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2017年6月26日月曜日

Basic Analysis (Jiri Lebl) 28日目

CC BY-NC-SA 3.0

8.1.4 Convexity

Definition (Convex set)

(X,d)をベクトル空間とする.UXがconvex set(凸集合)である
x,yUt[0,1],tx+(1t)yU

Example 8.1.19

C([0,1],R)について,
10f1,xf(x)0
を満たすfの集合をXとすると,Xはconvexである.
proof.

f,gX,t[0,1]とする.
tf(x)+(1t)g(x)0は明らかであり,
10(tf+(1t)g)=t10f+(1t)10g1
よって示せた.

Proposition 8.1.20

{Cλ}Λを凸集合の集合族とすると,
C:=λΛCλ
もまた凸集合.

proof. 略

Proposition 8.1.21

T:VWがベクトル空間間の線形写像とし,CVを凸集合とすると,T(C)もまた凸集合である.
proof.

p,qT(C)を任意に取る.Tx=p,Ty=qなるx,yCがある.Cは凸集合だから,任意のt[0,1]tx+(1t)yCであって,T(tx+(1t)y)=tp+(1t)qT(C)
したがって確かにT(C)は凸集合である.

Definition convex full(凸包)

SVについて,Sconvex full(凸包)を
co(S):={CV:SC:C is convex}
と定める.つまり,Sのconvex fullとは,Sを含む最小の凸集合である.

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