Linear Algebra (D. Cherney et al.) 6日目

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7.1 Linear Transformation and Matrices

7.1.1 Basis Notation

任意の$m\times n$行列もまたベクトル空間を成すから,ある縦ベクトルで表現したり,$\mathbb{R}^n$の元を標準基底$(1,0,...)^T,(0,1,...,0)^T,...,(0,0,...,1)^T$でない基底によって表現したいときがある. これを実現するのがbasis notation.
基底$B=(b_1, ...,b_n)$を選んで,それぞれの係数$(a_1, ...,a_n)$を与えれば,
$\left(\begin{array}{} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right)_B:=(b_1\ \ ... \ \ b_n) (a_1 \ \ ... \ \ a_n)^T$(行列の積)によって$V$の任意の元を表現できる.$B$を固定すれば,$V$の次元と同じ次元の縦ベクトルでもとのベクトル空間の元を表現できる.

Example 77 (A basis for a hyperplane)

$$V=\left\{ c_1\left(\begin{array}{} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + c_2\left(\begin{array}{} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\right\}$$
という超平面を考える.基底
$$b_1 = \left(\begin{array}{} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), b_2=\left(\begin{array}{} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), B=(b_1, b_2)$$
を選ぶ.
$V$の元は$x,y$を選んで$xb_1 + yb_2$で表現できるから,$E$を標準基底とすると
$$\left(\begin{array}{} x \\ y\end{array}\right)_B := (b_1 \ \ b_2) \left(\begin{array}{} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{} x \\ x+y \\ y \end{array}\right)_E$$

基底$B$で表現されたベクトルを別の基底$B'$のベクトルに変換することは,線形連立方程式を解くことに等しい.

Example 78 (Pauli Matrices)

$$V=\left\{\left(\begin{array}{} z & u \\ v & -z \end{array}\right)| z, u, v \in \mathbb{C} \right\}$$
の基底は,
$$\sigma_x = \left(\begin{array}{} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right), \sigma_y = \left(\begin{array}{} 0 & -i \\ i & 0 \end{array}\right), \sigma_z = \left(\begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$$
とすれば,$B=(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$で与えられる.
$$v = \left(\begin{array}{} -2+i & 1 + i\\ 3-i & 2-i\end{array}\right)_E$$
を$B$で表現する.$v=\alpha^x \sigma_x+\alpha^y \sigma_y + \alpha^z \sigma_z$とすると,$\alpha^x = 2, \alpha^y = 2-2i, \alpha^z = -2+i$
したがって,
$$v = \left(\begin{array}{} -2+i & 1 + i\\ 3-i & 2-i\end{array}\right)_E=(\sigma^x\ \ \sigma^y\ \ \sigma^z) \left(\begin{array}{}2 \\ 2-i \\ -2+i\end{array}\right)=\left(\begin{array}{}2 \\ 2-i \\ -2+i\end{array}\right)_B$$

7.1.2 From LInear Operators to Matrices

$L: V\rightarrow W$を表現する行列は,$V,W$の基底のとり方によって異なる.
$V$の基底を$B=(b_1, ...,b_m)$,$W$の基底を$B'=(\beta_1, ...,\beta_n)$とすると,

$$L(b_i) = m^1_i \beta_1 + \cdots + m^n_i \beta_n$$
を満たす係数$\{m^j_i\}_{1\leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$があって,
$$\begin{aligned}(L(b_1), ...,L(b_m))&=(\beta_1\ \ ...\ \ \beta_n)\left(\begin{array}{} m^1_1 & m^1_2 & \cdots & m^1_m\\m^2_1 & m^2_2 &\cdots &m^2_m \\ \cdots \\ m^n_1& \cdots & \cdots & m^n_m\end{array}\right) \end{aligned}$$
が成立する.

Example 80

$$V=\{a_0 1 + a_1 x +a_2 x^2|a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R}\}$$
$B=(1, x, x^2)$と基底を定めると
$$\left(\begin{array}{} a \\ b \\ c\end{array}\right)=a \cdot 1 + bx + cx^2$$
$$\frac{d}{dx}\left(\begin{array}{} a \\ b \\ c\end{array}\right)_B=\left(\begin{array}{} b\\ 2c \\ 0\end{array}\right)_B$$
から,$B$に対する微分演算子の行列表現は
$$\left(\begin{array}{} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$