CC BY-NC-SA 3.0
Chapter 7. Metric Spaces
(X,d),(X′,d′)は距離空間とする.
7.6 Fixed point theorem and Picard’s theorem again
fixed point theorem(不動点定理)をcontraction mapping(縮小写像)の場合に証明する.
Definition
f:X→Xがx∈Xをfixed point(不動点)に持つ
⇔ x=f(x)
7.6.1 Fixed point theorem
Definition 7.6.1
f:X→X′がcontraction(or contractive map)である
⇔fはk<1にk-Lipschitz写像
⇔∃k<1 s.t. d(f(x),f(y))≤kd(x,y)∀x,y∈X
Theorem 7.6.2 (Contraction mapping principle or Fixed point theorem)
(X,d)は空でない完備距離空間で,f:X→Xは縮小写像とする.このときfは不動点を唯一つ持つ.
proof.
x0∈Xとする.xn+1=f(xn)として無限点列{xn}n≥0が定まる.
d(xn+1,xn)=d(f(xn),f(xn−1))≤kd(xn,xn−1)≤⋯≤knd(x1,x0)
が必ず成立する.したがってm>nなら
d(xm,xn)≤m−1∑i=nd(xi+1,xi)≤m−1∑i=nkid(x1,x0)=knd(x1,x0)m−n−1∑i=0ki≦knd(x1,x0)∞∑i=0ki=knd(x1,x0)11−k
故に,{xn}はCauchy列である.完備性から,{xn}はx∈Xに収束する.fはcontractionだからk-Lipschitzだから連続.連続性よりf(x)=f(limxn)=limf(xn)=limxn+1=xが成立し,xはfの不動点.
さらに,x,yがfの不動点であると仮定するとき,
d(f(x),f(y))=d(x,y)≤kd(x,y)が成立する.k<1から,d(x,y)=0.距離の公理から,x=y.一意性が示せた.
7.6.2 Picard’s theorem
この節では,距離空間はX=C([a,b],R), d(f,g)=supx|f(x)−g(x)|の組を考える.この距離空間は完備である.
fixed point theoremを使って,古典的なPicard’s theoremを証明する.
dydx=F(x,y)
という微分方程式で,初期値x0,y0が与えられているとき,f(x0)=y0,f′(x)=F(x,f(x))であるy=f(x)を考える.簡単のため,y′=F(x,y)とか,y=y(x)とか書くことにする.Picard’s theoremは,Lipschitz連続性の過程のもとで,x0の近くで,述べたようなfが存在することを主張している.
Theorem 7.6.3 (Picard’s theorem on existence and uniqueness)
I,J⊂Rはcompact区間とする.I0,J0をI,Jの内部として,(x0,y0)∈I0×J0でF:I×J→Rが連続で,第二変数についてLipschitz連続である,すなわちL∈Rがあって,
∀y,z∈J,x∈I|F(x,y)−f(x,z)|≤L|y−z|
が成立する.
このとき,h>0と微分可能な,f:[x0−h,x0+h]→J⊂Rがあって,
f′(x)=F(x,f(x)),f(x0)=y0
が成立する.
proof.
x0=0としてよい.I×Jはcompactで,Fは連続だから,Fは有界.|F(x,y)|≤MなるMがある.[−α,α]⊂I,[y0−α,y0+α]⊂Jなるαについて,
h:=min{α,αM+Lα}
とすると[−h,h]⊂Iであって
Y:={f∈C([−h,h],R):f([−h,h])⊂J}
とすると,Y⊂C([−h,h],R)は閉集合.
proof. (Exercise 7.6.1)fn→fが距離dで成立するなら,fnはfに一様収束するということ.
一様収束する連続関数列は連続だから,f∈Y. よって成立.a,C([−h,h],R)はcompleteだから,Yはcompact.
T:Y→C([−h,h],R)を
T(f)(x):=y0+∫x0F(t,f(t))dt
とする.f:[−h,h]→Jが連続なら,F(t,f(t))も[−h,h]でtの関数として連続である.
proof. (Exercise 7.6.2)x∈[−h,h]とする. xn→xなる{xn}⊂[−h,h]について,
|F(x,f(x))−F(xn,f(xn))|≤L|f(x)−f(xn)|→0(fの連続性)
よって示せた.f∈Y,|x|≤hに,FはMで抑えられるから,
|T(f)(x)−y0|=|∫x0F(t,f(t))dt|≤|x|M≤hM≤α
とすると, Y⊂C
したがってT(f)([−h,h])⊂[y0−α,y0+α]⊂J,T(f)∈Y.
よってTはYからYへの写像と考えられる.
T:Y→Yが縮小写像と示す.x∈[−h,h]とf,g∈Yに,
|F(x,f(x))−F(x,g(x))|≤L|f(x)−g(x)|≤Ld(f,g)
ゆえに
|T(f)(x)−T(g)(x)|=|∫x0F(t,f(t))−F(t,g(t))dt|≤|x|Ld(f,g)≤hLd(f,g)≤LαM+Lαd(f,g)
から,確かに縮小写像.
Theorem 7.6.2からT(f)=fなるf∈Yがただ一つ存在し,
f(x)=y0+∫x0F(t,f(t))dt
微積分学の基本定理から,f′=F(x,f(x))で,f(0)=y0である
7.6.3 Exercises
Exercise 7.6.4
F:R→R,F(x)=kx+b,0<k<1とする.
a) Fは縮小写像であることを示せ
b) 不動点を見つけ,一意であることを示せ.
答案.
a)
x,y∈Rに, |F(x)−F(y)|=|k(x−y)|=k|x−y|. 0<k<1から,たしかに縮小写像.
b)
x0=0とし,xn+1=f(xn)によって{xn}を定める.その極限xとすると,x=b/(1−k)である.
これが不動点であることは実際に関数に代入すれば示せる.また,yも不動点であるとすると,
x=kx+b,y=ky+b⇒x−y=k(x−y),k≠0から,x=y.したがって不動点は一意である.
Exercise 7.6.10
f:X→Xは縮小写像で,(X,d)はd(x,y)={1(x≠y)0(x=y) である距離空間とする.このときfは定数であることを示せ.
答案.
この距離関数のもとで{xn}⊂Xが収束する⇔ あるNがあって,n≥N⇒xn=xN∈X.したがってその極限はXの元であって,ゆえにこの距離空間は完備である.fは縮小写像だから,Theorem 7.6.2(fixed point theorem)から,fは不動点をただ一つもつ.
x∈Xをfの不動点とする.すなわちx=f(x).
fは縮小写像だから,y∈X∖{x}に,d(f(x),f(y))≤kd(x,y)≤k (0<k<1)
が成立する.dは離散距離だから,x≠yならばd(f(x),f(y))=0すなわちf(x)=f(y)が成立する.
したがって確かに∀y∈Xf(y)=x.すなわちfは定数.
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