Basic Analysis (Jiri Lebl) 20日目 Cauchyの主値

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Cauchy principal value (Cauchyの主値)

$\int^1_{-1} 1/x$のような,普通には広義積分が収束しない場合にも与えられることがある値．

Definition

$f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$について，$a<c<b$なる任意の$c$と任意の$\epsilon >0$に,$f$が$[a, c-\epsilon], [c+\epsilon, b]$でリーマン可積分であるとき，
$$p.v. \int^b_a f := \lim_{\epsilon \rightarrow 0+0} \left(\int^{c-\epsilon}_a f+\int^b_{c+\epsilon} f\right)$$
が収束するとき，これをCauchyの主値という．

Exercise 5.5.13

(a) $p.v.\int^1_{-1} 1/x dx$を計算せよ
(b) $\lim_{\epsilon \rightarrow 0+0} (\int^{-\epsilon}_{-1} 1/x dx + \int^1_{2\epsilon} 1/x dx)$が，(a)と異なることを示せ．
(c) $f \in \mathscr{R}[a,b]$ならば，$\int^b_a f = p.v. \int^b_a f$を示せ
(d) $c \in [a,b]$を特異点に持ち,$p.v.\ \int^b_a f$が存在するが，$\int^c_a f, \int^b_c f$が存在しないような$f$を見つけろ
(e) $f:[-1, 1]$が連続とする．$p.v. \int^1_{-1} f(x)/x dx$が存在することを示せ

答案.

(a) $$\lim_{\epsilon \rightarrow 0+0} \left(\int^{-\epsilon}_{-1}1/x + \int^1_{\epsilon} 1/x\right)= \lim_{\epsilon \rightarrow 0 +0} [\log(|-\epsilon|) - \log(\epsilon)] = \lim_{\epsilon \rightarrow 0+0} 0 = 0$$
(b)
$$\lim_{\epsilon \rightarrow 0+0} \left(\int^{-\epsilon}_{-1}1/x + \int^1_{2\epsilon} 1/x\right)= \lim_{\epsilon \rightarrow 0 +0} [\log(|-\epsilon|) - \log(2\epsilon)] = \lim_{\epsilon \rightarrow 0+0} \log\frac{1}{2} = -\log2$$
確かに(a)で得られた値と異なっている．
(c)
特異点$c$として，任意の$\epsilon>0$に$[a, c-\epsilon],[c-\epsilon, c+\epsilon], [c+\epsilon, b]$において$f$は可積分で，
$$\int^b_a f = \left(\int^{c-\epsilon}_a + \int^{c+\epsilon}_{c-\epsilon} + \int^b_{c+\epsilon} \right) f$$
が常に成立するから．定積分と主値積分は等しい．
(d)
(a)で与えられた$\int^1_{-1} 1/x$が求める条件を満たしている．
(e)
特異点は明らかに$0$のみ.また$x\neq 0$で連続だから，任意の$\epsilon >0$に,$f$が$[-1, -\epsilon], [\epsilon, 1]$でリーマン可積分である.微積分の基本定理(Second form)より，$F_1 = \int^{x}_{-1} f, F_2 = \int^x_\epsilon f$があって，$f$は$x\neq 0$で連続だから$F_1'(x) =f(x)/x \ \ (-1 \leq x \leq -\epsilon), F_2'(x)=f(x)/x \ \ (\epsilon \leq x \leq 1)$
$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} ( F_1(-\epsilon) +F_2(\epsilon))$ が存在することを言えば良い．
$$F_1'(-\epsilon)=\lim \left[\frac{f(-\epsilon - h)}{-\epsilon -h} - \frac{f(-\epsilon)}{-\epsilon}\right] / -h$$
$$F_2'(\epsilon)=\lim \left[\frac{f(\epsilon + h)}{\epsilon + h} - \frac{f(\epsilon)}{\epsilon}\right] / h$$
ビーンもうダメ

Exercise 5.5.14

$f,g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$は連続で，ある$[a,b]$があって$[a,b]$以外の点$g$はで常に0の値を取る．
(a)
$$(g * f)(x) = \int^{\infty}_{-\infty} f(t)g(x-t)dt$$
は$x \in \mathbb{R}$で定義されていることを示せ．
(b)
$\int^{\infty}_{-\infty} |f| < \infty$ならば，
$$\lim_{x\rightarrow -\infty} (g * f)(x) =0, \ \ \ \lim_{x\rightarrow \infty} (g*f)(x)=0$$
を示せ．
答案.

(a)
$t \notin [a+x, b+x]$ならば$f(t)g(x-t)=0$だから，積分区間を$[a+x, b+x]$とそれ以下，それ以上の3つに区切れば，常に$[a+x, b+x]$以外の区間での積分は$0$となり，$\int^{\infty}_{-\infty}f(t)g(x-t)dt = \int^{b+x}_{a+x} f(t)g(x-t)dt$