Basic Analysis (Jiri Lebl) 23日目 距離空間上の点列の極限

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7.3 Sequences and convergence

$(X, d)$は距離空間とする.

7.3.1 Sequences

Definition 7.3.1

$(X,d)$上の点列とは$x: \mathbb{N} \rightarrow X$という写像.$x(n)$を$x_n$と書く.また$x$を$\{x_n\}_{=1}^\infty$とも書く.
$\{x_n\}$が有界である
$\Leftrightarrow \ \exists p \in X, B \in \mathbb{R} \text{ s.t.} \forall n \in \mathbb{N} \ d(p, x_n ) \leq B$
部分列は数列の部分列と同じように定義する.

点列の収束は数列の収束の一般化で,数列の場合は絶対値を距離としたのを,その距離空間での距離に置き換えただけで,したがって殆どの数列の収束に関する定理は点列の場合でも成立する.

7.3.2 Convergence in Euclidean space

この節では,距離はすべてユークリッド距離とする.

Proposition 7.3.7

$\{x_j\}\subset \mathbb{R}^n$について,$x_j=(x_{j,1}, ...,x_{j,n})$と書くと,
$\{x_j\}$が収束する$\Leftrightarrow$ 任意の$k$に $\{x_{j,k}\}_j$が収束する.

proof.

$(\Rightarrow)$
$x_j \rightarrow y=(y_1, ..,y_n)$とする.任意の$\epsilon > 0$に$j\geq M \Rightarrow d(y,x_j)<\epsilon$なる$M$が存在する.
ある$k$を固定すると,$j \geq M \Rightarrow$
$$|y_k -x_{j,k}| = \sqrt{(y_k -x_{j,k})^2} \leq \sqrt{\sum_l (y_l-x_{j,l})^2} = d(y,d_j)<\epsilon$$
が成立するから,$\{x_{j,k}\}_j$は$y_k$に収束する.
($\Leftarrow$)
任意の$\epsilon$に,$j \geq M_k \Rightarrow |x_{j,k}- y_k| < \epsilon/\sqrt{n}$なる$M_k$が存在する.
$\infty > M :=\max \{M_k\}$が存在して,$j \geq M \Rightarrow d(x_j,y)=\sqrt{\sum_k |x_{j,k}-y_k|^2} < n \frac{\epsilon}{n} = \epsilon$から,たしかに$x_j \rightarrow y$.

7.3.3 Convergencec and topology

Proposition 7.3.8

$\{x_n\} \subset X$とする.$x_n \rightarrow x \in X$
$\Leftrightarrow$ $x$の任意の開近傍$U$について,$n\geq M$ならば$x_n \in U$なる$M$がある.
proof. 略

Proposition 7.3.9

$E \subset X$は閉集合で,$\{x_n\}\subset E$が$x \in X$に収束するなら$x \in E$.
proof. 略

Proposition 7.3.10

$A \subset X$で, $x \in \overline{A}$
$\Leftrightarrow x_n \rightarrow x$なる$\{x_n\} \subset A$が存在する.
proof.

$(\Leftarrow)$
$A \subset \overline{A}$とProp. 7.3.9から成立
$(\Rightarrow)$
Prop. 7.2.20から,$x_n \in B(x, 1/n) \cap A$が存在する.$\{x_n\}$の極限は$x$である.