OpenStax Calculus 01日目

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Volume 2. Chapter 4. Introduction to differential equations

4.1 Basics of Differentail Equations

General Differential Equations

未知の$y = f(x)$があって,その微分と$x$の方程式$F(x, y^{(1)}, y^{(2)}, ...,y^{(n)})=0$という方程式が与えられたとき,これをdifferential equation(微分方程式)という.$y=f(x)$をその微分方程式の解という.

Example 4.1

$y = e^{-3x}+2x+3$は$y'+3y = 6x +11$の解である.

Definition

微分方程式$F(x, y^{(1)}, y^{(2)}, ...)=0$があるとき,$y^{(N)} \nequiv 0$ $n > N$ ならば$y^{(n)} \equiv 0$であるとき,$N$をこの微分方程式のorder(階数)という.

General and Particular Solutions

$y=f(x)$がある微分方程式の解であるとき,$y=f(x)+C, C \in \mathbb{R}$としても,もとの微分方程式は成立する.このように,$y = f(x, c_1, c_2, ...)$がそれぞれの$c_i$にどんな値を取らせてももとの微分方程式の解となり,微分方程式の解が常に$f$に適当な$c_i$たちを代入すれば表現できるとき,$f$をもとの微分方程式のgeneral solution(一般解)という.

Initial-Value Problems

$N$階微分方程式は一般に無限個の解をもつが,$N$個以上の初期値が与えられると,その解はただ一つに定まる.定まった解をparticular solution(特殊解)という.微分方程式と初期値が与えられたとき特殊解を求める問題をinitial-value problem(初期値問題)という.

Example 4.5

$$y' = 3e^x + x^2 - 4, y(0) = 5$$
を解く.
$$\int 3e^x + x^2 - 4 = 3e^x + x^3/ 3-4x + C$$
右辺に$x=0$を代入すると$5$に等しくなるから,$3 + C = 5$.すなわち$C=2$
以上より解は$y = 3e^x + x^3/3 - 4x + 2$

4.2 Direction Fields and Numerical Methods

Creating Direction Fields

$y'=f(x, y)$の解の振る舞いを図示するため,$xy$平面上のあらゆる点(現実的には適当に等間隔においた点)における$f(x, y)$の値を,その点を始点とした矢印の傾きとして,平面を矢印でうめつくしたものをdirection field(方向場)という.方向場の矢印に沿った滑らかな曲線は無限に存在して,その曲線のそれぞれが$y'=f(x, y)$の解である.

Definition

$y'=f(x, y)$の解で,$y=k \text{ (constant)}$と書けるものをequilibrium solution(平衡解)という.
$y= k$なら$y'=0$であり,$0=f(x, k)$を解けば平衡解が得られる.
さらに,平衡解は$y=k$という直線にどう近づいていくかによって,いくつかに分類できる.

Definition

$y' = f(x, y) , x \geq x_0$という微分方程式に$y = k$という平衡解があるとすと,
1. $\epsilon >0$があって, 任意の$c \in (k-\epsilon, k+\epsilon)$で,初期値問題
$y'=f(x, y), y(x_0)=c$の解が$x \rightarrow \infty$で$k$に収束するとき,$y=k$は
asymtotically stable solutionであるという.
2. 上の初期値問題で,解が$x \rightarrow \infty$で$y=k$に収束しないとき,$y=k$は
asymptotically unstable solutionという.
3. 上のどちらでもないとき,$y=k$はasymptotically semi-stable solutionであるという.

Example 4.8 Stability of an Equilibriumm solution

$$y' = (y-3)^2(y^2+y-2)$$
として,平衡解を見出して分類せよ.
Solution.

方向場はfig. 4.12
平衡解は$y=-2, y=1, y=3$とわかる.$y=-2$という直線の上下で矢印は$y=-2$の方向を向いているから,$y=-2$はasymptotically stable solution. $y=1$という直線の下で,矢印は$y=1$から離れる方向を向いているから,asymptotically unstable. $y=3$という直線の上で矢印は$y=3$から離れる方向を向いていて,下で$y=3$に向かう方向を向いているから,asymptotically semi-stable solutionである.

Euler’s Method

Theorem 4.1 Euler’s Method

$$y'=f(x, y), y(x_0) = y_0$$
という初期値問題で,十分小さい$h$を固定して
$$\begin{aligned} x_n &=x_0 + nh \\ y_n &= y_{n-1} + hf(x_{n-1}, y_{n-1}) \end{aligned}$$
によって離散的な近似解を得る方法をEuler’s methodという.

4.3 Separable Equations

$$y' = f(x)g(y)$$
と書けるような常微分方程式をSeparable Equationという.Separable equationは簡単に解ける.

Problem-Solving Strategy: Separation of Variables

1. $g(y)=0$となる$y$があるとき,その$y$は定数解である.
2. $g(y) \neq 0$である$y$について,
   $$\frac{dy}{g(y)} = f(x) dx$$
   と書ける.
3. 両辺を積分する.
4. 可能なら,積分でできた等式を$y$で解く.
5. 初期値が定められているなら,その初期値を満たすように積分定数を調整する.

Example 4.11

$$y'=(2x+3)(y^2-4), y(0)=-3$$
を解く.
1. $y^2-4 = 0 \Leftrightarrow y \pm 2$ これは$y(0)=-3$を満たさないので,解でない.
2. $$\frac{dy}{y^2-4} = (2x + 3)dx$$
3. 両辺を積分して,
$$\frac{1}{4}(\log |y-2| - \log |y+2|) = x^2 + 3x + C$$
4. 整理して,
$$\left| \frac{y-2}{y+2}\right| = C e^{4x^2 + 12x}$$
さらに$y$について解くことは出来るが,だいたいここまで書けば十分.初期値問題の場合もこの式に初期値を入れたほうが見通しがいい.
5. $y(0)=-3$を代入して,
$$C= 5$$