Basic Analysis (Jiri Lebl) 24日目 completeとcompact

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7.4 Completeness nad compactness

$(X, d)$は距離空間とする．

7.4.1 Cauchy sequences and completeness

Definition 7.4.1

$\{x_n\} \subset X$がCauchy列である
$\Leftrightarrow [\forall \epsilon \ \ \exists N \ \ \text{s.t. } m, n \geq N \Rightarrow |x_m - x_n | < \epsilon]$

Proposition 7.4.2

距離空間の収束列はCauchy列である．
proof.

$\{x_n\}$が$x \in$に収束するなら，点列の収束の定義から

$$|x_m - x_n| \leq |x_m - x| + |x_n - x| < 2\epsilon$$
を満たす$N$が存在する．

Definition 7.4.3

$(X, d)$がComplete(完備)である
$\Leftrightarrow$ $X$の任意のCauchy列が$X$の点に収束する．

Proposition 7.4.4

$\mathbb{R}^n$にユークリッド距離を入れた距離空間は完備である．
proof. 略

7.4.2 Completeness

Definition 7.4.5

$K \subset X$について,$K$がcompact(コンパクト)である
$\Leftrightarrow K \subset \cup_{\Lambda} U_\lambda$をみたす開集合族があるとき，有限個を取り出して$K \subset \cup_{1 \leq k \leq N} U_k$となるようにできる．

Proposition 7.4.6

$K \subset X$がコンパクトであるとき，$K$は有界かつ閉集合である．
proof. 略

Lemma 7.4.7 (Lebesgue covering lemma)

$K \subset X$とする．$K$の任意の点列が$K$の点に収束する部分列を持つとする．$\{U_\lambda\}_\Lambda$が$K$のopen coverとすると，任意の$x \in K$に，$B(x, \delta) \subset U_\lambda$となる$\lambda$を選べるような$\delta$が存在する．
proof.

対偶によって示す．どの$\lambda \in \Lambda$をとっても，任意の$n \in \mathbb{N}$で$B(x_n, 1/n) \subset U_\lambda$をみたさないように$\{x_n\} \subset K$を選べると仮定する．
どの$x \in K$にも，$x \in U_\lambda$となるような$\lambda$は存在する．よって$B(x, \epsilon) \subset U_\lambda$なる$\epsilon$がある．$1/M < \epsilon/2$をみたす$M$をとる．$y \in B(x, \epsilon/2)$かつ$n \geq M$ならば

$$B(y, 1/n)\subset B(y, 1/M) \subset B(y, \epsilon/2) \subset B(x, \epsilon) \subset U_\lambda$$
が成立．すなわち$n \geq M \Rightarrow x_n \notin B(x, \epsilon/2)$. よって$\{x_n\}$は収束する部分列を持ち得ない．

Theorem 7.4.8

$K \subset X$がcompact $\Leftrightarrow$ $K$の任意の点列が$K$の点に収束する部分列を持つ．
proof.

$(\Rightarrow)$
対偶法を用いる．
$\{x_n\} \subset K \subset X$とする．$\forall x \in K$で，たかだか有限個の$n$に$x_n \in B(x, \alpha_x)$が成立するような$\alpha_x$が存在すると仮定する．このとき

$$K \subset \cup _{x \in K} B(x, \alpha_x)$$
が成立する．つまり$\cup B(x, \alpha_x)$は$K$のopen coverである．
$B(x, \alpha_x)_K$から有限個を取り出すと，その和集合は有限集合となって，$K$を被覆できない．これは矛盾．

$(\Leftarrow)$
仮定のもとで，open cover $\{U_\lambda\}_\Lambda$をとる．Lemma 7.4.7から，任意の$x \in K$に$B(x, \delta) \subset U_\lambda$となる$\lambda$を選べる$\delta$が存在する．
$x_1 \in K$と，$B(x_1, \delta) \subset U_{\lambda_1}$をみたす$\lambda_1$をとる．$K \subset U_{\lambda_1}$であれば，有限な被覆をみつけたことになる．そうでないとき，$x_2 \in K \backslash U_{\lambda_1}$があって，$B(x_2, \delta) \subset U_{\lambda_2}$をみたす$\lambda_2$があって，$d(x_1, x_2) > \delta$である．これを無限回繰り返せるとき，無限列$\{x_n\}$が得られる．
$\{x_n\}$は，$n \neq k \Rightarrow d(x_n, d_k) > \delta$が成り立つから，Cauchy列でない．したがって$K$はcompactでない．

Proposition 7.4.10

$K \subset X$がcompactで$E \subset K$が閉集合なら$E$はcompact.
proof. 略

Theorem 7.4.11 (Heine-Borel)

$K\subset \mathbb{R}^n$が有界かつ閉集合なら$K$はcompact
proof. 略