Basic Analysis (Jiri Lebl) 27日目

CC BY-NC-SA 3.0

Chapter 8. Several variables and partial derivatives

8.1 Vector spaces, linear mappings, and convexity

8.1.1 Vector spaces

$n$次元ベクトル$v$を
$v= (v_1, ..., v_n) = \left[ \begin{array}{} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{array} \right]$と書くことにする.本質的には$v$は縦ベクトルとする.
$\mathbb{R}^n$やその部分集合で定義された関数を考察するが,多くの場合定義域はベクトル空間である.

Definition 8.1.1

$X$には2つの演算,加算$+: X^2 \rightarrow X$とスカラー倍$\cdot: \mathbb{R} \times X \rightarrow X$が定義されていて,どちらの演算にも閉じているとき,$X$を(real) vector spaceという.
vector spaceの元をvectorという.

以後,$X$はすべてベクトル空間とする.

Example 8.1.4

$C([0,1], \mathbb{R})$は,
$f, g \in C([0,1], \mathbb{R})$に,$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$,
$\alpha \in \mathbb{R}, f\in C([0,1]$に,$\alpha f(x) = \alpha \times f(x)$
と演算を定義すればベクトル空間となる.

Example 8.1.5

多項式$c_0 + \cdots c_m t^m, c_i \in \mathbb{R}$のなす集合を$\mathbb{R}[t]$とする.演算をEx. 8.1.4と同様に定義すると,$\mathbb{R}[t]$はベクトル空間となる.$\mathbb{R}[t]$は無限次元のベクトル空間である.

8.1.2 Linear combinations and dimension

Definition 8.1.6

$X$をベクトル空間とする.
$\{x_i\}_{i=1}^n \subset X, \{a_i\}_{i=1}^n \subset \mathbb{R}$,があるとき,

$$a_1 x_1+ \cdots a_n x_n$$
を$x_1, ..., x_k$のlinear combination(線型結合)という.
$Y \subset X$について,$Y$の有限な部分集合のつくるすべての線形結合の集合を$Y$のspan(はる空間)といい,$\text{span}(Y)$と書く.

Example 8.1.7

$Y = \{(1, 1)\} \subset \mathbb{R}^2$とすると,

$$\text{span}(Y) = \{(x, x) \in \mathbb{R}^2, x \in \mathbb{R}\}$$
であって,つまり原点と$(1, 1)$を通る直線である.

Proposition 8.1.9

任意の$Y \subset X$について,$\text{span}(Y)$はまたベクトル空間である.

Definition 8.1.10

$\{x_1, ... ,x_k\} \subset X$がlinearlyl independent(線形独立)
$\Leftrightarrow$ $[a_1x_1 + \cdots a_k x_k=0 \Leftrightarrow a_1=\cdots=a_k=0]$
線形独立でないとき,linealy dependentという.
$B \subset X$が線形独立かつ$\text{span}(B) = X$であるとき,$B$を$X$のbasis(基底)という.
$X$のうち$d$本のベクトルを線形独立になるように選べるが,$d+1$本のベクトルを線形独立となるように選べないとき,$X$は$d$-dimension(次元)であるという.任意の$d$に,かならず$d$本の線形独立なベクトルが選べるとき,$X$の次元は無限次元であるという.

Proposition 8.1.11

$B=\{x_1, ..., x_k\}$が$X$の基底である時,$X$の任意のベクトル$y$は,

$$y = \sum_{j=1}^k a_j x_j$$
と一意に書ける.
proof.

$$y = \sum a_j x_j = \sum b_j x_j$$
と書けるとすると,
$$\sum (a_j -b_j) x_j = 0$$
線形独立性から,$\forall j. a_j = b_j$.よって示せた.

Definition

$\mathbb{R}^n$について,$\{(1, 0, ...,0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ...1)\}$は$\mathbb{R}^n$の基底である.この基底を$\mathbb{R}^n$のstandard basis(標準基底)という.

8.1.3 Linear mappings

この節では$X ,Y$はベクトル空間とする.
$f: X \rightarrow Y$について,$Y$が$\mathbb{R}$や$\mathbb{C}$でないとき,$f$をfunction(関数)ではなくmapping(写像)とよぶことが多い.

Definition 8.1.13

$A: X \rightarrow Y$がlinear(線形)である
$\Leftrightarrow \ \ \forall a \in \mathbb{R}, \forall x, y \in X, A(ax)=aA(x) \text{ and } A(x + y) = A(x) + A(y)$

$A(x)$を$Ax$と書くことにする.$A: X \rightarrow X$が線形であるとき,$A$はlinear operator(線形作用素)であるという.$X$から$Y$への線形写像の集合を$L(X, Y)$と書き,$L(X, X)$を特に$L(X)$と書く.

Proposition 8.1.14

$A \in L(X,Y)$が$A^{-1}$をもつとき,$A^{-1}$もまた線形である.
proof.

$A$は全単射だから,$y_1, y_2 \in Y$について,$y_1 = Ax_1, y_2 = Ax_2$なる$x_1, x_2$が必ず存在する.
$A^{-1}(\alpha y_1) = A^{-1}(\alpha Ax_1) = A^{-1}(A\alpha x_1)=\alpha x_1 = \alpha A^{-1}y_1$
$A^{-1}(y_1 + y_2) = A^{-1}(Ax_1 +Ax_2) = x_1 + x_2 = A^{-1}y_1 + A^{-1}y_2$
よって示せた.

Proposition 8.1.15

$A \in L(X, Y)$は$X$の基底における値がわかれば完全に決定できる.また,$B$を$X$の基底とするとき,$\tilde{A}: B\rightarrow Y$は$A \in L(X, Y)$に自然に拡張できる.

proof.

有限次元空間のみ考える.
$\{x_1, ...,x_k\}$を$X$の基底とする.$Ax_j = y_j$を定めると$A: X \rightarrow Y$が一意に決まるというのが命題の主張である.
$x \in X$は$x = \sum b_j x_j$と書ける.線形性から

$$Ax = A \sum b_j x_j = \sum b_j Ax_j$$
が成立して,たしかに$A$は$\{Ax_j\}$によって一意に定まる.後半はもはや明らかだろう.

Proposition 8.1.16

$X$は有限次元で,その上の線形作用素$A \in L(X)$が単射である$\Leftrightarrow$ $A$は全射
proof.

$\{x_1, ..., x_n\}$を$X$の基底とする.$A$が単射であるとき,
$a_1 Ax_1 + \cdots a_n A x_n=A(a_1 x_1 + \cdots + a_nx_n) = 0$の解を考えれば,$\{Ax_j\}_{j=1}^n$が一次独立であることがわかる.$\{Ax_j\}_{j=1}^n$も$X$の基底だから,$X$の任意の点は$\{Ax_j\}_{j=1}^n$の線型結合で書ける.よって$A$は全射である.
$A$を全射とする.$\{Ax_1, ..., Ax_n\}$は$X$を張る.
$A\sum c_j x_j = \sum c_j Ax_j=0$が成立するなら,$c_j=0$.すなわち$Ax=Ay$ならば$x-y=0 \Leftrightarrow x=y$

Proposiiont 8.1.17

$X, Y$が有限次元なら,$L(X, Y)$もまた有限次元のベクトル空間である.

proof. (Exercise 8.1.11)

Ex. 8.1.5と同じ演算を導入して,ベクトル空間であることは明らかなので,有限次元であることを示す.
$X, Y$の基底をそれぞれ$\{x_1, ..., x_n\}, \{y_1, ..., y_m\}$とする.

$$A_{j k} x_i = \begin{cases} y_k \ \ \ &(i = j) \\ 0 &(i \neq j)\end{cases}$$
なる作用素$A_{j k}$たちを定める.$\{A_{j k}\}_{1\leq j \leq n, 1 \leq k \leq m}$が$L(X,Y)$を張ることを示せばよい.
$A \in L(X, Y)$とする.Prop.8.1.15から,$\{Ax_j\}_{j=1}^n \subset Y$によって$A$は決定される.
$Y$はベクトル空間だから,$\{Ax_j\}$はそれぞれ$\{y_1, ..., y_m\}$の線型結合で書ける.
$$Ax_j = \sum_k a^j_k y_k$$
となるように$\{a^j_k\}$を定めると,任意の$X \ni x = b_1x_1 + \cdots b_n x_n$について,
$$Ax = \sum_j b_j \sum_k a^j_k y_k = \sum_{j k} b_j a^j_k y_k = \sum_{j k} b_j a^j_kA_{j k} x_j$$
が成立する.すなわち,
$$A=\sum_{j k} b_j a^j_k A_{j k}$$
と書ける.したがって確かに$L(X, Y) = \text{span}(\{A_{j k}\})$であり,以上より命題が示せた.