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8.1.4 Convexity
Definition (Convex set)
(X,d)をベクトル空間とする.U⊂Xがconvex set(凸集合)である
⇔ ∀x,y∈U∀t∈[0,1],tx+(1−t)y∈U
Example 8.1.19
C([0,1],R)について,
∫10f≤1,∀xf(x)≥0
を満たすfの集合をXとすると,Xはconvexである.
proof.
f,g∈X,t∈[0,1]とする.
tf(x)+(1−t)g(x)≥0は明らかであり,
∫10(tf+(1−t)g)=t∫10f+(1−t)∫10g≤1
よって示せた.
Proposition 8.1.20
{Cλ}Λを凸集合の集合族とすると,
C:=∩λ∈ΛCλ
もまた凸集合.
proof. 略
Proposition 8.1.21
T:V→Wがベクトル空間間の線形写像とし,C⊂Vを凸集合とすると,T(C)もまた凸集合である.
proof.
p,q∈T(C)を任意に取る.Tx=p,Ty=qなるx,y∈Cがある.Cは凸集合だから,任意のt∈[0,1]にtx+(1−t)y∈Cであって,T(tx+(1−t)y)=tp+(1−t)q∈T(C)
したがって確かにT(C)は凸集合である.
Definition convex full(凸包)
S⊂Vについて,Sのconvex full(凸包)を
co(S):=∩{C⊂V:S⊂C:C is convex}
と定める.つまり,Sのconvex fullとは,Sを含む最小の凸集合である.
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