Basic Analysis (Jiri Lebl) 25日目 連続関数

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title :Basic Analysis (Jiri Lebl) 24日目
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7.4 Completeness nad compactness

7.4.3 Exercises

Exercise 7.4.12

$(X, d)$は完備な距離空間とする．
$K \subset X$がcompact
$\Leftrightarrow$ $K$は閉集合であり，任意の$\epsilon>0$に，$K \subset \cup_j B(x_j, \epsilon)$が成立するように$x_1, ...,x_n \in K$を選べる．
この命題を証明せよ．(このような$K$をtotally boundedという．)

答案.

$(\Rightarrow)$
$\cup_{x \in X} B(x, \epsilon)$は明らかに$K$のopen coverであって，$K$のcompact性から有限被覆を選べるから，成立．
$(\Leftarrow)$
$K$の要素からなる点列が$K$の要素に収束する部分列を持つことを言えば良い．
$\{k_j\}_{j \geq 1} \subset K$とする．$\epsilon = 2^{-1}$として，$K \subset \cup_j B(x^1_j, 2^{-1})$とできるように$x_1^1, ...,x^1_{n(1)}$を選べる．$B(x^1_j, 2^{-1})$たちのなかで，$\{k_j\}$の点が無限子あるものを一つ選んで，その$x^1_j$を$x^1$とする．さらに，$K \subset U_j B(x^2_j, 2^{-2})$となるように$x_1^2, ..., x^2_{n(2)}$を選べて，$B(x^1, 2^{-1})$を被覆する$B(x^2_j, 2^{-2})$たちのなかで${k_j}$の点が無限子あるものを選んで，$x^2$とする．これを繰り返して，$\{x^n\}_{n \geq 1}\subset K$が作れる．$x^i$に属するうち，添字が最小でそれ以前に部分列に加えられていない$\{k_j\}$の要素を選んで，部分列$\{k_{\nu(i)}\}$を作れる．任意の$\epsilon >0$に，$2^{-N+1} < \epsilon \leq 2^{-N}$をみたす$N$が存在して，$m, n \geq N$ならば$|k_{\nu(m)} -k_{\nu(n)}| < \epsilon$が成立するから，この部分列はCauchy列で，$X$の完備性から収束する．その極限を$k$とすると，$K$は閉集合だから，$k \in K$である．
(Lebesgue covering lemmaを使えば一発だった)

7.4.13

$\mathbb{R}$に絶対値距離を入れる．$\mathbb{N}$のopen coverで，Lebesgue covering lemmaの結論が成立しなようなものを見つけろ．

答案．
Lebesgue covering lemma: $(X, d)$は距離空間で，$K \subset X$であり，$K$の任意の点列が$K$の要素に収束する部分列を持つなら，$K$のopen cover $\{U_\lambda\}_\Lambda$を与えられたとき,任意の$x \in K$に，$U_\lambda$を選べば$B(x, \delta) \subset U_\lambda$がなる立つような$\delta$が存在する．

$U_n = (n-1/n, n+1/n)$とすると，$\{U_n\}_{n \in \mathbb{N}}$は$\mathbb{N}$を被覆するが，いかなる$\delta > 0$を考えても，$N = \text{ceil}(1/\epsilon)$とすると，$n \geq N$なら$B(x, \delta) \nsubseteq U_n$．

7.5 Continuous functions

7.5.1 Continuity

Definition 7.5.1

$(X, d_X), (Y, d_Y)$がそれぞれ距離空間で，$c \in X$とする．
$f: X \rightarrow Y$が$c$で連続である
$\Leftrightarrow [\forall \epsilon > 0 \ \ \exists \delta>0 \ \ \text{s.t. } d_X(d, c) < \delta \Rightarrow d_Y(f(x), f(c))<\epsilon]$

以後，この節では$(X, d_X), (Y, d_Y)$はともに距離空間とする．

Proposition 7.5.2

$f: X \rightarrow Y$が$c \in X$で連続
$\Leftrightarrow$ $c$に収束する任意の$\{x_n\} \subset X$について，$f(x_n) \rightarrow f(c)$.
proof. 略

Example 7.5.3

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$を，
$$f(x, y) = \sum_{j=0}^d \sum_{k=0}^{d-j} a_{jk} x^j y^k$$
とする．
$(x, y) \in \mathbb{R}^2$に収束する$\{(x_n, y_n)\}$について，Prop 2.5.5から
$$\lim f(x_n, y_n) = \lim_n \sum_{j=0}^d \sum_{k=0}^{d-j} a_{j k} x^j_n y^k_n =\sum \sum a_{j k} x^j y^k = f(x,y)$$

7.5.2 Copmactness and continuity

連続写像は必ずしも閉集合を閉集合に移さないが，compact集合はcompact集合に写す．

Lemma 7.5.4

$f: X \rightarrow Y$は連続写像とする．$K \subset X$がcompactなら，$f(K)\subset Y$もcompactである．
proof.

$f(K)$の任意の点列は$\{f(x_n)\}, \{x_n\} \subset X$と書ける(一意とは限らない).$K$はcompactだから，収束する部分列$\{x_{\nu(i)}\}$がある．連続性より,$\{x_{\nu(i)}\}$の極限を$x$とすると，$f(x_{\nu(i)}) \rightarrow f(x) \in f(K)$.したがって，$f(K)$の任意の点列が$f(K)$の点に収束する部分列を持つことがわかった．すなわち$f(K)$はcompactである．

Theorem 7.5.5

$(X, d)$はcopmact距離空間とする．$f: X \rightarrow \mathbb{R}$が連続とすると，$f$は有界で，最大値と最小値を持つ．
proof.

$X$はcompactだから，$f(X)\subset \mathbb{R}$もまたcompact.$f(X)$はcompactかつ有界である.特に,$\mathbb{R}$の完備性から$\sup f(X) \in f(X), \inf f(X) \in f(X)$が成立する．よって成立．

7.5.3 Continuity and topology

Lemma 7.5.6

$f: X \rightarrow Y$が$c \in X$で連続である
$\Leftrightarrow$ $f(c)$ の任意の近傍$U$について，$f^{-1}(U)$は$c$の開近傍を含む．
proof. 略

Theorem 7.5.7

$f : X \rightarrow Y$が連続である$\Leftrightarrow$ $U\ subset Y$なる任意の開集合$U$に，$f^{-1}(U) \subset X$は開集合．

7.5.4 Uniform continuity

Definition 7.5.9

$f: X \rightarrow Y$がuniformly continuous $\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon \exists \delta \text{s.t. } \forall x, c \in X, d_X(x, c) < \delta \Rightarrow d_Y(f(x), f(c))<\epsilon$

Theorem 7.5.10

$f: X \rightarrow Y$が連続で，$X$がcompactならば，$f$は一様連続．

proof.

$\epsilon>0$とする.すべての$c \in X$に，$\delta_c > 0$があって，$d_X(x, c) < \delta_c$ ならば$d_Y (f(x), f(c)) < \epsilon/2$が成立する．$\{B(c, \delta_c)\}_{c \in X}$は$X$を被覆するが，$X$はcompactだから，Lebesgue covering lemmaから，ある$\delta$があって，任意の$x \in X$に$c \in X$で$B(x, \delta) \subset B(c, \delta_c)$が成立する．
$x_1, x_2 \in X$で，$d_X (x_1, x_2) < \delta$ならば,$B(x_1, \delta) \subset B(c, \delta_c)$であり，$x_2 \in B(c, \delta_c)$.三角不等式から
$$d_Y(f(x_1, x_2)) \leq d_Y(f(x_1), f(c)) + d_Y(f(c), f(x_2)) < \epsilon$$