MIT OCW, Fundamentals of Probability 21日目 確率過程II

David Gamarnik, and John Tsitsiklis. 6.436J Fundamentals of Probability. Fall 2008. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA.

Lecture 21. The Poisson Process Continued

1. Memorylessness in The Poisson Process

Poisson processはBernoulli processの連続時間版で,Bernoulli processのmemorylessnessを受け継いでいる. 特にPoisson processがあって,ある固定した$t^*$や,未来を見ずに決めた$t=S$に観測を始めると,観測しているprocessはPoisson processである. より形式的な性質を証明無しで挙げるが,それらの性質は今後よく使うことにする.
まず,連続時間におけるstopping timeを導入する.

Definition 21-1

random variable $S\geq 0$が stopping timeである
$\Leftrightarrow$ 任意の$s \geq 0$について, $\{S \leq s\}$というeventが起こるか否かが,あるrandom variable $N(t)$の,$t \leq s$における現れに寄ってのみ決まる.

より形式的に・・・

任意の$s\geq 0$について,$\mathcal{F}_s=\sigma(\cup_{t \in [0, s], k \in \{0, 1, ...\}}\{N(t)=k\})$によって$\sigma$-algebra $\mathcal{F}_s$を定義して,$\{S\leq s\} \in \mathcal{F}_s$であるとき,$S$はstopping timeである.

Example

first arrival $T_1$は,$\{T_1 \leq s\}$が$\{N(s) \geq 1\}$と同じことであり,後者は$N(s)$の現れによって決まるから,$T_1$はstopping timeである.

stopping time $S$から観測を始めたarrival process $\{M(t)\}$を,$M(t) = N(S+t)-N(S)$と定める.このとき$\{M(t)\}$はパラメータ$\lambda$をもとのprocessから受け継ぐPoisson processである. さらに,$\{M(t)|t \geq 0\}$ (すなわち$S$以降の未来)は$\{N(\min\{t, S\})|t\geq 0\}$ (すなわち$S$の過去)と独立である.