Basic Analysis (Jiri Lebl) 28日目

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8.1.4 Convexity

Definition (Convex set)

$(X, d)$をベクトル空間とする．$U \subset X$がconvex set(凸集合)である
$\Leftrightarrow$ $\forall x, y \in U \forall t \in [0, 1], tx + (1-t)y \in U$

Example 8.1.19

$C([0,1], \mathbb{R})$について，

$$\int^1_0 f \leq 1, \forall x f(x) \geq 0$$
を満たす$f$の集合を$X$とすると，$X$はconvexである．
proof.

$f, g \in X, t \in [0, 1]$とする．
$tf(x) + (1-t) g(x) \geq 0$は明らかであり，

$$\int^1_0 \left( tf+(1-t)g \right) = t\int^1_0 f + (1-t) \int^1_0 g \leq 1$$
よって示せた.

Proposition 8.1.20

$\{C_\lambda\}_\Lambda$を凸集合の集合族とすると，

$$C:= \cap_{\lambda \in \Lambda} C_\lambda$$
もまた凸集合.

proof. 略

Proposition 8.1.21

$T: V \rightarrow W$がベクトル空間間の線形写像とし，$C \subset V$を凸集合とすると，$T(C)$もまた凸集合である．
proof.

$p, q \in T(C)$を任意に取る．$Tx = p, Ty = q$なる$x, y \in C$がある．$C$は凸集合だから,任意の$t \in [0, 1]$に$tx + (1-t)y \in C$であって，$T(tx + (1-t)y)=tp +(1-t)q \in T(C)$
したがって確かに$T(C)$は凸集合である．

Definition convex full(凸包)

$S \subset V$について,$S$のconvex full(凸包)を

$$\text{co}(S) := \cap \{ C \subset V : S \subset C: C \text{ is convex}\}$$
と定める．つまり，$S$のconvex fullとは，$S$を含む最小の凸集合である．