Basic Analysis (Jiri Lebl) 30日目

CC BY-NC-SA 3.0

8.2.2 Matrices

有限次元ベクトル空間$X, Y$があって，それぞれの基底を$\{x_1, ...,x_n\}, \{y_1, ..., y_m\}$とする．$A \in L(X, Y)$を行列によって表現する．
$A$は$X$の基底に対する像によって決まるから，
$$Ax_j = \sum_{i=1}^m a_{i\ j} y_i$$
が成立するように$\{a_{i \ j}\}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$を定めると，
$$A = \left[\begin{array}{} a_{1\ 1}& \cdots& a_{1 \ n} \\ a_{2\ 1} &\cdots & a_{2\ n} \\ \vdots \\ a_{m \ 1} & \cdots & a_{m\ n} \end{array}\right]$$
が成立する．(行列の基本用語の生命は省略する)

行列と線形写像は1体1に対応する．基底を変えれば，行列は異なった線形写像を表現することになる．
$X=\mathbb{R}^n, Y=\mathbb{R}^m$で，標準基底を用いるとき，Cauchy-Schwartzの不等式から
任意の$z = (c_1, ..., c_n) \in \mathbb{R}^n$に，
$$||Az||^2= \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n a_{ij}c_j\right)^2 \leq \sum_i (\sum_j a_{i, j}^2)(\sum_j {c_j}^2) = \sum_i (\sum_j a_{ij}^2) ||z||^2$$
したがって，$||A|| \leq \sqrt{\sum_i \sum_j a_{i j}^2}$が成立する．この右辺を$A$のnormと考えることもできて，Frobenius norm といい，$||A||_F$ と書く．

Proposition 8.2.7

$f: S \rightarrow \mathbb{R}^{nm}$が距離空間$S$において連続関数として，$f$の要素を行列として並べると，$f$は$S \rightarrow L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$である連続写像である．逆に，$f: L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$が連続である時，それの行列表現の要素は連続である．

8.2.3 Determinants

行列式の議論だが，面倒なので大半は省略して重要な事実を列挙する．

1. \det I = 1
2. $\det [x_1, ..., x_n]$はそれぞれの$x_j$に対して線形
3. $A$の2つの列を交換して$A'$としたとき，$\det A = \det A'$
4. $A$が相等しい列をもつとき，$\det A = 0$
5. $A$が0ベクトルを列に持つとき，$\det A = 0$
6. $A \mapsto \det A$は連続写像
7. $\det AB = \det A \det B$
8. $A \in L(X, X)$で，可逆なとき，$\det A^{-1}=(\det A)^{-1}$
9. $\det A^T = \det A$ したがって
10. 性質2~5は列を行と呼び変えても成立
11. 行列式は基底によらない．$\because$ $B$を基底の変換行列として，$B$は全単射で可逆．ゆえに$\det A = \det B^{-1} \det A \det B = \det A$

8.2.3 Exercises

Exercise 8.2.11

$X=\mathbb{R}[t]$を多項式空間とし，$D \in L(\mathbb{R}[t])$を微分作用素とする．
$P(t) = c_0 + c_1t + \cdots + c_n t^n$をにノルム$||P||:= \sup \{|c_j| : j=0 ,1, ...,n\}$を入れる．
a) これが確かにノルムであることを示せ.
b) $D$の作用素ノルムは非有界であると示せ．

答案.

a)
(i) $||P|| \geq 0, ||P||=0 \Leftrightarrow P = 0$は明らか．
(ii) $||\alpha P|| = \sup\{|\alpha c_j|\} = \sup\{|\alpha||c_j|\} = \alpha\sup\{|c_j|\} = \alpha ||P||$
(iii) $||P+Q|| = \sup \{|c_j + d_j|\} \leq \sup\{|c_j|\} + \sup \{|d_j|\} = ||P||+||Q||$ が成立．
以上より示せた．
b)
$t^n \in X, ||t^n||=1$である．$||Dt^n||=||nt^{n-1}||=n$ゆえ，$||D|| \geq n (\forall n \in \mathbb{N})$よって確かに$||D||$は非有界

8.2.12 (Prop 8.2.4の証明)

$X$は有限次元ベクトル空間で，$\{x_1, ..., x_n\}$をそのノルムとする．
a) $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, $f(c_1, ..., c_n) = ||c_1 x_1 +\cdots c_nx_n||$は連続と示せ.
b) $c \in \mathbb{R}^n, ||c||=1$であるとき，$m \geq ||c_1x_1 +\cdots + c_nx_n||\leq M$を常に満たす$m , M \in \mathbb{R}$が存在することを示せ．
c) $||c_1 x_1 + \cdots c_n x_n|| = 1$ ならば$\forall j||c_j|| \leq B$なる$B$が存在すると示せ．
d) (c)を使って，$X, Y$が有限次元ベクトル空間で$A \in L(X, Y)$なら$||A|| < \infty$を示せ．

答案.

b) $\{c: ||c||=1 \text{(Euclidean norm)}\}$は超球面で，閉集合である．さらに有界で有限次元だからコンパクトであって，a)で示した連続性より，最小値，最大値が$f$には存在する．
c) $c_j=n$である$j$が存在するとき，$f(c) \geq f(0, ..., n, ... 0) = n||x_j||$
$\{x_i\}$は基底だから，$||x_j|| > 0$.よって$f(c)$は非有界となり，$f(c)=1$に反する．

8.2.13

$X$を$\{x_1, ...,x_n\}$を基底とするベクトル空間で，ノルム$||\cdot ||$が入っているとする．
$c = (c_1, ..., c_n) \in \mathbb{R}^n$のノルム$||c||$は標準ユークリッドノルムとする．
a) 任意の$c$に$m ||c|| \leq ||c_1 x_1 + \cdots + c_nx_n|| \leq M||c||$である$0 <m , M$があると示せ．
b) $||\cdot ||_1, || \cdot ||_2$を$X$のノルムとするとき，$m , M > 0$があって，任意の$x \in X$に$m ||x||_1 \leq ||x||_2 \leq M||x||_1$が成り立つことを示せ．
c) $U \subset X$は，$||x-y||_1$を距離として開集合なら,$||x-y||_2$を距離としても開集合であることを示せ．

答案．

a)
$m := \min \{ ||x_j||\}$とする．$m\sum_j |c_j| \leq ||c_1 x_1 + ...+c_nx_n||$で，$||c|| \leq \sum_j |c_j|$から，$m||c|| \leq ||c_1x_1 + ... + c_nx_n||$が成立する．$M := \max\{||x_j||\}$とすれば，上で抑えられることもわかる．
b)
a)の証明の過程で，$m := \min\{ ||x_j||\}, M := \max \{||x_j||\}$としたが，それぞれでノルム$||\cdot||_1, ||\cdot||_2$を使ったときの$m, M$を$m_1, m_2, M_1, M_2$とするとき，
$m_1 ||c|| \leq ||c_1x_1 + ...||_1 \leq M_1 ||c||$
$m_2 ||c|| \leq ||c_1x_1 + ...||_2 \leq M_2 ||c||$
が成立する．任意の$x \in X$は$x= \sum c_j x_j$と書けて，$c= (c_1, ...,c_n)$と新たに定めると，
$m_1 ||c|| \leq ||x||_1 \leq M_1 ||c||, m_2 ||c|| \leq ||x||_2 \leq M_2||c||$が成立する．したがって，
$$\frac{m_2}{M_1} ||x||_1 \leq ||x||_2 \leq \frac{M_2}{m_1} ||x||_1$$
が成立する．
c)
$d_1(x, y) = ||x-y||_1, d_2(x, y) = ||x-y||_2$とする．
a)より，$d_2(x, y) \leq Md_1(x, y)$ なる$M>0$が存在する．
$x \in U$で，仮定より$U$が$d_1$によって開集合であるとすると，$d_1(x, y) < \epsilon$ならば$y \in U$なる$\epsilon$が存在する．$d_2(x, y) < \epsilon/M$ならば$y \in U$であるから，$d_2$によっても$U$は開集合である．