m(b-a) \leq \int^b_a f \leq M(b-a) (\Rightarrow |\int^b_a f| \leq \max(|m|,|M|)(b-a)$$

Proposition 5.1.13

$f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$は有界とする. $f$がリーマン可積分
$\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \ \ \exists P \ \ \mbox{s.t. } U(P,f)-L(P,f)<\epsilon$
proof. 略

5.2 Properties of the integral

5.2.1 Additivity

Darboux和の加法性を示すことで,Riemann積分の加法性を示す.

Lemma 5.2.1

$a < b < c, f: [a, c] \rightarrow \mathbb{R}$は有界とする.このとき
$$\underline{\int^c_a} f = \underline {\int^b_a}f = \underline{\int^c_b}f \\ \overline{\int^c_a} f = \overline {\int^b_a}f = \overline{\int^c_b}f$$
が成立する.
proof.

分割$P_1 = \{a=x_0, ..., x_k=b\}, P_2 = \{b=x_k, _{k+1}, ..., x_n=c\}$を考えると,$P_1 \cup P_2$は$[a, c]$の分割.
$L(P, f) = L(P_1, f)+L(P_2, f)$ とできる.右辺で上限を取るとき,左辺は$P$を$b \in P$に制限した上での上限.
$Q$を$[a,c]$の任意の分割とすると,$P=Q \cup \{b\}$は$Q$の細分であって,$L(Q,f) \leq L(P,f)$したがって$b \in P$に制限した上限は制限しないときの上限に等しく,命題の片方が成立する.もう一方も同様.

Theorem 5.2.2

$$a < b < c, f \in \mathscr{R}[a,c] \Leftrightarrow f_{|[a,b]} \in \mathscr{R}[a,b], f_{|[b,c]} \in \mathscr{R}[b,c]$$
proof.

($\Rightarrow$)Lemma 5.2.1より,
$$\int^c_a f = \underline{\int^c_a}f = \underline{\int^b_a} f + \underline{\int^c_b} f \leq \overline{\int^b_a} f + \overline{\int^c_b} f = \overline{\int^c_a}f = \int^c_a f$$
したがって,
$$\underline{\int^b_a} f + \underline{\int^c_b} f = \overline{\int^b_a} f + \overline{\int^c_b} f$$
ここで,$\underline{\int^b_a} f \leq \overline{\int^b_a} f, \underline{\int^c_b} f \leq \overline{\int^c_b}f$だから,
$\underline{\int^b_a} f = \overline{\int^b_a} f, \underline{\int^c_b} f = \overline{\int^c_b}f$.
すなわち$f$は$[a, b], [b, c]$でリーマン積分可能.
($\Leftarrow$) Lemma 5.2.1から明らか.

Basic Analysis (Jiri Lebl) 15日目 陰関数定理

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4.4 Inverse function theorem (陰関数定理)

4.4.1 Inverse function theorem

Lemma 4.4.1

$I, J \subset \mathbb{R}$は区間で,$f: I \rightarrow J$は全単射かつ狭義単調増加で，$x \in I$で微分可能で,$f'(x) \neq 0$であるとする．このとき，$y = f(x)$において，
$$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f' (f^{-1} (y))} = \frac{1}{f'(x)}$$
が成立し，特に$f'$が$I$で連続で$f' \neq 0$なとき，$f^{-1}$もまた連続微分可能である.(連続微分可能 $\Leftrightarrow$ 微分可能かつ導関数が連続)
proof. 略

Theorem 4.4.2 (Inverse function theorem)

$f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$が連続微分可能で$x_0 \in (a,b)$で$f'(x_0)\neq 0$であるとき，$x_0 \in I \subset (a,b)$ なる区間$I$であって，$f$の$I$への制限$f_{|I}:I \rightarrow f(I)$が全単射で,連続微分可能な逆関数$g = (f_{|I}) ^{-1}$があって，
$$g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))}$$
が成立する．

proof. 略