Basic Analysis (Jiri Lebl) 七日目 べき級数と収束半径

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2.6.4 Multiplication of series

級数どうしの掛け算は,少なくとも一方が絶対収束すると議論ができる.

Theorem 2.6.5 (Merten’s theorem)

$\sum_{n\geq 0} a_n, \sum_{n\geq 0} b_n$がそれぞれ$A, B$に収束するとする.少なくとも一方が絶対収束するとき,
$$c_n = a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \cdots + a_n b_0 = \sum_{j=0}^n a_j b_{n-j}$$
とすると, $\sum_{n\geq 0} c_n$は$AB$に収束する.この級数$\sum_{n\geq 0} c_n$を$\sum a_n, \sum b_n$のコーシー積(Cauchy product)という.

proof.
略

2.6.5 Power series (べき級数)

$x_0 \in \mathbb{R}$におけるべき級数とは,
$$\sum_{n\geq 0} a_n (x-x_0)^n$$
の形をした$x$の関数で,$x \neq x_0$の少なくともひとつの(実際には収束するなら無限個の)点で収束するとき,べき級数は収束するという.$x \neq x_0$のすべての点で発散するとき,べき級数は発散するという.

Example 2.6.7 (Exponential)

$$\sum_{n \geq 0} \frac{1}{n!} x^n$$
は, $[x^n / n!]/[x^{n+1}/(n+1)!] = x/(n+1) \rightarrow 0$より,ダランベルの収束判定を使って,このべき級数はすべての$x$で収束する.これは$e^x$に等しい.

Proposition 2.6.10 (収束半径)

べき級数$\sum a_n(x-x_0)^n$には,$|x| < \rho$ならば収束, $|x| > \rho$なら発散するような$\rho > 0$がある.この$\rho$を収束半径という.べき級数が発散するときには$\rho=0$, 常に収束するときには$\rho = \infty$とする.
proof. (本の証明がややこしいので”Understanding Analysis”, Abbottを参考にした)

ある$p$で$\sum a_b(x-x_0)^n$が収束するとき,$|x-x_0|<|p-x_0|$なるすべての$x$でべき級数が絶対収束($\Rightarrow$収束)することを示す.$\sum a_n(p-x_0)^n$が収束するから,$|a_n (p-x_0)^n| \leq M$がすべての$n$になりたつ$M$がある.$|x-x_0|<|p-x_0|$とすると,
$$|a_n (x-x_0)^n| = |a_n| |p-x_0|^n \left| \frac{x-x_0}{p-x_0} \right| ^n \leq M \left| \frac{x-x_0}{p-x_0} \right| ^n \rightarrow 0$$
$\sum M |(x-x_0)/(p-x_0)|$ は$r=|(x-x_0)/(p-x_0)| <1$の幾何級数で,収束する.よってこの$x$に$\sum a_n(x-x_0)^n$が絶対収束すことが示せた.
さらに,
$$R = \limsup |a_n|^{1/n}, L=\limsup |a_n(x-x_0)^n|^{1/n} = |x-x_0|\limsup|a_n|^{1/n} = |x-x_0|R$$
とする. $R=0$なら$L=0$で,級数はすべての$x$で収束し,$R=\infty$なら$L=\infty$ですべての$x\neq x_0$に発散する. $0 < R < \infty$とすると, $1 > L = R|x-x_0| \Leftrightarrow |x-x_0| < 1/R$で級数は絶対収束し, また$|x-x_0|>1/R$なら級数は発散する.$\rho = 1/R$とすると,命題が示せた.