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8.2 Analysis with vector spaces
8.2.1 Norms
Chapter 7では距離空間について論じた．距離空間を導く概念にnorm(ノルム)がある．集合にnormを定めると，そのnormから距離関数を導ける．
Definition 8.2.1
Xをベクトル空間とする．||⋅||:X→Rが次の(i)~(iii)を満たすとき，それをノルムという．
(i) ||x||≥0が常に成立し，特にx=0⇔||x||=0
(ii) c∈R,x∈Xとして，||cx||=|c|||x||
(iii) ∀x,y∈X,||x+y||≤||x||+||y||
Rnにおける標準ノルムを定める前に，標準ドット積を定める．
x=(x1,...,xn),y=(y1,..,yn)∈Rnについて，
x⋅y:=n∑j=1xjyj
を標準ドット積という．標準ドット積の一般化が内積である．標準ドット積をRnにおける標準内積とも呼ぶ．Euclidean normを,
||x||:=||x||Rn:=√x⋅x=√(x1)2+⋯+(xn)2
と定める．Rnには様々なノルムが定義できるが，単にノルムというとこれのことを指す．
これがノルムの条件を満たすことを示す．(i),(ii)は明らかで，(iii)は前章で示したが，重要なのでもう一度証明することにする．
Theorem 8.2.2 (Cauchy-Schwartz inequality)
x,y∈Rnについて，
|x⋅y|≤||x||||y||=√x⋅x√y⋅y
が成立．
proof.
x,yの少なくとも一方が0なら明らか．x≠0,y≠0とする．
y=λxと書けるとき，|λy⋅y|=|λ|||y||2=||λy||||y||.そうでない場合，
||x+ty||2=||x||2+2t(x⋅y)+t2||y||2
は常に正になるから，この方程式は実数根を持たない．ゆえにtに関して解の公式を使って，
(x⋅y)2−||x||2||y||2<0
が成立する．根をとれば，Cauchy-Scwartzの不等式になる． 以上より示せた．
さて，||x+y||≤||x||+||y||を示す．両辺を二乗し，
||x||2+||y||2+2(x⋅y)≤||x||2+||y||2+2||x||||y||
を言えばよい．整理すれば直ちにCauchy-Scwartzの不等式と同値になる．
Definition
d(x,y)=||x−y||
はRnにおける標準距離関数である．
一般に，ベクトル空間Xとノルム||⋅||があるとき，x,y∈Xの差d:(x,y)↦||x−y||はとして関数dを定めるとdはX上の距離関数となる
Definition 8.2.3
A∈L(X,Y)とする．
||A||:=sup{||Ax||:x∈X,||x||=1}
この演算子をのoperator norm(作用素ノルム)という．||⋅||L(X,Y)とも書く．
||Ax||x||||L(X,Y)=||Ax||L(X,Y)||x||だから，
||A||L(X,Y)=supx≠0||Ax||||x||
である．したがって
||Ax||≤||A||L(X,Y)||x||
が成立する．また，||A||=0⇔∀xAx=0である．
今はベクトル空間が有限次元であるときのみ考えるが，無限次元ではかなり話が違ってくるので注意する．
Proposition 8.2.4
X,Y: 有限次元ベクトル空間とする．
A∈L(X,Y)とすると，||A||<∞であり，かあつAは||A||をLipschitz定数としてLipschits連続(⇒一様連続)である．
proof.
X=Rn,Y=Rmで，ノルムは標準ノルムとする．
L={e1,...,en}をXの標準基底とし，x∈Rn,||x||=1をx=∑jcjejと書ける．
cj=x⋅ejであって， |cj|=|x⋅ej|≤||x||||ej||=1が成立する．よって
||Ax||=‖∑jcjAej‖≤∑j|cj|‖Aej‖≤∑j‖Aej‖<∞
が三角不等式とSchwartzの不等式より成立する．さらに，A∈L(X,Y)について，||A||<∞とすると，v,w∈Xに
‖A(v−w)‖≤‖A‖‖v−w‖
すなわちAは||A||をLipschitz定数としてLipschitz連続である．
Proposition 8.2.5
X,Y,Zをノルムを入れた有限次元ベクトル空間とする．
(i) A,B∈L(X,Y),c∈Rとすと，
||A+B||≤||A||+||B||,||cA||=|c|||A||
(ii) A∈L(X,Y),B∈L(Y,Z)とすると，
||BA||≤||B|||||A||
proof.
(i)
||(A+B)x||=||Ax+Bx||≤||Ax||+||Bx||≤||A||||x||+||B||||x||=(||A||+||B||)||x||
よって||A+B||≤||A||+||B||. 後半もほとんど同様．(ii)
||BAx||≤||B|||||Ax||≤||B|||||A||||x||
よって成立．
Proposition 8.2.6
Xを有限次元なベクトル空間とする．U⊂L(X)を可逆な作用素の集合とする．
(i) A∈U,B∈L(X)で，||A−B||<1/||A−1||ならばBは可逆である.
(ii) Uは開集合で，A↦A−1はU上の連続関数である
proof.
(i)
A,A−1は線形だから，
A−1(A−B)x=x−A−1Bx
故に
||x||=‖A−1(A−B)x+A−1Bx‖≤‖A−1‖‖A−B‖‖x‖+‖A−1‖‖Bx‖
x≠0であれば‖x‖≠0であり，仮定より
||x||<||x||+||A−1||||Bx||が成立する．||A1−||≠0から任意のx≠0に||Bx||≠0である．すなわちBは単車であり，B:X→Xが単車で，Xhは有限次元だから，Bは全単射．よって可逆．
(ii)
A∈Uを固定する．BはAに近く可逆とする．つまり，‖A−B‖‖A−1‖<1/2であるとする．このときy=Bxとすると
‖B−1y‖≤2‖A−1‖‖y‖
が成立する．したがって，||B−1||≤2||A−1||である．
||B−1−A−1||=||A−1(A−B)B−1||≤||A−1||||A−B||||B−1||≤2||A−1||2||A−B||
が成立するから，B→Aによって||B−1−A−1||→0.たしかに逆関数をとる操作は連続である．
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