Basic Analysis (Jiri Lebl) 四日目 数列の極限の性質

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2.2 Facts about limits of sequences

2.2.1 Limits and inequalities

Lemma 2.2.1

$a_n \leq x_n \leq b_n$がすべての$n$で成り立つ数列があり,$\{a_n\}, \{b_n\}$が同じ極限に収束するとき,$\{x_n\}$もその極限に収束する
proof. 略

Lemma 2.2.3

$x_n \leq y_n$がすべての$n$で成り立ち,そぜぞれ$x,y$に収束するとき,$x\leq y$
proof. 略

Corollary 2.2.4

(i) $x_n \geq 0$で極限が存在すれば$\lim_{n\rightarrow \infty} x_n \geq 0$
(ii) $a \leq x_n \leq b$で極限が存在すれば $a\leq \lim_{n\rightarrow \infty} x_n \leq b$

2.2.2 Continuity of algebraic operations

Proposition 2.2.5

$\{x_n\}, \{y_n\}$がそれぞれ$x, y$に収束するとき
(i) $(x_n + y_n) \rightarrow x + y$
(ii) $(x_n - y_n) \rightarrow x - y$
(iii) $(x_ny_n) \rightarrow xy$
とくに$\forall n y_n \neq 0, y \neq 0$なら
(iv) $x_n/{y_n} \rightarrow x / y$
proof. 略

Proposition 2.2.6

$x_n \geq 0$な$\{x_n\}$が$x$に収束するとき$\sqrt{x_n} \rightarrow \sqrt{x}$
proof.

$x=0$のときは明らか
$x>0$のとき,
$$|\sqrt{x_n} - \sqrt{x} | = \left| \frac{x_n-x}{\sqrt{x_n}+\sqrt{x}} \right| \leq \frac{1}{\sqrt{x}} |x_n-x|$$
$\sqrt{x}$は有限の正の値なので,$\sqrt{x_n} \rightarrow \sqrt{x}$

Proposition 2.2.7

$\{x_n\}$が$x$に収束するとき$\{|x_n|\}$も収束しその極限は$|x|$.
proof. 略

2.2.4 Some convergence tests

Proposition 2.2.10

0に収束する列$\{a_n\}$があって, $|x_n-x| \leq a_n$なるとき, $x_n \rightarrow x$.
proof.

仮定より$\forall \epsilon >0 \ \ \exists N \ \ s.t. \ \ [n \geq 0 \Rightarrow |a_n-0|]<\epsilon]$
ここで$|x_n-x| \leq |a_n-0|$ を考えれば,$x_n \rightarrow x$が言える.

Proposition 2.2.11

$c > 0$について
(i) $c < 1 \Rightarrow c^n \rightarrow 0$
(ii) $c > 1 \Rightarrow$ 発散
proof. 略

Lemma 2.2.12 (Ratio test for sequences)

$\{x_n\}$について$L := \lim |x_{n+1}|/|x_n|$が存在するとき,
(i) L < 1 なら $x_n \rightarrow 0$
(ii) L > 1 なら $\{x_n\}$は非有界で発散する.
proof. 略