Basic Analysis (Jiri Lebl) 三日目 数列とその収束の定義

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Chapter 2 Sequences and Series

2.1 Sequences and limits

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Definition 2.1.2

数列$\{x_n\}$が$x \in \mathbb{R}$に収束する
$\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \ \ \exists N \in \mathbb{N} \ \ s.t. \ \ [ n \geq N \Rightarrow |x_n-x|<\epsilon]$

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Example 2.1.4

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$$
proof.
任意の$\epsilon > 0$について,アルキメデス性から, $\frac{1}{N} < \epsilon$ なる$N \in \mathbb{N}$がある,この$N$をそのまま使えば確かに成立.

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Proposition 2.1.6

収束列の極限は一意である.
proof.
$x, y$ を $\{x_n\}$の極限とする. $x \neq y$ なら, $\epsilon = |x-y|/2 > 0$とする.仮定より,$n \geq N \Rightarrow |x_n - x| < \epsilon$なる$N$が存在する.一方この$N$について$n \geq N \Rightarrow |x_n - y| \geq \epsilon / 2$ これは$y$に収束するという仮定に反する.背理法によって示せた.

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2.1.1 Monotone sequences

Definition 2.1.9 単調列(monotone sequence, monotonic sequence)

$\{x_n\} \subset \mathbb{R}$が単調増加(increasing)
$\Leftrightarrow \forall n \ \ x_n \leq x_{n+1}$
$\{x_n \} \subset \mathbb{R}$ が狭義単調増加(strictly increasing)
$\Leftrightarrow \forall n \ \ x_n < x_{n+1}$
単調減少,狭義単調減少も同様に定義する.

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Theorem 2.1.10

単調列$\{x_n\}$が有界である $\Leftrightarrow$ $\{x_n\}$は収束する.
proof.
$\Rightarrow$
単調増加として一般性を失わない.有界性より$a = \sup \{x_n\}$が存在する.上限の定義から
$$\forall \epsilon > 0 \ \ \exists x_m \ \ s.t.\ \ 0\leq a - \epsilon < x_m$$
$n \geq m$ならば$0 \leq a - \epsilon < x_m \leq x_n$であって, $|a - x_n|< \epsilon$が成立.よって$\{x_n\}$は$a$に収束する.

$\Leftarrow$
Prop 2.1.7 (略)

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2.1.2 Tail of a sequence

Definition 2.1.14

$\{x_n\}$について,$K$-tail ($K \in \mathbb{N}$) あるいは単にtail とは,$\{x_{n+K}\}_{n=1}^\infty$あるいは$\{x_n\}_{n=K+1}^\infty$のことである.

Proposition 2.1.15

$\{x_n\}$について,以下の３つは同値.
(i) $\{x_n\}$は収束する
(ii) $\{x_n\}_{n=K+1}^\infty$は任意の$K$で収束する
(iii) $\{x_n\}_{n=K+1}^\infty$はある$K$で収束する

proof.
(i) $\Rightarrow$ (ii)

極限を$x$とする.
(i) $\Leftrightarrow \forall \epsilon \exists N \ \ s.t. [ n \geq N \Rightarrow |x_n - x| < \epsilon]$
この$N$を固定して考えたとき, $n \geq N+K \geq N \Rightarrow |x_n - x| < \epsilon$よって示せた

(ii) $\Rightarrow$ (iii)

自明

(iii) $\Rightarrow$ (i)

(iii) $\Leftrightarrow \forall \epsilon \exists N \ \ s.t. [ n \geq N \Rightarrow |x_{n+K} - x| < \epsilon]$
この$N$を固定して考えたとき, $M=N+K$とすると, $n \geq M \Rightarrow |x_n-x|<\epsilon$
よって示せた

以上により命題が示せた.

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2.1.3 Subsequences

Definition 2.1.16

$\{x_n\}$を数列とする, $\{n_i\}$は狭義単調増加する自然数列とする.このとき
$$\{x_{n_i}\}_{i=1}^\infty$$
を$\{x_n\}$の部分列という.

Proposition 2.1.17

$\{x_n\}$を$x$に収束する収束列とすると,任意の部分列は$x$に収束する
証明略