2017年6月23日金曜日

Basic Analysis (Jiri Lebl) 26日目 縮小写像と不動点定理

CC BY-NC-SA 3.0

Chapter 7. Metric Spaces

(X,d),(X,d)は距離空間とする.

7.6 Fixed point theorem and Picard’s theorem again

fixed point theorem(不動点定理)をcontraction mapping(縮小写像)の場合に証明する.

Definition

f:XXxXをfixed point(不動点)に持つ
x=f(x)

7.6.1 Fixed point theorem

Definition 7.6.1

f:XXcontraction(or contractive map)である
fk<1k-Lipschitz写像
k<1  s.t. d(f(x),f(y))kd(x,y)x,yX

Theorem 7.6.2 (Contraction mapping principle or Fixed point theorem)

(X,d)は空でない完備距離空間で,f:XXは縮小写像とする.このときfは不動点を唯一つ持つ.
proof.

x0Xとする.xn+1=f(xn)として無限点列{xn}n0が定まる.
 d(xn+1,xn)=d(f(xn),f(xn1))kd(xn,xn1)knd(x1,x0)


が必ず成立する.したがってm>nなら
d(xm,xn)m1i=nd(xi+1,xi)m1i=nkid(x1,x0)=knd(x1,x0)mn1i=0kiknd(x1,x0)i=0ki=knd(x1,x0)11k

故に,{xn}はCauchy列である.完備性から,{xn}xXに収束する.fはcontractionだからk-Lipschitzだから連続.連続性よりf(x)=f(limxn)=limf(xn)=limxn+1=xが成立し,xfの不動点.
さらに,x,yfの不動点であると仮定するとき,
d(f(x),f(y))=d(x,y)kd(x,y)が成立する.k<1から,d(x,y)=0.距離の公理から,x=y.一意性が示せた.

7.6.2 Picard’s theorem

この節では,距離空間はX=C([a,b],R), d(f,g)=supx|f(x)g(x)|の組を考える.この距離空間は完備である.
fixed point theoremを使って,古典的なPicard’s theoremを証明する.
dydx=F(x,y)


という微分方程式で,初期値x0,y0が与えられているとき,f(x0)=y0,f(x)=F(x,f(x))であるy=f(x)を考える.簡単のため,y=F(x,y)とか,y=y(x)とか書くことにする.Picard’s theoremは,Lipschitz連続性の過程のもとで,x0の近くで,述べたようなfが存在することを主張している.

Theorem 7.6.3 (Picard’s theorem on existence and uniqueness)

I,JRはcompact区間とする.I0,J0I,Jの内部として,(x0,y0)I0×J0F:I×JRが連続で,第二変数についてLipschitz連続である,すなわちLRがあって,
y,zJ,xI|F(x,y)f(x,z)|L|yz|


が成立する.
このとき,h>0と微分可能な,f:[x0h,x0+h]JRがあって,
f(x)=F(x,f(x)),f(x0)=y0

が成立する.

proof.

x0=0としてよい.I×Jはcompactで,Fは連続だから,Fは有界.|F(x,y)|MなるMがある.[α,α]I,[y0α,y0+α]Jなるαについて,
h:=min{α,αM+Lα}


とすると[h,h]Iであって
Y:={fC([h,h],R):f([h,h])J}

とすると,YC([h,h],R)は閉集合.
proof. (Exercise 7.6.1)

fnfが距離dで成立するなら,fnfに一様収束するということ.
一様収束する連続関数列は連続だから,fY. よって成立.

a,C([h,h],R)はcompleteだから,Yはcompact.
T:YC([h,h],R)
T(f)(x):=y0+x0F(t,f(t))dt


とする.f:[h,h]Jが連続なら,F(t,f(t))[h,h]tの関数として連続である.
proof. (Exercise 7.6.2)

x[h,h]とする. xnxなる{xn}[h,h]について,
|F(x,f(x))F(xn,f(xn))|L|f(x)f(xn)|0(fの連続性)


よって示せた.

fY,|x|hに,FMで抑えられるから,
|T(f)(x)y0|=|x0F(t,f(t))dt||x|MhMα


とすると, YC
したがってT(f)([h,h])[y0α,y0+α]J,T(f)Y.
よってTYからYへの写像と考えられる.
T:YYが縮小写像と示す.x[h,h]f,gYに,
|F(x,f(x))F(x,g(x))|L|f(x)g(x)|Ld(f,g)

ゆえに
|T(f)(x)T(g)(x)|=|x0F(t,f(t))F(t,g(t))dt||x|Ld(f,g)hLd(f,g)LαM+Lαd(f,g)

から,確かに縮小写像.
Theorem 7.6.2からT(f)=fなるfYがただ一つ存在し,
f(x)=y0+x0F(t,f(t))dt

微積分学の基本定理から,f=F(x,f(x))で,f(0)=y0である

7.6.3 Exercises

Exercise 7.6.4

F:RR,F(x)=kx+b,0<k<1とする.
a) Fは縮小写像であることを示せ
b) 不動点を見つけ,一意であることを示せ.
答案.

a)
x,yRに, |F(x)F(y)|=|k(xy)|=k|xy|. 0<k<1から,たしかに縮小写像.
b)
x0=0とし,xn+1=f(xn)によって{xn}を定める.その極限xとすると,x=b/(1k)である.
これが不動点であることは実際に関数に代入すれば示せる.また,yも不動点であるとすると,
x=kx+b,y=ky+bxy=k(xy),k0から,x=y.したがって不動点は一意である.

Exercise 7.6.10

f:XXは縮小写像で,(X,d)d(x,y)={1(xy)0(x=y) である距離空間とする.このときfは定数であることを示せ.
答案.

この距離関数のもとで{xn}Xが収束する あるNがあって,nNxn=xNX.したがってその極限はXの元であって,ゆえにこの距離空間は完備である.fは縮小写像だから,Theorem 7.6.2(fixed point theorem)から,fは不動点をただ一つもつ.
xXfの不動点とする.すなわちx=f(x).
fは縮小写像だから,yX{x}に,d(f(x),f(y))kd(x,y)k     (0<k<1)
が成立する.dは離散距離だから,xyならばd(f(x),f(y))=0すなわちf(x)=f(y)が成立する.
したがって確かにyXf(y)=x.すなわちfは定数.

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