Basic Analysis (Jiri Lebl) 31日目

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8.3 The derivative

この節で,$U$は$U\subset \mathbb{R}^n$で，開集合とする．

8.3.1 The derivative

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$において，

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
が存在するとき，それを$f$の$x$における微分係数というのだった．微分係数$a$が存在すると仮定すると，
$$\lim \left| \frac{f(x+h)-f(x)}{h} - a\right| = \lim \frac{|f(x+h)-f(x)-ah|}{|h|} = 0$$
が成立する．$a \in L(\mathbb{R}^1, \mathbb{R}^1)$であることに着目すると，$a$は$x$の近くで$f$を近似する線形作用素と言える．この考えを多次元の場合に拡張する．

Definition 8.3.1

$f: U \rightarrow \mathbb{R}^m$とする．
$f$が$x \in U$でdifferentiable(微分可能)

$$\Leftrightarrow \exists A \in L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m) \text{ s.t. } \lim_{h \rightarrow 0, h \in \mathbb{R}^n} \frac{||f(x+h)-f(x)-Ah||}{||h||} = 0$$
$Df(x) := A$とか，$f'(x)=A$と書き，$A$を$f$の$x$におけるderivativeという(訳語は色々あるが，微分係数か，単に微分と呼ぶことにする).$f$が$\forall x \in U$で微分可能なとき，単に$f$は$U$で微分可能であるという．

$f \mapsto f'$とする操作を微分するという．$A$が存在するならそれは一意(Prop 8.3.2)だから，
$f': U \rightarrow L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$は関数と考えることができて，$f$の導関数と呼ぶ．

Proposition 8.3.2.

$f: U \rightarrow \mathbb{R}^m$について，$x \in U$で，$A, B$がともに$f$の$x$における微分係数なら，$A=B$である．
proof.

$$\begin{aligned} \frac{||(A-B)h||}{||h||} &= \frac{||f(x+h)-f(x)-Ah - (f(x+h) - f(x) -Bh)}{||h||} \\ &\leq \frac{||f(x+h)-f(x)-Ah||}{||h||} + \frac{||f(x+h)-f(x)-Bh||}{||h||} \rightarrow 0\end{aligned}$$
ここで，$y = h /||h||$とすると$||y||=1$であり，，最左辺は,$||(A-B)y||$と書ける．
$(A-B)$の作用素ノルムが$0$だから，$A-B=0$,したがって$A=B$.

Proposition 8.3.5.

$f: U \rightarrow \mathbb{R}^m$が$p \in U$で微分可能なら，$f$は$p$で連続である．
proof.

略

Theorem 8.3.6 (Chain rule)

$V \subset \mathbb{R}^m$, open. $f: U \rightarrow \mathbb{R}^m, g: V \rightarrow \mathbb{R}^m$であって，
$f$は$p$で，$g$は$f(p)$で微分可能で，それぞれの微分係数を$A, B$とするとき，
$f \circ g$は$p$で微分可能で，その微分係数は$B \circ A$である．
proof. 略

8.3.2 Partial derivatives

Definition 8.3.7

$f: U \rightarrow \mathbb{R}$について，

$$\frac{\partial f}{\partial x_j} (x) := \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_1, ..., x_{j-1}, x_j + h, x_{j+1}, ..., x_n) - f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+he_j) - f(x)}{h}$$
が存在するとき，$\frac{\partial f}{\partial x_j}(x)$を$f$の$x$における$x_j$に対するpartial derivative(偏微分係数)という．
$f: U \rightarrow \mathbb{R}^m$であるとき，$f_k$の$x$における$x_j$に対する微分係数を$\frac{\partial f_k}{\partial x_j}$と書く．

Proposition 8.3.8

$f: U \rightarrow \mathbb{R}^m$が$p \in U$で微分可能であるとき，
$f'(p) \in L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$であるが，これを$\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m$の標準基底を使って表現するとき，

$$f'(p) = \left[\begin{array}{} \frac{\partial f_1}{\partial x_]}(p) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(p) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(p) \\ \frac{\partial f_2}{x_1}(p) & \cdots \\ \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(p) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(p) &\cdots &\frac{\partial f_m}{\partial x_n}(p) \end{array} \right]$$
と書ける. これは
$$f'(p)e_j = \sum_{k=1}^m \frac{\partial f_k}{\partial x_j} (p) e_k$$
ということでもある．
$v = \sum_{j=1}^n c_je_j = (c_1, c_2, ..., c_n)$であるとき，
$$f'(p)v = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^m c_j \frac{\partial f_k}{\partial x_j}(p)e_k = \sum_{k=1}^m \left( \sum_{j=1}^n c_j \frac{\partial f_k}{\partial x_j}(p) \right)e_k$$
である．
proof.

$j$を固定する．

$$\left\| \frac{f(p+he_j) - f(p) }{h} - f'(p)e_j \right\| = \frac{||f(p+he_j) - f(p) - f'(p)he_j||}{||he_j||}$$
$h \rightarrow 0$において，微分可能性より右辺は$0$に近づく．よって
$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(p+he_j) - f(p)}{h} = f'(p)e_j$$
が成立する．$f = (f_1, ..., f_m)$と書くとすると，
$$\frac{\partial f_k}{\partial x_j} (p) = \lim \frac{f_k(p+he_j) - f_k(p)}{h}$$
が存在して，$f'(p)e_j$に等しい．

一方で，それぞれの偏微分係数が存在しても，$f$が微分可能であるとは限らない．

8.3.3 Gradient and directional derivatives

$f: U \rightarrow \mathbb{R}$が微分可能とする．$f$のgradient(勾配)を

$$\nabla f(x) := \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j}(x) e_j= \left[ \frac{\partial f}{\partial x_1}(x), ..., \frac{\partial f}{\partial x_n} \right]^T$$
と定める.$\nabla$はナブラと読む．
$f'(x)v = \nabla f(x) \cdot v$が成立する．(行列$\times$ベクトルとベクトル$\times$ベクトル)
$\gamma:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}^n$が微分可能で$\gamma((a, b)) \subset U$であるとき，このような関数とその像をcurve(曲線)という．$\gamma = (\gamma_1, ..., \gamma_n)$とすると，
$g(t) := f(\gamma(t))$が定義できて，$g$は微分可能である．
$$g'(t) = \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j} \frac{d \gamma_j}{dt} = \nabla f\cdot \gamma'$$
が成立する．

$x \in U$にある点が速度$t$でベクトル$u$方向に移動しているとき，$f(u)$の変化率を考える．
$\gamma(t) = x + tu$とすると，これはその点の軌跡を表す曲線であって，$\gamma(0)=x$である．
$\gamma'(t) = u$であって，そのchain ruleから

$$\frac{d}{dt} |_{t=0} [f(x+tu)] = (\nabla f)(x) \cdot u = \lim_h \frac{f(x+hu)-f(x)}{h}$$
が成立する．最左辺を$D_u f(x)$と書くことにする．
$(\nabla f) (x) \neq 0$とすると，Cauchy-Schwartzの不等式から
$$|D_u f(x) | \leq \| ( \nabla f) (x) \|$$
統合は$u$が$(\nabla f) (x)$の定数倍である時成立し，
$$u = \frac{(\nabla f) (x)}{\| (\nabla f) (x) \|}$$
である．このように，gradientはある関数が最も早く増大するような方向を向いている．

8.3.4 The Jacobian

Definition 8.3.9

$f: U \rightarrow \mathbb{R}^n$が微分可能であるとする．このとき，$f$のJacobian(ヤコビアン)を，

$$J_f (x) := \det (f'(x))$$
と定める．Jaobianは
$$\frac{\partial (f_1, ..., f_n)}{\partial (x_1, ..., x_n)}$$
と書かれることがある．行列式が幾何学的に面積や体積を表すのと同様に，Jacobianは写像が$\mathbb{R}^n$の元を$\mathbb{R}^n$に写すとき，もとの元に比べて像はどれほど引き伸ばされたり，押しつぶされているかの指標になる．