Basic Analysis (Jiri Lebl) 二日目 実数の性質

CC BY-NC-SA 3.0

1.2 The set of real numbers

有理数からの実数の構成は省略して,完備な順序体であるとする.

1.2.2 Archimeddean property

Theorem 1.2.4

(i) $x, y \in \mathbb{R}$ and $x > 0 \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N} \ \ s.t. \ \ nx > y$ (Archimedean property)
(ii) $x, y \in \mathbb{R}$ and $x < y \Rightarrow \exists r \in \mathbb{Q} \ \ s.t. \ \ x < r < y$ ($\mathbb{Q}$ is dense in $\mathbb{R}$)

1.2.3 Using supremum and infimum

Definition 1.2.9

(i) $A=\phi \Rightarrow \sup A = -\infty, \inf A = \infty$
(ii) $A$が上に非有界 $\Rightarrow \sup A = \infty$
(iii) $A$が下に非有界 $\Rightarrow \inf A = -\infty$

Proposition 1.2.6

$0<x \in \mathbb{R}$ と有界な集合$A$があるとき, $x+A := \{x+y | y \in A\}, xA :=\{xy| y \in A\}$と定義すると,それぞれの上限,下限は$x$と,$A$の上限,下限の和や積になり,$x < 0$ならば上限と下限が逆転する.

1.2.4 Maxima and minima

Definition

$A \subset \mathbb{R}$について,$\sup A \in A$ならば$\sup A$を$\max A$と書きmaxima(最大値)と呼び, $\inf A \in A$ならば$\inf A$を$\min A$と書きminima(最小値)と呼ぶ.

1.2.5 Exercise

Exercise 1.2.13 (Bernoulli’s inequality)

$1 + x> 0 , n \in \mathbb{N} \Rightarrow (1+x)^n \geq 1 + nx$

proof.
n=1 のときは明らかに成立.
(帰納ステップ)
$$\begin{aligned} (1 + x)^{n+1} &\geq (1+x)(1+nx) \\ &= 1+(n+1)x+nx^2 \\ &\geq 1+(n+1)x \end{aligned}$$
から,n=nで成立すると仮定するとn=n+1でも成立する.
数学的帰納法で示せた.

1.3 Absolute value

$$|x|:= \begin{cases} x \ \ \ \ \ \ (x\geq 0) \\ -x \ \ \ (x < 0) \end{cases}$$
で絶対値を定義する.

Proposition 1.3.2 (Triangle Inequality)

$$|x+y| \leq |x| + |y|$$

Corollary 1.3. 4

$$|x_1 + x_2 + \cdots x_n| \leq |x_1|+|x_2|+ \cdots +|x_n|$$

Definition 1.3.6

$f: D \rightarrow \mathbb{R}$が有界関数
$\Leftrightarrow \exists M \ \ s.t. \ \ \forall x \in D |f(x)|< M$

1.3.1 Exercise

Exercise 1.3.7

$D \neq \phi$, $f,g : D \rightarrow \mathbb{R}$. このとき
$$\sup (f(x)+g(x)) \leq \sup f(x) + \sup g(x)$$

proof.
$b, c$をそれぞれ$f, g$の上界とすると,$\forall x f(x) < b, \forall x g(x)<c$よって$\forall x (f(x)+g(x)) < b+c$よって示せた