Basic Analysis (Jiri Lebl) 六日目 コーシー列と級数の収束

CC BY-NC-SA 3.0

2.4 Cauchy sequences

Definition 2.4.1

$\{x_n\}$がコーシー列$\Leftrightarrow$
$$\forall \epsilon > 0 \ \ \exists N \ \ s.t. \ \ m,n > N \Rightarrow |x_m-x_n| < \epsilon$$

Proposition 2.4.4

コーシー列は有界
proof. 略

Theorem 2.4.5

$\{x_n\}$がコーシー列$\Leftrightarrow\{x_n\}$は収束する$
proof.

($\Rightarrow$)
$\{x_n\}$は有界だから,$\liminf x_n = \limsup x_n$を示せば良い.$a=\limsup x_n, b=\liminf x_n$とすと,$x_{n_k} \rightarrow a, x_{m_k} \rightarrow b$なる部分列$\{x_{n_k}\}, \{x_{m_k}\}$がある.したがって
$$\forall \epsilon \ \ \exists M \ \ s.t. k \geq M \Rightarrow |x_{n_k}-a| < \epsilon \ \&\ |x_{m_k}-b|<\epsilon$$
このとき, $|a - b| = |a - x_{n_k} + x_{n_k} - x_{m_k} + x_{m_k} - b|\leq |a-x_{n_k}| +|x_{n_k}-x_{m_k}|+|x_{m_k}-b|$
コーシー列と部分列の定義から, $k \geq N \Rightarrow |x_{n_k}-x_{m_k}|<\epsilon$なる$N$があって,$L=\max(M,N)$とすると, $$[\forall \epsilon \exists L s.t. k \geq L \Rightarrow |a-b| < \epsilon] \Leftrightarrow a=b$$
以上により示せた
($\Leftarrow$) 略

他の教科書でよく見る証明とは違うが,上下極限が一致するなら極限が存在するという性質を知っていればこっちのほうが単純に書ける.

2.4.1 Exercise

Exercise 2.4.7

問: $\{x_n\}$がコーシー列で, 無限に多くの$n$に$x_n=c$が成立するとき,コーシー列の定義だけを使って$\lim x_n = c$を示せ.

$$\forall \epsilon \exists N \mbox{s.t}. l,m \geq N \Rightarrow |x_l - x_m| < \epsilon$$
無限に多くの$n$に$x_n=c$が成立するから,$x_n= c, n \geq N$を満たす$n$が必ず存在する.このような$l$を$N$を選ぶたびに一つ選んで$\nu$とすると,
$$\forall \epsilon \exists N \mbox{s.t}. l \geq N \Rightarrow |x_l - c| < \epsilon$$
よって$\lim x_n = c$が示せた.

Exercise 2.4.8

問: $\{x_n\}$がコーシー列ならある,$n \geq M \Rightarrow |x_{n+1}-x_n| \leq |x_n - x_{n-1}|$を満たす$M$が存在するか.

$$x_n = \begin{cases} 0 \ \ \ &(mod(n, 3) = 0) \\ 1/n \ \ \ &(mod(n,3)=1) \\ 1/3n \ \ \ &(mod(n, 3) = 2) \end{cases}$$
とすると,$\{x_n\}$が0に収束するのは明らかだが,$mod(n, 3)=0$なる任意の$n$に,
$$|x_{n+1}-x_n|=1/n, |x_{n}-x_{n-1}|=1/3(n-1) \Rightarrow |x_{n+1}-x_n| > |x_n - x_{n-1}|$$
よって反例を示せた.

2.5 Series

2.5.1 Definition

Definition 2.5.1

$$\sum_{n\geq 1} x_n$$
の値を, $s_n = \sum_{i=1}^n$ として部分和の列$\{s_n\}$の極限と定義する.

Proposition 2.5.5

任意の$k$nに
$\sum_{n \geq 1} x_n$が収束する$\Leftrightarrow$ $\sum_{n \geq k} x_n$が収束する

proof.略

2.5.2 Cauchy Series

Definition 2.5.6

$\sum x_n$がコーシー(級数)である$\Leftrightarrow$部分和列がコーシー列である

2.5.3 Basic properties

Proposition 2.5.8

$\sum x_n$が収束するとき, $\{x_n\}$は収束し$\lim x_n=0$.
proof.

級数の収束の定義から, $\sum x_n$が収束する$\Leftrightarrow$ $\sum x_n$はコーシー級数である $\Leftrightarrow$ 部分和列がコーシー列である
部分和列を$\{ s_n\}$とする.これがコーシー列だから$m,n \geq N \Rightarrow |s_m -s_n| < \epsilon$
$m=n-1$と限定すると$|s_n-s_{n-1}| = |x_n| < \epsilon \ \ \ (n \geq n)$
したがって確かに$\{x_n\}$は$0$に収束する.(逆は一般には成り立たない)

Proposition 2.5.10

$\alpha \in \mathbb{R}$があって, $\sum x_n, \sum y_n$が収束級数とすると,
(i) $\sum \alpha x_n$は収束し,$\sum \alpha x_n = \alpha \sum x_n$
(ii)$\sum (x_n + y_n)$は収束し$\sum(x_n+y_n) = \sum x_n + \sum y_n$
proof. 略

2.5.4 Absolute convergence

$\sum x_n$の各$x_n$が非負であれば,部分和列は単調増加列となって,議論しやすい.一般の級数も項に絶対値を施して扱いやすくして,性質を論じることができる.

Definition 2.5.12

$\sum x_n$が絶対収束する(converges absolutely) $\Leftrightarrow$ $\sum |x_n|$が収束する

Proposition 2.5.13

絶対収束する級数は収束する.
proof.

$\sum |x_n|$の部分和$s_n^{abs} = \sum_{k=1}^n |x_n|$はコーシー列だから,
$$\forall \epsilon \ \ \exists N \ \ \mbox{s.t.} m, n \geq N \Rightarrow \left| \sum_{k=n}^m |x_k| \right|<\epsilon$$
ここで, $|\sum_{k=n}^m x_k| \leq \sum_{k=n}^m |x_k|$から, $\sum_{k=1}^n x_k$もコーシー列.
よってもとの級数も収束する.

一方, 絶対収束しなくても収束する(条件収束する)級数の例として$\sum \frac{(-1)^n}{n}$がある.

2.5.5 Comparison test and the p-series

Proposition 2.5.14 (Comparison test)

$0 \leq x_n \leq y_n$であるとき,
(i) $\sum y_n$が収束する $\Rightarrow$ $\sum x_n$も収束
(ii) $\sum x_n$が発散する $\Rightarrow$ $\sum y_n$も発散

proof.

(i)
$x_n, y_n$の部分列をそれぞれ$s_n^{(x)}, s_n^{(y)}$とすると, 仮定より$0 \leq s_n^{(x)} \leq s_n^{(y)}$.
$s_n^{(y)}$の極限を$Y$とすると$0 \leq s_n^{(x)} \leq Y$が常に成立し,$s_n^{(x)}$は収束してLemma 2.2.3よりその極限は$Y$以下.以上により示せた.
(ii) 略

Proposition 2.5.15 (p-series of p-test)

$$\sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{n^p}$$
が発散する$\Leftrightarrow p >1$

proof.

$p \leq 1$とする.$n\geq 1 \Rightarrow \frac{1}{n^p} \geq \frac{1}{n}$.
$\sum 1/n$は発散するから,$\sum 1/n^p$も発散する.
$p > 1$とする. 部分和$s_n$は,
$s_1 = 1$
$s_3 = (1) + \left( 2^{-p} + 3^{-p} \right)$
$s_7 = (1) + \left( 2^{-p} + 3^{-p} \right) + \left( 4^{-p} + ... + 7^{-p} \right)$
$\vdots$
$s_{2^k -1} = 1 + \sum_{j=1}^{k-1} \left( \sum_{m=2^j} ^{2^{j+1}-1} m^{-p} \right)$
$p> 0$から, $2^{-p}+3^{-p} < 2^{-p} + 2^{-p}$, $4^{-p}+...+7^{-p} < 4^{-p} + ... +4^{-p}, ...$より,
$$\begin{aligned} s_{2^k -1} &=& 1 + \sum_{j=1}^k \left( \sum_{m=2^j} ^{2^{j+1}-1} m^{-p} \right) \\ &<& 1 + \sum_{j=1}^k 2^{-(p-1)j} \end{aligned}$$
$p>1$から$2^{-(p-1)}<1$. Exercise 2.5.2から, $\sum 2^{-(p-1)}$は収束し,prop2.5.14より$\sum n^{-p}$も収束する.

Example 2.5.16

$\sum \frac{1}{n^2+1}$は収束する.
proof.

$\frac{1}{n^2+1} < \frac{1}{n^2}$であり,Prop2.5.14, 2.5.15から成立.

2.5.6 Ratio test

Proposition 2.5.17 (Ratio test, ダランベルの収束半径)

$L = \lim \frac{|x_{n+1}|}{|x_n|}$が存在するとき,
(i) $L < 1$なら, $\sum x_n$は絶対収束する
(ii) $L>1$なら, $\sum x_n$は発散する

proof.

(i) 略
(ii)Lemma 2.2.12より, $L>1$なら$x_n$は発散する. Prop2.5.8の対偶を考えれば,$\sum x_n$は発散すると示せる.

2.5.7 Exercises

2.5.12

$x_n = \sum_{j=1}^n 1/j$とする. 任意の$k$に$\lim |x_{n+k}-x_n| =0だが,${x_n}$はコーシー列でないと示せ.

1. $\{x_n\}$がコーシー列でないことを示す.
   $m > n$とすると, $|x_m - x_n| = \sum_{j=n+1}^m 1/j$.これは発散する級数の(n+1)-tailであって,$n$を決めれば$m$とともに発散する.よってこれはコーシー列でない.
2. $\lim |x_{n+k}-x_n| = 0$を示す.
   $|x_{n+k} - x_n| = \sum_{j=n+1}^{n+k} 1/j \leq \sum_{j=n+1}^{n+k} 1/(n+1) = k/(n+1) \rightarrow 0 \ \ (n\rightarrow \infty)$

2.5.13

$\sum x_n$の部分和を$s_n$とする.
(a) $\lim s_{mk}$が存在するような$m$があって$\lim x_n=0$なら,$\sum x_n$は収束することを示せ
(b) $\lim s_{2k}$が存在して, $\lim x_n \neq 0$(このとき \sum x_n は発散する)ような$\{x_n\}$を考えよ
(c) $\lim x_n = 0$かつ $\lim s_{k_j}$が収束するような部分列$\{s_{k_j}\}$が存在するが,$\sum x_n$は発散するような$\{x_n\}$を考えよ.

(a) コーシー級数であることを示せば良い.
$p>q$として,$m(k+1) > p\geq mk \geq mk' > q+1 \geq m(k'-1)$なる$k , k'$があるから,
$$\begin{aligned} |s_p -s_q| &\leq |x_{p} |+ |x_{p-1}| + \cdots |s_{mk} - s_{mk'}| + \cdots |x_{q+1}| \\ &\leq |s_{mk} - s_{mk'}| + 2m\max\{|x_i|\}_{i\geq q+1}^p\end{aligned}$$
ここで, $\lim_ks_{mk}$が存在するから$\{s_{mk}\}_k$はコーシー列で,
$\forall \epsilon \ \ \exists N \ \ \mbox{s.t.} \ \ k, k' \geq N_1 \Rightarrow |s_{mk}-s_{mk'}|<\epsilon$
また, $\lim x_n=0$から, $\forall \epsilon \ \ \exists N_2 \ \ \mbox{s.t.} n \geq N_2 \Rightarrow |x_n| < \epsilon$
これらから, $p,q \geq \max(N_1, N_2) \Rightarrow |s_p - s_q| \leq 2\epsilon$.以上により示せた.
(b)$x_n = (-1)^n$とする. $s_{2k} = ((-1) + 1) + ((-1) + 1) + \cdots ((-1)+1) = 0 \times k = 0$
一方,$x_n$は発散(振動)する.
(c)$x_n = \begin{cases} 1/2^m \ \ \ &(2^m \leq n < 2^{m+1}, m:\mbox{odd})\\ -1/2^{(m-1)} \ &(2^m \leq n < 2^{m+1}, m:\mbox{even})\end{cases}$
とする. $\lim x_n = 0$は明らか.
$k_j = 2^{2j+1}$とすると, $s_{k_j} = 0$より部分和部分列は収束.一方で$|s_{2^{m+1}}-s_{2^m}|=1$から,$\sum x_n$は発散する.

2.6 More on Series

2.6.2 Alternating series test

Proposition 2.6.2 (Alternating series test)

$\{x_n\}$は単調減少する正数列とすると
$$\sum (-1)^n x_n$は収束する
proof. 略

2.6.3 Rearrangements

数列の順番を勝手に入れ替えたりカッコをつけたりすると,極限の存在が変わったり,収束先が変わったりする.このような問題を起こさない級数の条件を考える.

Definition 2.6.0

全単射な$\sigma: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$について, $\sum x_{\sigma(n)}$を級数$\sum x_n$の並び替えという.

Proposition 2.6.3

$\sum x_n$を$x$に絶対収束する級数とすると,$\sum x_n$の任意の並び替えはまた$x$に絶対収束する.
prof. 略