CS231n 4.Backpropagation, Intuitions
連鎖率を使って多変数の合成関数のへ微分係数を計算する.Nielsenとはだいぶ違った書き方をしている． $$ f(y_1, ..., y_n)$$ $$y_i = y_i(x_1, ..., x_m) $$ と書けてるとき(偏微分可能性とかは一旦おいて)， $$ \frac{\partial f}{\partial x_i} = \sum_k \frac{\partial f}{\partial y_k} \frac{\partial y_k}{\partial x_i}$$ これが偏微分の連鎖率．
Compound expressions with chain rule
$$ f = f^{1}(f^{2}(...(f^{n}(x_1, ..., x_m))...)$$
このような関数たち$\{f_i\}$があって，偏微分可能とする.
$y^1_1, ..., y^1_{m1} = f^{2}(...(f^{n}(x_1, ..., x_{m}))...)$ とおくとき，
$\{\frac{\partial f}{\partial y^1_i}\}^{m1}_{i=1}$ は数値的に計算できる.
$y^2_1, ..., y^2_{m2} = f^{3}(...(f^{n}(x_1, ..., x_{m}))...)$ とおくとき，
$$ \frac{\partial f}{\partial y^{2}_i} = \sum_k \frac{\partial f}{\partial y^1_k}\frac{\partial y^1_k}{\partial y^2_i} $$
$\frac{\partial f}{\partial y^1_k}$ は既知で，$\frac{\partial y^1_k}{\partial y^2_i}$ は$f^2$ が簡単に偏微分できる関数であるなら，解析的に偏導関数をプログラマが予め与えて（次節），偏微分係数を計算する．
こうして，数値的な方法よりも高速に$\{\frac{\partial f}{\partial y^2_i}\}^{m2}_{i=1}$を計算できる．
このように関数の後ろから変微分係数を計算していくのがbackpropagation.
Patterns in backward flow
neural networkの世界では，$f^j : R^n \rightarrow R^m$ の出力は全て同一なことが多い．すなわち， $f^j _0 : R^n \rightarrow R $ があって， $f^j = [f^j_0, f^j_0, ..., f^j_0]$ と書ける．$f^j_0$ を単に$f^j$ と書く．neural network でよく使われる$f^j$ は次の3つ．
- 加算
$f^j = \sum y^{j} $ なら，$\frac{\partial y^{j-1}_i}{\partial y^j_k} = \frac{\partial f^j}{\partial y^j_k} = 1$ - 乗算
$f^j = \prod \{y^{j}_i\}_i $ なら，$\frac{\partial y^{j-1}_i}{\partial y^j_k} = \frac{\partial f^j}{\partial y^j_k} = \prod_{l \neq k} {y^j_l}$ - 最大値
$f^j = max\{y^{j}_i\}_i $ なら， $\frac{\partial y^{j-1}_i}{\partial y^j_k} = \frac{\partial f^j}{\partial y^j_k} = \left\{ \begin{array}{l} 1 & f^j = y^j_k\\ 0 & otherwise \end{array} \right. $
