Linear Algebra (D. Cherney et al.) 8日目

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Chapter 8. Determinants

8.1 The Determinant Formula

8.1.2 Pemutations (置換)

$(1, ..., n)$のような順序を考える集合の並び替えをpermutation(置換)という.ある置換は,全単射な写像$\sigma: \{1,...,n\}\rightarrow \{1,...,n\}$であると考えることが出来る.
$$\sigma = [\sigma(1), ..., \sigma(n)]$$
と書き下すことが出来る.置換には以下の重要な性質がある.
1. 要素数$n$の集合の置換は$n!$個ある.
2. 任意の置換は,2つの要素の順番を交換する置換(特に互換という)の有限個の適用によって表現できる.
3. 任意の置換$\sigma$について,$\sigma$を表現する互換の個数は常に偶数か奇数で,偶数であるとき$\sigma$を偶置換,奇数であるとき奇置換という.

Definition the sign function

置換$\sigma$に,その偶奇性を返す関数を符号関数といい
$$\text{sgn}(\sigma) = \begin{cases} 1 \ \ & \sigma \text{が遇置換} \\ -1 \ \ & \sigma \text{が奇置換} \end{cases}$$
で定める.

Definition the determinant (行列式)

$M \in M(n,n)$のdeterminant(行列式)を,
$$\det M = |M| := \sum_{\sigma \in \Sigma} \text{sgn}(\sigma) m_{1 \ {\sigma(1)}} m_{2\ \sigma(2)} \cdots m_{n\ \sigma(n)}$$
と定める.ただし,$\Sigma$は$(1, ..., n)$の置換の集合とする.

Theorem 8.1.1

$M$が,すべての要素が$0$である行を一つ以上持つとき,$\det M =0$.

Swapping rows

行基本変形によって行列式がどうなるか調べる.
行列$M$の行$i, j$を交換した行列を$M'$とする.ある置換$\sigma$について,$\sigma(i)$と$\sigma(j)$を交換した置換$\hat{\sigma}$を考えると,あきらかに
$$\text{sgn}(\hat{\sigma}) = - \text{sgn} (\sigma)$$
したがって,$i < j$とすると,
$$\begin{aligned} \det M' &= \sum_{\sigma} \text{sgn}(\sigma) m_{1\ \sigma(1)} \cdots m_{j \sigma(i)} \cdots m_{i \ \sigma(j)} \cdots m_{n \ \sigma(n)} \\ &= \sum_{\sigma} \text{sgn}(\sigma) m_{1\ \sigma(1)} \cdots m_{i \sigma(j)} \cdots m_{j \ \sigma(i)} \cdots m_{n \ \sigma(n)} \\ &= \sum_{\sigma} -\text{sgn}(\hat{\sigma}) m_{1\ \sigma(1)} \cdots m_{j \hat{\sigma}(i)} \cdots m_{i \ \hat{\sigma}(j)} \cdots m_{n \ \sigma(n)} \\&= -\sum_{\hat{\sigma}} \text{sgn}(\hat{\sigma}) m_{1\ \hat{\sigma}(1)} \cdots m_{j \hat{\sigma}(i)} \cdots m_{i \ \hat{\sigma}(j)} \cdots m_{n \ \hat{\sigma}(n)} \\ &= -\det M\end{aligned}$$
よって,行の交換によって,行列式は符号のみ変化する.

corollary

$M$が２つ以上同じ行を持つとき,その２つを選んで交換した行列を$M'$とすると,
$\det M = -\det M = \det M \Rightarrow \det M = 0$

8.2 Elementary Matrices and Determinants

8.2.2 Row Multiplication

$M$のある行を$\lambda$倍した行列を$M'$とすると,$\det M' = \lambda \det M$

8.2.3

$M$のある行の$\mu$倍を他の行に加えた行列を$M'$とすると,$\det M' = \det M$

8.2.4 Determinant of Products

行列に左からかけて基本変形を行う行列
1. $E^i_j$: $i$行目と$j$行目を交換する
2. $R^i(\lambda)$ : $i$行目を$\lambda$倍する
3. $S^i_j(\mu)$: $i$行目を$\mu$倍して$j$行目に加える

について,$\det E^i_j = -1, \det R^i(\lambda) = \lambda, \det S^i_j(\mu) = 1$が成立する.
行列$M$の被約階段行列に変形できるとき,それを$\text{RREF}(M)$と書く.$M$が上の基本変形行列を左からけけて$\text{RREF}(M)$にできるとき,つまり$\text{RREF}(M)=E_1 E_2 \cdots E_k M$とできるとき,
1. $M$が可逆でないとき,$\text{RREF}(M)$にはすべての要素が$0$である行が存在するので,$\det \text{RREF}(M)=0$.
2. $M$が可逆であるとき,$\text{RREF}(M)$は単位行列で,$\det \text{RREF}(M)=1$.
行列の積の行列式はそれぞれの行列の行列式の積だから,

Theorem 8.2.2

$\det M = 0 \Leftrightarrow$ $M$は可逆でない