Basic Analysis (Jiri Lebl) 五日目 数列の極限と部分列の関係

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Limit superior, limit inferior, and Bolzano-Weierstrass

有界かつ発散する数列にもある種の極限を定義する.

2.3.1 Upper and lower limits

有界な数列から単調な部分列を取り出し,その極限をもとの列のある種の極限とする方法.

Definition 2.3.1

$\{x_n\}$ を有界列とする.
$$a_n = \sup\{x_k | k \geq n\}, b_n = \inf\{x_k | k \geq n\}$$
とすると,明らかに$a_n$は講義単調減少し,有界. $b_n$は講義単調増加し,有界.よって極限が存在する.
$$\lim\sup x_n = \lim_{n\rightarrow \infty} a_n \\ \lim\inf x_n = \lim_{n\rightarrow \infty} b_n$$
とする.非有界な数列についても,$\pm \infty$を許せば$\lim\sup, \lim\inf$が定義される.収束列では$\limsup$と$\liminf$は一致する(Th 2.3.5).

Proposition 2.3.2

$\{x_n\}$は有界で$a_n = \sup\{x_k | k \geq n\}, b_n = \inf \{x_k | k \geq n\}$とする.
(i) $\{a_n\}$は有界で単調減少し, $\{b_n\}$は有界で単調増加する.
(ii) $\lim\sup x_n = \inf\{ a_n | n \in \mathbb{N}\}, \lim\inf x_n = \sup \{b_n | n \in \mathbb{N}\}$
(iii) $\liminf x_n \leq \limsup x_n$

proof.

(i) $\{a_n\}$のみ示す. $a_n \leq \sup \{x_n\}$だから上に有界. 下に非有界とすると, $\forall M>0\ \exists N\ s.t.\ \sup \{x_n | n \geq N\} < -M$ このとき$\forall n \geq N\ \ x_n < -M$これは$\{x_n\}$の有界性に反する.また, 一般に$A \subset B \Rightarrow \sup A \leq \sup B$だから,$\{a_n\}$は単調減少する. $\{b_n\}$も同様に示せる.
(ii) 有界で単調増加/減少する列はその上限/下限に収束するから成立
(iii) $a_n, b_n = \sup, \inf \{x_k| k \geq n\}$
から, $a_n \geq b_n$が常に成立.よって$\lim a_n \geq \lim b_n\Leftrightarrow \limsup \{x_n\} \geq \liminf \{x_n\}$

Theorem 2.3.4

$\{x_n\}$が有界列とすると, 部分列$\{x_{n_k}\}$があって,
$$\lim_{k \rightarrow \infty} x_{n_k} = \limsup x_n$$
同様に部分列$\{x_{m_k}\}$があって,
$$\lim x_{m_k} = \liminf x_n$$
が成立する.

proof.

$\lim_{k \rightarrow \infty} x_{m_k} = \limsup x_n$のみ論じる.
$a_n = \sup\{x_k | k \geq n\}$とする. $x = \limsup x_n = \lim a_n$.
$x_n$の部分列$x_{n_k}$を帰納的に定義する.
1. $n_1 = 1$とする.
2. $n_k$が決まっているとき, $a_{n_k + 1} - x_m < \frac{1}{k+1}$を満たす最小の$m\geq k+1$を$n_{k+1}$とする.
ここで,$a_{n_{k-1}+1} \geq a_{n_k}$かつ$a_{n_k} \geq x_{n_k}$より, 任意の$k > 1$に
$$\begin{aligned} |a_{n_k} - x_{n_k}| &=& a_{n_k} - x_{n_k} \\ & \leq & a_{n_{k-1} +1} - x_{n_k} \\ & < & 1 / k \end{aligned}$$
が成立する.($k=1$のときは最左辺は$0$だから結局成立する)
$\{x_{n_k}\}$が$\{a_n\}$と同じ極限$x=\limsup \{x_n\}$に収束することを示す. $\{a_n\}$は$x$に収束するから,その部分列$\{x_{n_k}\}$も$x$に収束する.よって,
$$\forall \epsilon \ \ \exists M_1 \ \ s.t. \ \ k \geq M_1 \Rightarrow |a_{n_k}-x| < \epsilon / 2$$
さらに, $1 /M_2 \leq \epsilon /2$なる$M_2$も存在する.$M = \max\{M_1, M_2\}$とすると,
$$k \geq M \Rightarrow \\ \begin{aligned} |x - x_{n_k}| &\leq |a_{n_k} - x_{n_k}| + |x - a_{n_k}| \\ &< \frac{1}{k} + \frac{\epsilon}{2} \\ &\leq \frac{1}{M_2} + \epsilon /2 \leq \epsilon \end{aligned}$$
以上により示せた.

2.3.2 Using limit inferior and limit superior

Theorem 2.3.5

$\{x_n\}$を有界列とする. $\{x_n\}$が収束する $\Leftrightarrow$ $\limsup x_n = \liminf x_n$.
またこのとき$\limsup x_n = \liminf x_n = \lim x_n$が成立.
proof. 略

Proposition 2.3.6

$\{x_{n_k}\}$を$\{x_n\}$の部分列とすると,
$$\liminf x_n \leq \liminf x_{n_k} \leq \limsup x_{n_k} \leq \limsup x_n$$
proof. 略

Theorem 2.3.7

有界列$\{x_n\}$が$x$に収束する$\Leftrightarrow$任意の部分列が$x$に収束する
proof.

($\Leftarrow$)
$\{x_n\}$それ自体やK-tailも$\{x_n\}$の部分列だから,成立
($\Rightarrow$)
仮定 $\Leftrightarrow \forall \epsilon \ \ \exists N \ \ s.t. \ \ n \geq N \Rightarrow |x_n - x| < \epsilon$
部分列の定義を思い出せば, $n(k)$は単調増加する自然数から自然数への写像だから,$n(N) \geq N$であって, $k \geq N \Rightarrow |x_{n_{k}} -x| \leq |x_n - x| < \epsilon$. よって成立

2.3.3 Bolzano-Weierstrass theorem

Theorem 2.3.8 (Bolzano-Weierstrass)

$\{x_n\}$が有界列であれば, 適当な部分列$\{x_{n_k}\}$は収束する.
proof.

($\{x_n\}$が１次元の実数列であるとき)Th.2.3.4より成立 (区間縮小法を使わない証明!)

しかしこの証明は$\{x_n\}$が二次元以上の点列のときは使えないので,区間縮小法の証明もある.(略)

2.3.4 Infinite limits

非有界な列にも$\limsup, \liminf$を認めると,発散する数列にある種の極限を定義できる.

Definition 2.3.9

$\{x_n\}$が正の無限大に発散する$\Leftrightarrow \forall M > 0 \exists N \ \ .s.t \ \ [n \geq N \Rightarrow x_n > M]$
負の無限大への発散も同様.

Example 2.3.10

$$x_n = \begin{cases} 0 \ \ \ (n : odd) \\ n \ \ \ (n:even) \end{cases}$$
これは無限大に発散しないが, $\limsup x_n = \infty$.