Basic Analysis (Jiri Lebl) 十日目 一様連続性

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3.4 Uniform continuity (一様連続)

Definition 3.4.1

$S \subset \mathbb{R}, f:S \rightarrow \mathbb{R}$が一様連続である
$\Leftrightarrow \forall \epsilon \ \ \exists \delta \ \ \mbox{s.t.} \ \ |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|< \epsilon$

Example 3.4.3

$f: [0, 1] \ni x \mapsto x^2$は一様連続．
proof.

$0 \leq x, c \leq 1$とすると，$|x^2-c^2|=|x+c||x-c|\leq(|x|+|c|)|x-c|\leq 2|x-c|$
ゆえに$\delta < \epsilon/2$のとき，$|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(c)|<\epsilon$から，たしかに一様連続．

一方で，$f: \mathbb{R} \ni x \mapsto x^2$は一様連続でない．
proof.

どのような小さな$\delta > 0$を予めとっても，$|(x+\delta/2)^2-x^2| \geq |x\delta |$から，$|x|$を大きくすることでどれほど大きな$\epsilon>0$にも$|f(x)-f(y)|\geq \epsilon$とできる．

Theorem 3.4.4

$f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$が連続なら，$f$は$[a, b]$上一様連続．
proof. 略

3.4.2 Continuous extension

Lemma 3.4.5

$f: S \rightarrow \mathbb{R}$は一様連続とする．$\{x_n\}$が$S$上のコーシー列なら，$\{f(x_n)\}$も$\mathbb{R}$上のコーシー列である．
proof.

$\epsilon >0$を固定する．$\delta > 0$があって，$|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$.
$\{x_n\}$を$S$上のコーシー列とすると, $m, n \geq N \Rightarrow |x_m - x_n| < \delta$となる$N$があって，$m, n \geq N \Rightarrow |x_m-x_n|< \delta \Rightarrow |f(x_n)-f(x_m)|<\epsilon$が成立する．

Theorem 3.4.6

$f: (a,b ) \rightarrow \mathbb{R}$が一様連続
$\Leftrightarrow$ $L_a = \lim_{x\rightarrow a} f(x), L_b = \lim_{x \rightarrow b} f(x)$が存在して，
$$\tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) \ \ x \in (a, b) \\ L_a \ \ x=a \\ L_b \ \ x=b \end{cases}$$
が連続．

proof.

$\Leftarrow$ 略
$\Rightarrow \tilde{f}(x)$が$L_a$で連続であると示せば$L_b$も同様に言えるし，$(a, b)$で連続なのは明らかである．
$\{x_n\} \subset (a, b), x_n \rightarrow a$なる数列をとると，これはコーシー列．Lemma 3.4.5よりその像の列$\{f(x_n)\}$もコーシー列であって，ある極限$L_1$に収束する．また，$\{x_n\}$とは別に$\{y_n\} \subset (a, b), y_n \rightarrow a$をとると，同じ議論で極限$L_2 = \lim f(y_n)$があると示せる．$x_n, y_n$は任意に取ったから，$L_1 = L_2$を示せば，$L_a = \lim_{x \rightarrow a} f(x)$が存在すると言える．
$\epsilon >$について，$f$の一様連続性から$|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|< \epsilon$なる$\delta$があり，$n\geq M$ならば$|a-x_n|<\delta/2, |a-y_n|< \delta/2, |f(x_n)-L1|<\epsilon, |f(y_n)-L_2|<\epsilon$なる$M$があるから，
$$|x_n-y_n| \leq |x_n-a|+|a-y_n|<\delta$$
$$|L_1-L_2| \leq |L_1-f(x_n)|+|f(x_n)-f(y_n)|+|f(y_n)-L_2| \leq 3\epsilon$$
$\epsilon$は任意だから，$L_1=L_2$.よって$L_a=\lim_{x\rightarrow a} f(x)$は存在する．
$\tilde{f}$の定義から，$\tilde{f}$は$a$に置いて連続と示せた．

3.4.3 Lipschitz continuous functions

Definition 3.4.7

$f: S \rightarrow \mathbb{R}$がリプシッツ連続である
$\Leftrightarrow \exists K \ \ \mbox{s.t.} \ \ \forall x, y \in S \ \ \ |f(x)-f(y)|\leq K |x-y|$

Proposition 3.4.8

リプシッツ連続関数は一様連続関数である
proof. 略