Basic Analysis (Jiri Lebl) 14日目 テイラー展開

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Taylor’s theorem

4.3.1 Derivatives of higher orders

$f: I \rightarrow \mathbb{R}$が微分可能なとき,一次導関数$f'$が定義できる.さらに$f'$が微分可能なとき,二次導関数$f''$が定義できる.これを続けていけばn微分可能である限りn次導関数が定義できて,それを$f^{(n)}$と書く.

4.3.2 Taylor’s theorem (テイラー展開)

平均値の定理の拡張としてテイラー展開を考えることができる.
$f(x)$の定義域の中の点$x_0$の近くで,$f$を$f(x_0)$によって近似する.
$$f(x) = f(x_0) + f'(c)(x-x_0)$$
が中間値の定理により成立するが,$c$を$x_0$とすると,誤差が生じる.この誤差をより高次な微分係数を使って近似していく.

Definition 4.3.1

n回微分可能な$f$が$x_0$の近くで定義されているとき,n次テイラー多項式を
$$P^{x_0}_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k$$
と定める.
このとき,テイラー多項式の$k$次導関数(今後,$k$次導関数を$k$次微分とも呼ぶことにする)は
$$P_n^{x_0 (k)}(x)=\sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)} (x_0)}{i!} k!(x-x_0)^{i-k}$$
であって,$x=x_0$とすると,$P_n^{x_0 (k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0)$.

Theorem 4.3.2 (Taylor)

$f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$がn次までの導関数が連続で,$f^{(n+1)}$は$(a, b)$で定義されているとする.
$$f(x) = P^{x_0}_n (x) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1} =\left( \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!} (x-x_0)^k + \frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}\right)$$
が$x, x_0 \in (a,b)$を選ぶたびに$c \in(x, x_0)$を選べば成立する.
$R_n^{x_0} := \frac{f^{(n+1)}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$をラグランジュの剰余項という.
proof.

$$f(x) = P^{x_0}_n (x) + M_{x, x_0} (x-x_0)^{n+1}$$
を満たす$M_{x,x_0}$を見つける.
$$g(s) = f(s) - P^{x_0}_n(s) - M_{x,x_0} (s-x_0)^{n+1}$$
とすると$P_n^{x_0 (k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0)$だから,$s=x_0$のとき
$$g(x_0)=g'(x_0)=\cdots =g^{(n)}(x_0)=0$$
$g(x_0)=0, g(x)=0$が成り立つので,平均値の定理より$x_1 \in (x_0, x)$があって,$g'(x_1)=0$が成立する.$g'$にも平均値の定理を適用して,$g'(x_0)=g'(x_1)=0$から$x_2 \in (x_0, x_1)$があって,$g''(x_2)=0$が成立する.これを繰り返して,$g^{(n+1)}(x_{n+1})=0$となる$x_{n+1} \in (x_0, x)$がある.
$c = x_{n+1}$とすると,$P_n^{x_0}$が$n+1$回微分すると0になるから,
$$g^{(n+1)}(s) = f^{(n+1)}(s) - (n+1)!M_{x, x_0}$$
$s=c$とすれば,$M_{x, x_0} = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}$が成立する.

Basic Analysis (Jiri Lebl) 13日目 平均値の定理

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4.2 Mean value theorem

4.2.2 Roll’s theorem

Theorem 4.2.3 (Roll’s theorem)

連続関数$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$が$(a, b)$で微分可能で,$f(a)=f(b)$なら,$f'(c)=0$なる$c \in (a, b)$がある.
proof.

$f$が$[a, b]$上の定数関数なら$\forall c \in (a, b) \ \ f'(c)=0$.
そうでなければ,Theorem 3.2.2 (Minimum-Maximum-theorem)から,$f$は$[a, b]$上で最大値をもつ.Theorem 4.2.2から,最大値を取る点$c$で$f'(c)=0$.

4.2.3 Mean value theorem

Theorem 4.2.4 (Lagrange’s Mean value theorem)

$f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$が連続で,$(a, b)$で微分可能とする.
$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$$
をみたす$c \in (a, b)$が存在する.
proof.

$$\begin{aligned} g(x)&=f(x)-f(b)+(f(b)-f(a))\frac{b-x}{b-a} \\ g'(x)&=f'(x)- \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{aligned}$$
とすれば,$g(a)=g(b)=0$が成立して,Rollの定理から$g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$なる$c \in (a, b)$が存在する. 変形すれば,$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$である.

4.2.4 Applications

Proposition 4.2.5

区間$I$があって,$f: I \rightarrow \mathbb{R}$が微分可能で$f'(x)=0$が常に成立するなら,$f$は$I$上で定数関数である.
proof.

$x, y \in I, x < y$を任意にとって,$[x, y]$で平均値の定理を適用すると,$f(y)-f(x)=f'(c)(y-x)=0$.よって定数関数.

Proposition 4.2.6

区間$I$があって,$f: I \rightarrow \mathbb{R}$が微分可能で
(i) $f'(x)\geq 0$が常に成立するなら,$f$は$I$上単調増加.
(ii) $f'(x)\leq 0$が常に成立するなら,$f$は$I$上単調減少.
proof. 略

Proposition 4.2.8

$f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$が連続で,$c\in (a,b)$があって,$f$は$(a, c), (c, b)$で微分可能とする.このとき
(i) $x \in (a, c) \Rightarrow f'(x) \leq 0, \ x \in (c, b) \Rightarrow f'(x) \geq 0$なるとき,$f$は$c$で最小値を取る.
(ii) $x \in (a, c) \Rightarrow f'(x) \geq 0, \ x \in (c, b) \Rightarrow f'(x) \leq 0$なるとき,$f$は$c$で最大値を取る.
proof.

(ii)を証明する.
$x$を$(a, c)$上の点とし, $\{y_n\}$は$x < y_n < c$で,$c$に収束する列とする.Prop 4.2.6から,$(a, c)$で単調増加するから,$f(x) \leq f(y_n)$. $f$の連続性から$\forall x \in (a, c) \ f(x) \leq f(c)$同様に,$\forall x \in (c, b) \ \ f(x) \leq f(c)$.よって示せた.

4.2.5 Continuity of derivatives and the intermediate value theorem

関数の導関数における中間値の定理.

Theorem 4.2.9 (Darboux)

$f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$が微分可能とする.$f'(a) < y < f'(b)$か$f'(a) > y > f'(b)$なる$y$が存在するとき,$f'(c)=y$なる$c \in (a, b)$が存在する.
proof.

$f'(a) < y < f'(b)$とする. $g(x)=yx - f(x)$とすると$g$は$[a, b]$で連続であって,ある$c$で最大値を取る.
$g'(x) = y - f'(x)$とすると,$g'(a) > 0$である.よって
$$\frac{g(x)-g(a)}{x-a} > 0$$
なる$x>a$がある(微分の定義を思い出せ).$x>a$だから$g(x)>g(a)$.よって$g(a)$は$g$の最大値足り得ない.同様に$g(b)$も$g$の最大値たりえず,$g(c) = \max g$なる$c \in (a, b)$があって,Theorem 4.2.2から,$g'(c)=0$.したがって$f'(c)=y$.

中間値の定理によって,連続関数には中間値性があることがわかっている.非連続関数にも中間値性をもつものがあるが,微分可能な関数の導関数は非連続であっても中間値性がある.

Basic Analysis (Jiri Lebl) 12日目 微分の定義

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Chapter 4. The Derivative

4.1 The derivative

4.1.1 Definition and basics properties

Definition 4.1.1

$I$:区間, $f: I \rightarrow \mathbb{R}, c \in I$について，
$$L := \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}$$
が存在するとき，$f$は$c$で微分可能であり，$L$を$f$の$c$における微分係数といい，$f'(c)=L$と書く．
$\forall c \in I$で微分可能なとき，単に$f$は微分可能という．

Proposition 4.1.4

$f: I \rightarrow \mathbb{R}$が$c \in I$で微分可能なら，$c$で連続．
proof.
$$\lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(x) \mbox,{ ~~~~~ and~~~~~ } \lim_{x \rightarrow c} (x-c)=0$$
が存在することがわかっているから，$f(x)-f(c) = (f(x)-f(c))/(x-c) \cdot (x-c)$の極限は
$\lim (f(x)-f(c)) = \lim \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \lim (x-c) = f'(c)\cdot 0 = 0$
したがって$\lim_{x \rightarrow c} f(x)=f(c)$すなわち$f$は$c$で連続．

Proposition 4.1.5

$f: I \rightarrow \mathbb{R}, g: I \rightarrow \mathbb{R}$が$c$で微分可能なとき，
(i) $\forall \alpha \in \mathbb{R}$に， $\alpha f(x)$は$c$で微分可能．
(ii) $f(x)+g(x)$は$x=c$で微分可能．
proof. 略

Proposition 4.1.6 (Product rule)

4.1.5と同じ条件のもとで，
$h(x) = f(x)g(x)$とすると，$h$は$c$で微分可能で，$h'(c)=f(c)g'(c)+f'(c)g(c)$が成立する．
proof.
$$\frac{f(x)g(x)-f(c)g(c)}{x-c} = \frac{(g(x)-g(c))f(x)}{x-c} + \frac{g(c)(f(x)-f(c))}{x-c}$$
両辺で$\lim_{x \rightarrow c}$をととると，$\lim f(x), \lim \frac{g(x)-g(c)}{x-c}, \frac{f(x)-f(c)}{x-c}$が存在するから示せた．

Proposition 4.1.7 (Quotient rule)

4.1.6の条件かつ$g(x) \neq 0$のとき，$h(x) = f(x)/g(x)$とすると，
$$h'(x) = \frac{f'(c)g(c) - f(c)g'(c)}{g(c)^2}$$
proof. 略

4.1.2 Chain rule

Proposition 4.1.8 (Chain rule)

$I_1, I_2$は区間で，$g: I_1 \rightarrow I_2$が$c \in I_1$で微分可能で,$f: I_2 \rightarrow \mathbb{R}$が$g(c) \in I_2$で微分可能で，$h(x)=f(g(x))$とするとき，$h$は$c$で微分可能であって,
$$h'(c) = f'(g(c))g'(c)$$
が成立する．

proof. 略

4.1.3 Exercises

Exercise 4.1.11

$f: I \rightarrow \mathbb{R}$が有界で，$g: I \rightarrow \mathbb{R}$は$c \in I$で微分可能であり，$g(c)=g'(c)=0$とする．$h(x):=f(x)g(x)$が$c$で微分可能であると示せ．

$$\frac{f(x)g(x)-f(c)g(c)}{x-c} = \frac{(g(x)-g(c))f(x)}{x-c} + \frac{g(c)(f(x)-f(c))}{x-c}$$
であるが，$M=\sup|f(x)|$($\max$でもよい)とすると，右辺第一項で
$$\left| \frac{(g(x)-g(c))f(x)}{x-c} \right| \leq M \left| \frac{(g(x)-g(c))}{x-c} \right|$$
から，この項は$x\rightarrow c$で$0$に収束する．
一方，右辺第二項で，$g(c)=0$からこの項は常に0
よって$h(x)$は$c$で微分可能で，微分係数は$0$.

Exercise 4.1.12

$f, g, h : I \rightarrow \mathbb{R}$について，$c\in I$で$f(c)=g(c)=h(c)$が成り立ち，$g, h$は$c$で微分可能で，$g'(c)=h'(c)$とする．さらに$\forall x \in I \ \ h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ならば$f$も$c$で微分可能で$f'(c)=g'(c)=h'(c)$であることを示せ.

$$\frac{h(x)-h(c)}{x-c}, \frac{f(x)-f(c)}{x-c}, \frac{h(x)-h(c)}{x-c}$$
について，$f, g, h$の大小関係から，
$$\frac{h(x)-h(c)}{x-c} \leq \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \leq \frac{h(x)-h(c)}{x-c}$$
が常に成立する($f(c)=g(c)=h(c)$を使った)
一番左の項と一番右の項が$x \rightarrow c$で同じ値に収束するから，真ん中の項も同じ値に収束する．よって示せた(数列のはさみうちの原理(squeeze lemma)はやったけど関数の極限のはさみうちの原理はやってない気がする)．

4.2 Mean value theorem

4.2.1 Relative minima and maxima

Definition 4.2..1

$f: S \rightarrow \mathbb{R}$が$c \in S$で極大値をとる
$\Leftrightarrow$ $|x - c | < \delta$ならば$f(x) \leq f(c)$となるような$\delta > 0$が存在する．
極小値も動揺に定義される．

Theorem 4.2.2

$f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$が$c \in (a, b)$で微分可能で$c$で極小となるとき，$f'(c)=0$
proof.

$$f'(c) = \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}$$
であるが，$c$で$f$は極小だから，分子は常に非負．一方分母は$c$の周辺で符号を変えうるから，$f'(c)=0$.極大のときも同様．

微分可能な$f$で，$f'(c)=0$となる$c$をcritical pointという．一方，定義域に微分不可能な点を含む関数について,$c$で微分不可能なときにも$c$はcritical pointであるという．この定理は，閉区間上で定義された関数が$c$で極値をとるなら，$c$は$f$のcritical pointであると主張している．

Linear Algebra (D. Cherney et al.) 4日目

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Chapter 5. Vector Spaces (ベクトル空間)

ベクトル空間は，加算とスカラー倍に閉じた集合のこと．

Definition. Vector space

２つの演算$+, \cdot$が定義された集合$V$が$\mathbb{R}$をスカラーとしてベクトル空間である
$\Leftrightarrow$ $u , v, w \in V, c, d, \in \mathbb{R}$とすると，以下のすべてが同時に成立
(+i) (Additive Closure) $u + v \in V$
(+ii) (Additive Commutativity) $u + v = v + u$
(+iii) (Additive Associativity) $(u + v) + w = u + (v + w)$
(+iv) (Zero) $u + 0_V = u$がすべての$u$に成り立つような特別な元$0_V$がある(零元という)
(+v) (Additive Inverse) すべての$u \in V$に， $u + v = 0_V$となるような$v$がある．$v$を$-u$とも書く．
($\cdot$ i) (Multiplicative Closure) $c \cdot v \in V$
($\cdot$ ii) (Distributivity) $(c + d) \cdot v = c \dot v + d \dot v$
($\cdot$ iii) (Distributivity) $c (u + v) = c \cdot u + c \cdot v$
($\cdot$ iv) (Associativity) $(c \cdot d) \cdot v = c \cdot (d \cdot v)$
($\cdot$ v) (Unity) $1 \cdot v = v$ for all $v \in V$

代数学でいう体(field)との違いは，スカラーを別の(同じでもいいが)集合から持ってくること．

5.1 Examples of Vector Spaces

Example 58

$$\mathbb{R}^\mathbb{N} = \{ f | f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\}$$
$(f_1 + f_2)(n) = f_1(n) + f_2(n), (cf)(n) = c(f(n))$とすれば，たしかにベクトル空間となっている．
この空間のそれぞれの元は実数列と考えることができる.

Example 59

$$\mathbb{R}^\mathbb{R} = \{ f | f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\}$$
58と同様にベクトル空間である．

Example 61

$$\{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} | \frac{d}{dx}f \mbox{が存在する}\}$$
もまた58の演算によってベクトル空間となる．

Example 62 (Solution set to a homogeneous linear equation)

$M = \left( \begin{array}{} 1 & 1 & 1 \\\ 2 & 2 & 2 \\\ 3 & 3 & 3 \end{array}\right)$とすると，$Mx=0$の解は$\{ c_1 \left( \begin{array}{} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + c_2 \left( \begin{array}{} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) | c_1 , c_2 \in \mathbb{R}\}$
この解空間もまたベクトル空間である．$\mathbb{R}^3$の部分集合だから，部分空間とも呼ぶ．

Basic Analysis (Jiri Lebl) 11日目 無限大の極限

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3.5 Limits at infinity

3.5.1 Limits at infinity

Definition 3.5.1

$S \subset \mathbb{R}$に，どのような大きな$M \in\mathbb{R}$をとっても$x > M$なる$x\in S$があるとき，$S$は$\infty$を集積点に持つ．またこのとき$f: S \rightarrow \mathbb{R}$で，$L\in \mathbb{R}$があって，任意の$\epsilon>0$に$x > M \Rightarrow |f(x) - L|< \epsilon$となるような$M$が存在するとき$f$は$x$が無限大に近づくとき$L$に収束するといい，$f_{x\rightarrow \infty} (x) = L$と書く．
$x \rightarrow -\infty$や$f_{x \rightarrow -\infty} (x) =L$も同様に定義される．

Proposition 3.5.2

Def 3.5.1と無限大での極限を定義するとき，その極限は一意．
proof. 略

Lemma 3.5.5

Def 3.5.1の条件のもとで，$\{x_n\}$を$x_n \rightarrow \infty$なる任意の列とすると，
$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = L$

proof. 略

3.5.2 Infinite limit

Definition 3.5.6

$f: S \rightarrow \mathbb{R}$について，どのような大きな$N$にも，$x > M \Rightarrow f(x) >N$となるような$M$があるとき，$f$は$x$が無限大に近づくとき$+\infty$に発散するといい，$f_{x\rightarrow \infty} (x) = \infty$と書く．

3.5.3 Compositions

Proposition 3.5.8

$f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow \mathbb{R}, A,B \subset \mathbb{R}$で，$a,b \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$はそれぞれ$A, B$の集積点であって，
$$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = b, \ \ \ \ \lim_{y \rightarrow b} g(y) = c$$
であり，かつ$b \in B$なら
$$\lim_{x \rightarrow a} g(f(x)) = c$$
が成立する．

proof. 略

Basic Analysis (Jiri Lebl) 十日目 一様連続性

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3.4 Uniform continuity (一様連続)

Definition 3.4.1

$S \subset \mathbb{R}, f:S \rightarrow \mathbb{R}$が一様連続である
$\Leftrightarrow \forall \epsilon \ \ \exists \delta \ \ \mbox{s.t.} \ \ |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|< \epsilon$

Example 3.4.3

$f: [0, 1] \ni x \mapsto x^2$は一様連続．
proof.

$0 \leq x, c \leq 1$とすると，$|x^2-c^2|=|x+c||x-c|\leq(|x|+|c|)|x-c|\leq 2|x-c|$
ゆえに$\delta < \epsilon/2$のとき，$|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(c)|<\epsilon$から，たしかに一様連続．

一方で，$f: \mathbb{R} \ni x \mapsto x^2$は一様連続でない．
proof.

どのような小さな$\delta > 0$を予めとっても，$|(x+\delta/2)^2-x^2| \geq |x\delta |$から，$|x|$を大きくすることでどれほど大きな$\epsilon>0$にも$|f(x)-f(y)|\geq \epsilon$とできる．

Theorem 3.4.4

$f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$が連続なら，$f$は$[a, b]$上一様連続．
proof. 略

3.4.2 Continuous extension

Lemma 3.4.5

$f: S \rightarrow \mathbb{R}$は一様連続とする．$\{x_n\}$が$S$上のコーシー列なら，$\{f(x_n)\}$も$\mathbb{R}$上のコーシー列である．
proof.

$\epsilon >0$を固定する．$\delta > 0$があって，$|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$.
$\{x_n\}$を$S$上のコーシー列とすると, $m, n \geq N \Rightarrow |x_m - x_n| < \delta$となる$N$があって，$m, n \geq N \Rightarrow |x_m-x_n|< \delta \Rightarrow |f(x_n)-f(x_m)|<\epsilon$が成立する．

Theorem 3.4.6

$f: (a,b ) \rightarrow \mathbb{R}$が一様連続
$\Leftrightarrow$ $L_a = \lim_{x\rightarrow a} f(x), L_b = \lim_{x \rightarrow b} f(x)$が存在して，
$$\tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) \ \ x \in (a, b) \\ L_a \ \ x=a \\ L_b \ \ x=b \end{cases}$$
が連続．

proof.

$\Leftarrow$ 略
$\Rightarrow \tilde{f}(x)$が$L_a$で連続であると示せば$L_b$も同様に言えるし，$(a, b)$で連続なのは明らかである．
$\{x_n\} \subset (a, b), x_n \rightarrow a$なる数列をとると，これはコーシー列．Lemma 3.4.5よりその像の列$\{f(x_n)\}$もコーシー列であって，ある極限$L_1$に収束する．また，$\{x_n\}$とは別に$\{y_n\} \subset (a, b), y_n \rightarrow a$をとると，同じ議論で極限$L_2 = \lim f(y_n)$があると示せる．$x_n, y_n$は任意に取ったから，$L_1 = L_2$を示せば，$L_a = \lim_{x \rightarrow a} f(x)$が存在すると言える．
$\epsilon >$について，$f$の一様連続性から$|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|< \epsilon$なる$\delta$があり，$n\geq M$ならば$|a-x_n|<\delta/2, |a-y_n|< \delta/2, |f(x_n)-L1|<\epsilon, |f(y_n)-L_2|<\epsilon$なる$M$があるから，
$$|x_n-y_n| \leq |x_n-a|+|a-y_n|<\delta$$
$$|L_1-L_2| \leq |L_1-f(x_n)|+|f(x_n)-f(y_n)|+|f(y_n)-L_2| \leq 3\epsilon$$
$\epsilon$は任意だから，$L_1=L_2$.よって$L_a=\lim_{x\rightarrow a} f(x)$は存在する．
$\tilde{f}$の定義から，$\tilde{f}$は$a$に置いて連続と示せた．

3.4.3 Lipschitz continuous functions

Definition 3.4.7

$f: S \rightarrow \mathbb{R}$がリプシッツ連続である
$\Leftrightarrow \exists K \ \ \mbox{s.t.} \ \ \forall x, y \in S \ \ \ |f(x)-f(y)|\leq K |x-y|$

Proposition 3.4.8

リプシッツ連続関数は一様連続関数である
proof. 略

Linear Algebra (D. Cherney et al.) 三日目

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Chapter 4. Vectors in Space, n-Vectors

$n$次元ベクトル$a = \left( \begin{array}{} a^1 \\ a^2 \\ \vdots \\a^n \end{array}\right)$
と書く.この本では右上に第$i$要素と示す添え字を乗せる.

4.1 Addition and Scalar Multiplication in $\mathbb{R}^n$

ベクトルの足し算とスカラー倍の定義

4.2 Hyperplanes

$u, v \in \mathbb{R}^d$において，$u$を通って$v$と平行な直線$L$は
$$L = \{u + t v | t \in \mathbb{R}\}$$
と書ける．$u$をある点$P$と考えて，$L=\{P + tv\}$と書くこともできる．

0ベクトルでない$u, v \in \mathbb{R}^d$が平行でないとき,$u, v$は$\{su + tv| s, t \in \mathbb{R}\}$によって原点を通る平面を定める．また，ある点$P$を通り，かつ$\{su + tv\}$に平行な平面は$\{P + su + tv\}$と書ける．

Definition

$\{v_i \}_{i=1}^n$が一次独立$\Leftrightarrow [\sum \lambda_i v_i = 0 \Leftrightarrow \forall i \lambda_i=0]$

Definition

$k$本の一次独立なベクトル$v_1, ..., v_k \in \mathbb{R}^n$と点$P \in \mathbb{R}^n$があって，$k \leq n$なら，$k$次元の超平面(hyperplane)
$$\{ P + \sum_{i=1}^k \lambda_i v_i | \lambda_i \in \mathbb{R}\}$$

が定義できる．$k$が明示されていないとき，多くの場合は$k=n-1$である．すなわち，超平面はもとの空間を２つの空間に分ける．

Directions and Magnitudes

$$||v|| := \sqrt{\sum_{i=1}^n (v^i)^2}$$
を$n$次元ベクトル$v$のユークリッドノルムという．
$u, v \in \mathbb{R}^n$に，$||u-v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 - 2||u||||v|| \cos \theta$が成立するから，
$$\begin{aligned} ||u||||v|| \cos \theta &= \frac{1}{2} \left( ||u-v||^2 - ||u||^2 - ||v||^2 \right) \\ &= \sum_i [(v^i -u^i)^2 -(u^i)^2 - (v^i)^2] \\ &= \sum_i -2u^i v^i \end{aligned}$$
したがって
$$||u||||v|| \cos \theta = \sum u^iv^i$$

Definition Dot product (ドット積)

$u = (u^1 , ... , u^n)^T, v=(v^1, ..., v^n)^T$に,内積$u \cdot v = \sum u^iv^i$とする．

Definition ベクトルの長さ(norm, magnitude)

$v \in \mathbb{R}^n$の長さを$||v||:= \sqrt{v \cdot v}$で定めると，節頭で定義したユークリッドノルムと一致する．

Definition orthogonal, perpendicular (直行)

$u \cdot v = 0$なるとき，ベクトル$u, v \in \mathbb{R}^n$は直行するという．

以上ではドット積からノルムや直行を定義したが，ドット積の一般化にinner product(内積)という概念があり，内積はいくらでも考えられる．ドット積の代わりにある内積を使うと，同じベクトルだがノルムが違ったり，直行していたベクトルが直行しなくなったりする．とりあえずこの本では特に指定がなければドット積から定義されたノルムや直交性を考えれば良いようだ．内積は一般に$\langle u,v \rangle$と書く．

Definition Inner product (内積)

複素数で定義したほうがいいのかもしれないが，とりあえず実数でやる．
$\langle u,v \rangle: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$がノルムである
$\Leftrightarrow \mbox{(1)} \langle v,v \rangle = 0 \Leftrightarrow v = 0 \\ \ \ \ \ \ \mbox{(2)} \forall \alpha \in \mathbb{R} \ \ \langle (\alpha u+ v), w \rangle = |\alpha| \langle u,w\rangle + \langle v, w \rangle \\ \ \ \ \ \ \mbox{(3)} \forall \alpha \in \mathbb{R} \ \ \langle u, (\alpha v + w) \rangle = |\alpha| \langle u,w\rangle + \langle u, w \rangle \\ \ \ \ \ \ \mbox{(4)} \langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle \\ \ \ \ \ \ \mbox{(5)} \langle v, v \rangle \geq 0$

Theorem 4.3.1 (Cauchy-Schwartz Inequality)

ベクトル$u, v \neq 0$と内積$\langle u,v \rangle$があるとき，
$$|\langle u, v \rangle| \leq ||u||||v||$$
proof.

$\alpha \in \mathbb{R}$に，
$$0 \leq \langle u+\alpha v, u + \alpha v \rangle = \langle u, u \rangle + 2\alpha \langle u,v \rangle + \alpha^2 \langle v,v\rangle$$
が成立する．$\alpha$の二次式と考えて最小値をとるような$\alpha$を考えると,$\alpha = - \langle u,v \rangle / \langle v, v \rangle$で，代入して
$$0 \leq \langle u, u \rangle - \frac{\langle u, v \rangle}{\langle v, v \rangle} \Leftrightarrow \langle u, v\rangle ^2 \leq \langle u,u \rangle \langle v, v \rangle \Leftrightarrow |\langle u , v \rangle| \leq ||u||||v||$$

Theorem 4.3.2 Triangle Inequality (三角不等式)

$u, v \in \mathbb{R}^n$に$|| u + v|| \leq ||u|| + ||v||$
proof.

$$\begin{aligned} ||u + v||^2 &= (u + v) \cdot (u + v) \\ &= u \cdot u + 2u \cdot v + v \cdot v \\ &= ||u||^2 + ||v||2 + 2||u||||v|| cos \theta \\ &= (||u||+||v||)^2 + 2||u||||v||(cos \theta - 1) \\ & \leq (||u|| + ||v||)^2\end{aligned}$$

4.4 Vectors, Lists and Functions: $\mathbb{R}^S$

$$\mathbb{R}^n =\{ \left( \begin{array}{} a^1 \\ \vdots \\ a^n \end{array} \right) | a^1, ...., a^n \in \mathbb{R} \}$$
であるが，$a$を$a: \{1, ..., n\} \rightarrow \mathbb{R}$という任意の写像とするとき，
$$R^n = \{ a: \{1, ... n\} \rightarrow \mathbb{R}\} = : \mathbb{R}^{\{1, ..., n\}}$$
とも書ける．このように，集合$S$について，$S$から$\mathbb{R}$への写像すべての集合を考えることで，
$$\mathbb{R}^S = \{f: S \rightarrow \mathbb{R}\}$$
とすることができる．

Basic Analysis (Jiri Lebl) 九日目 中間値の定理

CC BY-NC-SA 3.0

3.3 Min-max and intermediate value theorem

3.3.1 Min-max theorem

Lemma 3.3.1

$f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$が連続なら,有界
proof.

$f$が非有界であると仮定すると,$\{x_n\} \subset [a,b]$で, $f(x_n) \geq n$をみたす列$\{x_n\}$が存在する.
$\{x_n\}$は有界な列だから,Bolzano-Weierstrassの定理より収束する部分列$\{x_{n_i}\}$がある.$x = \lim x_{n_i}$とすると$x \in [a, b]$であるが$\lim |f(x_{n_i})| \geq \lim |f(x_i)| \geq \lim n = \infty$で,連続性から$|f(x)| = \infty$.これは$f$のrangeが実数であることに反する.

Definition

$f: S \rightarrow \mathbb{R}$が$c$で最小値を取る$\Leftrightarrow \forall x \in S \ \ f(x) \geq f(c)$
$f: S \rightarrow \mathbb{R}$が$c$で最大値を取る$\Leftrightarrow \forall x \in S \ \ f(x) \leq f(c)$
このような$c \in S$があるとき,$f$はそれぞれ最小値,最大値を持つ という.

Theorem 3.3.2 (Minimum-maximum theorem)

$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$が連続であるとき,$f$は最大値,最小値を両方持つ.
proof.

最大値を持つことを示す.
Lemma 3.3.1より$f([a,b])$は有界だから，$M= \sup f([a,b])$が存在する．$M = \lim f(x_n)$である$\{x_n\} \subset [a, b]$がある($\because f(x_n) \leq M < f(x_n)+1/n$をみたす$\{x_n\}$が存在する).
Bolzano-Weierstrassの定理より$x :=\lim\{x_{n_i}\} \in [a, b]$である部分列がある.
$f$の連続性より,$f(x) = \lim f(x_{n_i})=M$. $x \in [a,b]$より，$\max f([a,b])=M=f(x)$.最小値の存在も同様に示せる.

Example 3.3.5

$f(x) = 1/x, S = (0,1)$は,$x \rightarrow 0$につれて$\infty$に発散し,$x \rightarrow 1$につれて$1$に近づくが$\forall x f(x) <1$.このように定義域が閉区間(正確にはコンパクト集合)であることが重要.

Example 3.3.6

連続性も重要．$S = [0,1], f(x) = \begin{cases} 1/x \ \ (x \in (0, 1]) \\ 0 \ \ (x = 0) \end{cases}$としても，$x=0$で非連続なので最大値は存在しない.

3.3.2 Bolzano’s intermediate value theorem (中間値の定理)

Lemma 3.3.7

$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$は連続で, $f(a) < 0, f(b) > 0$とすると, $f(c) = 0$である点$c \in (a, b)$が存在する.

proof.

$\{a_n\}, \{b_n\}$を帰納的に定義する.
(i) $a_1 = a, b_1 = b$
(ii) $f(\frac{a_n+b_n}{2}) \geq 0 \Rightarrow a_{n+1} := a_n, b_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}$>
(iii)$f(\frac{a_n+b_n}{2}) \leq 0 \Rightarrow a_{n+1} := \frac{a_n+b_n}{2}, b_{n+1} = b_n$
ともに有界列だから,それぞれの上限,下限を$c, d$とする.$b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{b_n-a_n}{2}\rightarrow 0$だから$d=c$.また，単調性から$\lim a_n = \lim b_n = c$．ここで，構成より$f(a_n) \leq 0, f(b_n) \geq 0$が常に成立している．よって$\lim f(a_n) \leq 0, \lim f(b_n) \geq 0$.連続性から$0 \leq \lim f(b_n) = f(c) \leq \lim f(a_n) \leq 0 \Rightarrow f(c)=0$が成立．

Theorem 3.3.8 (Bolzano’s intermediate value theorem)

$f: [a,b ] \rightarrow \mathbb{R}$は連続で, $f(a) < y < f(b)$あるいは$f(b) < y < f(a)$なら$f(c)=y$なる$c \in (a, b)$が存在する．
proof.

lemma 3.3.7より明らか

3.3 Exercises

3.3.12

$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$は連続で,$x \leq f(x) \leq x+1$が任意の$x \in \mathbb{R}$で成り立つとする．$f(\mathbb{R}) = \{f(x)| x \in \mathbb{R}\}$を求めよ.

$c \in \mathbb{R}$がかならず$f(\mathbb{R})$の元であることを示す.$f(x)=c$なる$x$が存在しないと仮定して矛盾を導く．
中間値の定理の対偶より，このとき$f(a) < c < f(b)$あるいは$f(a) > c > f(b)$なる$a, b$は存在しない．いっぽう題意より
$$f(c-2) \leq c-1 \leq f(c-1) \leq c \leq f(c) \leq c+1 \leq f(c+1)\\ \Rightarrow f(c-2) \leq c-1 <c < c+1 \leq f(c+1)\\ \Rightarrow f(c-2) < c < f(c+1)$$
これは矛盾．よって$\mathbb{R} = f(\mathbb{R})$

3.3.13

$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$は連続で$f|_{\mathbb{Z}}$が有界なら$f$も有界であるか．証明するか反例を与えよ．

反例 $f(x) = x sin(\pi x)$とすれば,任意の$z \in \mathbb{Z}$に$f(z)=0$から$f|_{\mathbb{Z}}$は有界．で，連続関数の合成だから連続．また$\mbox{ceil}(x) = \mbox{x以上である最小の整数}$とすると，どのような$M>0$にも$|f(\mbox{ceil}M+1/2)| \geq M$から，$f$は$\mathbb{R}$で上に非有界．下に非有界なことも同様に示せて，よって反例がつくれた．

Linear Algebra (D. Cherney et al.) 二日目

CC BY-NC-SA 3.0

3.4 Pablo Meets Dantzig

線形関数$f(x_1, ..., x_n)$を最大化する$x_i \geq 0$を
$$Mx = v, x := (x_1, ... ,x_n)^T$$
を満たすように探すのがDantzig’s algorithmだが,これをこのまま適用できない場合もある

Examle 42

Pabloの場合, $x \geq 5, y \geq 7$だから, $x_1 = x-5, x_2 = y-7$と置き換える.
$15 \leq x + y \leq 25$は3$\leq x_1 + x_2 \leq 13$となるが, $Mx=v$という形ではない.そこで, $x_3 \geq 0, x_4 \geq 4$なる変数をさらに導入して,$c_1 := x_1 + x_2 - x_3 = 3, c_2 := x_1 + x_2 + x_4 = 13$を束縛条件とする.このように,不等式の条件を等式の条件に変換するために加えられる変数をslack variablesという.こうして
$$\left( \begin{array}{} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{} x_1 \\x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{} 3 \\ 13\end{array} \right)$$
が拘束条件$Mx=v$となった.$s = 5x + 10y$を最小化するため, 最大化する関数$f$を $$f = -5x - 10y +95 = -s + 95= -5x_1 -10x_2$$
最大化する$x_1, x_2$を求める.
拡大係数行列は
$$\left( \begin{array}{} 1 & 1 & -1& 0 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 13 \\ 5 & 10 & 0& 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$$
となる.
第三行の係数がすべて非負だから$x_1, x_2=0$としてしまいたいが,slack valuableの係数が負であると(この場合,第一行の$x_3$)slack valuableが非負であるという条件のもとで解けなくなってしまうので,さらにartificial variables を導入する.大きな$\alpha>0$によって,$f$を$f -\alpha x_5 -\alpha x_6$とすれば,$f$が最大となるのに$x_5, x_6=0$が必要.
拡大係数行列は
$$\left( \begin{array}{} 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 13 \\ 5 & 10 & 0 & 0 & 10 & 10 & 1 & 0 \end{array}\right) \\ \downarrow \mbox{(artificial variablesの消去)} \\ \left( \begin{array}{} 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 13 \\ -15 & -10 & 10 & -10 & 0 & 0& 1 & -160& \end{array}\right) \\ \downarrow \ \ \mbox{(3.3と同じアルゴリズム)} \\ \left( \begin{array}{} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 10 \\ 0 & 5 & 5 & 0 & 5 & 10 & 1 & -15 \end{array}\right)$$
$x_1 = 3, x_4 = 10$, 他の係数を$0$とすると$f=-15$となって,$\min s = -f+95=110$が解けて,さらに$x=8, y=7$となる.
(正直なんで解けてるのかわからん)

Basic Analysis (Jiri Lebl) 八日目 連続関数と連続性の定義

CC BY-NC-SA 3.0

Chapter 3. Continuous Functions

3.1 Limits of functions

3.1.1 Cluster points (集積点)

cluster point は収積点と訳して, accumulation point や limit pointを集積点と訳すのだが,この本の定義ではcluster point は集積点のことのようだ.参考: 収積点と集積点(青山耕治)

Definition 3.1.1

$S \subset \mathbb{R}$について, $x \in \mathbb{R}$が$S$の集積点である
$\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0. \ \ (x-\epsilon, x+\epsilon) \cap S \ \backslash \{x\} \neq \phi$
つまり,$x$のどれほど近くにも$S$の点があるということ.
例:

(i) $\{1/n | n \in \mathbb{N}\}$ の集積点は$0$のみ.
(v) $\mathbb{N}$は$\mathbb{R}$において集積点を持たない

Proposition 3.1.2

$x$が$S$の集積点である
$\Leftrightarrow$ $x_n \neq x$で$x$に収束する$\{x_n\} \subset S$がある.
proof.

$\Rightarrow$
仮定より, $\forall n \in \mathbb{N}$に $(x-1/n, x+1/n) \cap S \ \backslash \{x\} \neq \phi$で,この集合のある要素を$x_n$とすれば,$x_n \rightarrow x$である.
$\Leftarrow$
仮定より, $\forall \epsilon \ \ \exists N \ \ s.t. \ \ [n \geq N \Rightarrow 0<|x_n - x| < \epsilon]$
したがって, $\{x_n | n \geq N\}\subset [(x-\epsilon, x+\epsilon)\cap S \backslash \{x\}]$

3.1.2 Limits of functions

$f$が$S$上で定義された関数で$c$が$S$の集積点なら,$f(x)$の$x$が$c$に近づくときの極限を定義できる(存在するかは別).また, $c \in S$であるとき, $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c)$とは限らない.

Definition 3.1.3

$f: S \rightarrow \mathbb{R}$について,
$$\forall \epsilon \ \ \exists \delta \ \ s.t. \ \ [0 < |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon]$$
となるような$L$が存在するとき, $L$を$\lim_{x\rightarrow c} f(x)$と書いて,$f$の$c$での極限値という.この極限値が存在しないとき,$f$は$c$で発散するという($f(c)$が存在しても).

Proposition 3.1.4

$c$を $S=dom ( f)$の集積点とする.$f$が$c$において極限値を持つとき,その値は一意.
proof. 略

3.1.3 Sequential limits

関数の極限と数列の極限の橋渡し

Lemma 3.1.7

$S=dom(f)$, $c$を$S$の集積点とする.
$f(x) \rightarrow L \ \ (x \rightarrow c)$ $\Leftrightarrow$ $x_n \rightarrow c$なる任意の点列に, $f(x_n) \rightarrow L$が成立する.
これを関数の極限の定義とする本もある.

proof. 略

Lemma 3.1.7によって,以下のCorollaryがかんたんに証明できる.

Corollary 3.1.9

$S = dom(f)=dom(g)$, $c$が$S$の集積点であって,$f, g$の$c$における極限が存在して,$\forall x. f(x) \leq g(x)$なら,$\lim_{x \rightarrow c} f(x) \leq \lim_{x \rightarrow c} g(x)$
proof. Lemma 3.1.7とLemma 2.2.3で示せる.

Corollary 3.1.10

3.1.9の条件のもとで$\forall x. a \leq f(x) \leq b \Rightarrow a \leq \lim_{x\rightarrow c}f(x) \leq b$
proof. Lemma 3.1.7とLemma 2.2.4で示せる.

Corollary 3.1.11

3.1.9の仮定の条件にさらに$h$を加えて$\forall x \ \ f(x) \leq h(x) \leq g(x)$で, $\lim_{x\rightarrow c} f(x) = \lim_{x \rightarrow c} g(x)$なら$\lim_{x\rightarrow c} f(x) = \lim_{x\rightarrow c} h(x) = \lim_{x \rightarrow c} g(x)$.
proof. 略

Corollary 3.1.12

Proposition 2.2.5の関数の極限版

3.1.4 Limits of restrictions and one-sided limits

略 要するに左極限と右極限を定義したい

3.2 Continuous functions

この章で, $S=dom(f)$とする.

3.2.1 Definition and basic properties

Definition 3.2.1

$c \in S$で$f$が連続 $\Leftrightarrow \forall \epsilon \ \ \exists \delta \ \ \mbox{s.t.} \ \ [x\in S, |x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(c)|<\epsilon]$
だから,実数の中の整数集合のような”まばらな”集合上で定義された関数は各点で連続となる.
$\forall c \in S$において,$f$が$c$で連続なら,単に$f$は連続であるという.

Proposition 3.2.2

$f: S \rightarrow \mathbb{R}$について,
(i) $c$が$S$の集積点でないなら,$f$は$c$で連続.
(ii) $c$が$S$の集積店なら,[$f$は$c$で連続 $\Leftrightarrow$ $f$の$c$への極限が存在し,$\lim_{x\rightarrow c} f(x)=f(c)]$
(iii) $f$が$c$で連続 $\Leftrightarrow x_n \in S, \lim x_n = c$なる任意の列で$\{f(x_n)\}$が$f(c)$に収束する.

proof.

(i),(ii) 略
(iii)
($\Rightarrow$)
$x_n \in S, \lim x_n = c$とする. $\forall \delta \ \ \exists N\ \ \mbox{s.t.} \ \ n \geq N \Rightarrow |x_n - c| < \delta$
さらに連続性より $\forall \epsilon \ \ \exists \delta \ \ \mbox{s.t.} \ \ |x_n - c| < \delta \Rightarrow |f(x_n)-f(c)| < \epsilon$
合わせて$\forall \epsilon \exists N \ \ \mbox{s.t.} \ \ n \geq N \Rightarrow |f(x_n)-f(c)|<\epsilon$
($\Leftarrow$)
$x_n \in S, \lim x_n = c$が存在しないときは$c$が$S$の集積点でなく(i)より成立.$c$は$S$の集積点とする.
$f$が$c$で連続でないと仮定する. 任意の$\delta$に$|x-c|< \delta$かつ$|f(x)-f(c)|\geq \epsilon$なる$\epsilon > 0$が存在する.$x_n$を$x_n \in S, |x_n - c| < 1/n$なる数列とすると,$x_n \rightarrow c$だが$\forall n. |f(x_n) -f(c) | \geq \epsilon$だから$f(x_n) \not \rightarrow f(c)$これは仮定に反する.

Example 3.2.3

$f: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f: x \mapsto 1/x$は連続
proof.

$c \in (0, \infty)$とする.$\{x_n\} \subset (0, \infty)$を$c$に収束する列とすると,
$$f(c) = \frac{1}{c} = \frac{1}{\lim x_n} =\lim \frac{1}{x_n} = \lim f(x_n)$$

Proposition 3.2.4

$f(x) = a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} +\cdots + a_1 x + a_0$は$\mathbb{R}$で連続.

3.2.2 Composition of continuous functions

$f \circ g(x) = f(g(x))$の連続性の遺伝

Proposition 3.2.7

$A, B \subset \mathbb{R}, f: B \rightarrow \mathbb{R}, g: A \rightarrow B$とする. $g$が$c \in A$で, $f$が$g(c)$で連続であれば,$f \circ g$は$c$で連続.
proof.

Prop 3.2.2(iii)でかんたんに示せる.
$\{x_n\} \subset A$が$c$に収束するとする.$g$は$c$で連続だから,$g(x_n) \rightarrow g(c)$.また$f$は$g(c)$で連続だから,$f(g(x_n)) \rightarrow f(g(c))$.

3.2.3 Discontinuous functions

$f$が$c$で連続でないとき,$f$は$c$で非連続であるという.Prop 3.2.2(iii)の$\Rightarrow$の対偶(contraposition)をとれば,

Proposition 3.2.9

$c \in S$に収束する $\{x_n\} \subset S$で, $f(x_n) \not \rightarrow f(c)$なる$\{x_n\}$が存在するとき,$f$は$c$で非連続.

Example 3.2.11 (Dirichlet’s function)

$$f(x) = \begin{cases} 1 \ \ \ (x: \mbox{rational}) \\ 0 \ \ \ (x: \mbox{irrational})\end{cases}$$
をDirichlet functionといい,$\mathbb{R}$のすべての点で非連続であることが知られている.

proof.

$c \in \mathbb{Q}$とする.$\{x_n\} \subset (\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}), x_n \rightarrow c$なる数列が無理数の実数での稠密性から存在する.
$f(x_n) \rightarrow 0 \neq 1 = f(c)$だから非連続. $c \in (\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$)でもほとんど同様.

3.2.4 Exercises

Exercise 3.2.13

$f: S \rightarrow \mathbb{R}, c \in S$で, $c$に収束する任意の$\{ x_n \} \subset S$に$f(x_n)$が収束するなら,$f$は$c$で連続であることを示せ. ($f(x_n) \rightarrow f(c)$を仮定していない点でProp 3.2.2(iii)と異なる)

proof.

仮定のもとで$f(x_n) \rightarrow f(c)$を言えば良い.
$c$に収束する$\{ x_n \} \subset S$について, $x_n' = \begin{cases} c \ \ \ (n:odd) \\ x_{n/2} \ \ \ (n:even) \end{cases}$
とすれば,$x_n'$は収束するから,$f(x_n')$も収束する.収束する列のすべての部分列はもとの列と同じ極限に収束するから,
$$\lim f(x_n') = \lim f(x_n) = \lim f(c) = f(c)$$
が成立する.よって示せた.

Exercise 3.2.14

$f: [-1, 0] \rightarrow \mathbb{R}, g: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$が連続で, $f(0)=g(0)$とする.
$$h:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}, h(x) = \begin{cases} f(x) \ \ \ (x \in [-1, 0] \\ g(x) \ \ \ (x \in [0,1]) \end{cases}$$
とすると$h$は連続であると示せ.
proof.

$c < 0$で連続であることを示す.
$c$に収束する任意の$\{x_n\} \subset [-1, 1]$について,$c$の$|c|/2$近傍では$x_n \in [-1, 0]$で,$f$の連続性とProp 3.2.3(iii)より$f(x_n) \rightarrow f(c)$したがって$h(x_n) \rightarrow h(c) = f(c)$が成立.よって$h$は$c$で連続.
$c > 0$でも同様.

$c = 0$での連続性を示す.
$\{x_n\} \subset [-1, 1], x_n \rightarrow 0$とする.$\{x_n\}$に$[-1, 0]$の点が有限個しかないなら,$h(x_n) \rightarrow g(0) = 0 = h(0)$は明らかで, $\{x_n\}$に$[0, 1]$の点が有限個しかないときも同様.
$\{x_n\}$が$[-1, 0], [0, 1]$の点をそれぞれ無限個含むとする.$T_1 = \{n| x_n \in [-1, 0]\}, T_2 = \{n| x_n \in [0, 1]\}$とすると
$f, g$の連続性から任意の$\epsilon$に
$n \geq N_1, n \in T_1 \Rightarrow|f(0) - f(x_n)| = |f(x_n)|<\epsilon$
$n \geq N_2, n \in T_2 \Rightarrow|g(0) - g(x_n)| = |g(x_n)|<\epsilon$
なる$N_1, N_2$がある. $N=\max(N_1, N_2)$とすると
$n \geq N \Rightarrow |h(x_n)| < \epsilon$すなわち$h(x_n) \rightarrow 0$
以上より,任意の$\{x_n\} \subset [-1, 1]$に$h(x_n) \rightarrow 0 = h(0)$.よって$h$は$0$で連続

$h$は$[-1, 1]$で連続と示せた.