Linear Algebra (D. Cherney et al.) 8日目

CC BY-NC-SA 3.0

Chapter 8. Determinants

8.1 The Determinant Formula

8.1.2 Pemutations (置換)

$(1, ..., n)$のような順序を考える集合の並び替えをpermutation(置換)という.ある置換は,全単射な写像$\sigma: \{1,...,n\}\rightarrow \{1,...,n\}$であると考えることが出来る.
$$\sigma = [\sigma(1), ..., \sigma(n)]$$
と書き下すことが出来る.置換には以下の重要な性質がある.
1. 要素数$n$の集合の置換は$n!$個ある.
2. 任意の置換は,2つの要素の順番を交換する置換(特に互換という)の有限個の適用によって表現できる.
3. 任意の置換$\sigma$について,$\sigma$を表現する互換の個数は常に偶数か奇数で,偶数であるとき$\sigma$を偶置換,奇数であるとき奇置換という.

Definition the sign function

置換$\sigma$に,その偶奇性を返す関数を符号関数といい
$$\text{sgn}(\sigma) = \begin{cases} 1 \ \ & \sigma \text{が遇置換} \\ -1 \ \ & \sigma \text{が奇置換} \end{cases}$$
で定める.

Definition the determinant (行列式)

$M \in M(n,n)$のdeterminant(行列式)を,
$$\det M = |M| := \sum_{\sigma \in \Sigma} \text{sgn}(\sigma) m_{1 \ {\sigma(1)}} m_{2\ \sigma(2)} \cdots m_{n\ \sigma(n)}$$
と定める.ただし,$\Sigma$は$(1, ..., n)$の置換の集合とする.

Theorem 8.1.1

$M$が,すべての要素が$0$である行を一つ以上持つとき,$\det M =0$.

Swapping rows

行基本変形によって行列式がどうなるか調べる.
行列$M$の行$i, j$を交換した行列を$M'$とする.ある置換$\sigma$について,$\sigma(i)$と$\sigma(j)$を交換した置換$\hat{\sigma}$を考えると,あきらかに
$$\text{sgn}(\hat{\sigma}) = - \text{sgn} (\sigma)$$
したがって,$i < j$とすると,
$$\begin{aligned} \det M' &= \sum_{\sigma} \text{sgn}(\sigma) m_{1\ \sigma(1)} \cdots m_{j \sigma(i)} \cdots m_{i \ \sigma(j)} \cdots m_{n \ \sigma(n)} \\ &= \sum_{\sigma} \text{sgn}(\sigma) m_{1\ \sigma(1)} \cdots m_{i \sigma(j)} \cdots m_{j \ \sigma(i)} \cdots m_{n \ \sigma(n)} \\ &= \sum_{\sigma} -\text{sgn}(\hat{\sigma}) m_{1\ \sigma(1)} \cdots m_{j \hat{\sigma}(i)} \cdots m_{i \ \hat{\sigma}(j)} \cdots m_{n \ \sigma(n)} \\&= -\sum_{\hat{\sigma}} \text{sgn}(\hat{\sigma}) m_{1\ \hat{\sigma}(1)} \cdots m_{j \hat{\sigma}(i)} \cdots m_{i \ \hat{\sigma}(j)} \cdots m_{n \ \hat{\sigma}(n)} \\ &= -\det M\end{aligned}$$
よって,行の交換によって,行列式は符号のみ変化する.

corollary

$M$が２つ以上同じ行を持つとき,その２つを選んで交換した行列を$M'$とすると,
$\det M = -\det M = \det M \Rightarrow \det M = 0$

8.2 Elementary Matrices and Determinants

8.2.2 Row Multiplication

$M$のある行を$\lambda$倍した行列を$M'$とすると,$\det M' = \lambda \det M$

8.2.3

$M$のある行の$\mu$倍を他の行に加えた行列を$M'$とすると,$\det M' = \det M$

8.2.4 Determinant of Products

行列に左からかけて基本変形を行う行列
1. $E^i_j$: $i$行目と$j$行目を交換する
2. $R^i(\lambda)$ : $i$行目を$\lambda$倍する
3. $S^i_j(\mu)$: $i$行目を$\mu$倍して$j$行目に加える

について,$\det E^i_j = -1, \det R^i(\lambda) = \lambda, \det S^i_j(\mu) = 1$が成立する.
行列$M$の被約階段行列に変形できるとき,それを$\text{RREF}(M)$と書く.$M$が上の基本変形行列を左からけけて$\text{RREF}(M)$にできるとき,つまり$\text{RREF}(M)=E_1 E_2 \cdots E_k M$とできるとき,
1. $M$が可逆でないとき,$\text{RREF}(M)$にはすべての要素が$0$である行が存在するので,$\det \text{RREF}(M)=0$.
2. $M$が可逆であるとき,$\text{RREF}(M)$は単位行列で,$\det \text{RREF}(M)=1$.
行列の積の行列式はそれぞれの行列の行列式の積だから,

Theorem 8.2.2

$\det M = 0 \Leftrightarrow$ $M$は可逆でない

Basic Analysis (Jiri Lebl) 23日目 距離空間上の点列の極限

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7.3 Sequences and convergence

$(X, d)$は距離空間とする.

7.3.1 Sequences

Definition 7.3.1

$(X,d)$上の点列とは$x: \mathbb{N} \rightarrow X$という写像.$x(n)$を$x_n$と書く.また$x$を$\{x_n\}_{=1}^\infty$とも書く.
$\{x_n\}$が有界である
$\Leftrightarrow \ \exists p \in X, B \in \mathbb{R} \text{ s.t.} \forall n \in \mathbb{N} \ d(p, x_n ) \leq B$
部分列は数列の部分列と同じように定義する.

点列の収束は数列の収束の一般化で,数列の場合は絶対値を距離としたのを,その距離空間での距離に置き換えただけで,したがって殆どの数列の収束に関する定理は点列の場合でも成立する.

7.3.2 Convergence in Euclidean space

この節では,距離はすべてユークリッド距離とする.

Proposition 7.3.7

$\{x_j\}\subset \mathbb{R}^n$について,$x_j=(x_{j,1}, ...,x_{j,n})$と書くと,
$\{x_j\}$が収束する$\Leftrightarrow$ 任意の$k$に $\{x_{j,k}\}_j$が収束する.

proof.

$(\Rightarrow)$
$x_j \rightarrow y=(y_1, ..,y_n)$とする.任意の$\epsilon > 0$に$j\geq M \Rightarrow d(y,x_j)<\epsilon$なる$M$が存在する.
ある$k$を固定すると,$j \geq M \Rightarrow$
$$|y_k -x_{j,k}| = \sqrt{(y_k -x_{j,k})^2} \leq \sqrt{\sum_l (y_l-x_{j,l})^2} = d(y,d_j)<\epsilon$$
が成立するから,$\{x_{j,k}\}_j$は$y_k$に収束する.
($\Leftarrow$)
任意の$\epsilon$に,$j \geq M_k \Rightarrow |x_{j,k}- y_k| < \epsilon/\sqrt{n}$なる$M_k$が存在する.
$\infty > M :=\max \{M_k\}$が存在して,$j \geq M \Rightarrow d(x_j,y)=\sqrt{\sum_k |x_{j,k}-y_k|^2} < n \frac{\epsilon}{n} = \epsilon$から,たしかに$x_j \rightarrow y$.

7.3.3 Convergencec and topology

Proposition 7.3.8

$\{x_n\} \subset X$とする.$x_n \rightarrow x \in X$
$\Leftrightarrow$ $x$の任意の開近傍$U$について,$n\geq M$ならば$x_n \in U$なる$M$がある.
proof. 略

Proposition 7.3.9

$E \subset X$は閉集合で,$\{x_n\}\subset E$が$x \in X$に収束するなら$x \in E$.
proof. 略

Proposition 7.3.10

$A \subset X$で, $x \in \overline{A}$
$\Leftrightarrow x_n \rightarrow x$なる$\{x_n\} \subset A$が存在する.
proof.

$(\Leftarrow)$
$A \subset \overline{A}$とProp. 7.3.9から成立
$(\Rightarrow)$
Prop. 7.2.20から,$x_n \in B(x, 1/n) \cap A$が存在する.$\{x_n\}$の極限は$x$である.

The Rust Programming Language 2nd 2日目 Example: Guessing Game

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Apache License　Version 2.0

2. Guessing Game

数あてゲームを作る.
bash

cargo new guessing_gaame --bin

で新しいプロジェクトを作成する.ランダムな整数を生成するのにrandクレートを使うので,Cargo.tomlにrandを追加する.クレートはrustコードのパッケージであって,randはlibraryクレートと言って,他のプログラムで利用されるコードが入っている.

Cargo.toml

[dependencies]
rand = "0.3.14"

main.rs

use std::io; 　　　　　　　　　　　　　　　　// 標準ライブラリのioを名前空間に追加.
                                        // std::io::stdin()をio::stdin()と省略できる.
use std::cmp::Ordering;
use rand::Rng;

fn main() {　                           // Rustではfn <関数名>で関数を定義する.
                                       // Cと同じくmainが最初に実行される.

  println!("Guess the number!");        // 文字列をコンソールに書き出すマクロ.
                                        // !は関数でなくマクロを読んでいることを表している.
                                        // インデントは4スペースがいいらしいが色々と統一したいので2スペース
                                        // ;でexpressionの終わりを明示する.
                                        // Cなどの,行の終わりに;を打つ言語とはちょっと違うらしい(後述).

  let secret_number = rand::thread_rng().gen_range(1, 101); // thread_rng()がランダムなジェネレーターをつくる
                                                            // .gen_range(1,101)で範囲内の値で生成するようにする

  loop {　　　　　　　　　　　　　　　　　　　// 中でbreakするまで繰り返す.カウンタを使わない分処理が早い
    println!("Please input your guess");

    let mut guess = String::new();      // 変数の宣言は'let'で行う. 'mut'によって変数guessを可変にする.
                                        // let foo=bar;などとすると,fooにはbarが代入されて以後変更できない
                                        // String::new()は長さが可変な文字列型Stringのassociated functionで,
                                        // 新しい空の文字列を作成する.

    io::stdin().read_line(&mut guess)   // 後述(1)
      .expect("Failed to read line");

    let guess: u32 = match guess.trim().parse() {　// 後述 (2)
      Ok(num) => num,
      Err(_)  => continue,
    };

    println!("You guessed: {}", guess); // 変数を文字列に埋め込んで出力する方法はpythonと同じ

    match guess.cmp(&secret_number) {   // 後述 (3)
      Ordering::Less     => println!("Too small!"),
      Ordering::Greater  => println!("Too big!"),
      Ordering::Equal    => {
        println!("You win!");
        break;
      }
    }
  }
}

(1)

    io::stdin().read_line(&mut guess)   // 後述(1)
      .expect("Failed to read line");

io::stdin()は標準入出力のhandleのインスタンスを返す.そのインスタンスのメソッドread_lineが入力を読み取り,guessに文字列として代入する.代入先の変数は可変でなければならない.&はこの引数がreferenceであることを表していて,いちいち新しくメモリを割り当てさせない.referenceはChap.4で詳しく論じる.
一行目で行われた処理はguessに値を代入することだが,read_line()はio::Reuslt型の返り値を返す.Result型は’Ok’か’Err’の値しか取らない.’Ok’は処理が正常に行われたとき返され,’Err’はそうでないときに返される.Result型のexpectメソッドによって,実行時のインスタンスがErrであったときはexpectの引数である文字列を表示し,プログラムはクラッシュする.Resultのインスタンスにexpectをつけないとコンパイル時に警告される.

(2)

    let guess: u32 = match guess.trim().parse() {　// 後述 (2)
      Ok(num) => num,
      Err(_)  => continue,
    };

let <変数名> :<変数型>によって,型を指定して変数を定義できる.
新しい変数guessをu32型として定義して,もとあったguessを数値に変換した値を新しいguessに代入する.(このように,同じ名前の変数を定義して,もとあった変数を加工した値を代入することをshadowingという.)
trim()メソッドによって文字列の始まりと終わりにある空白を削除し,更にparse()によって改行記号があればそれを削除する.parse()が正常に機能したか否かをmatch expressionによって条件分岐し,正常な場合は新しいguessに,古いguessを数値として代入する.異常な場合はcontinueによって直ちに次にループを実行する.
Err()の’‘はcatchall記号で,エラーの詳細が何であっても,Errならこれに一致する.

match A { B => b, C => c, D => d, ...};

は, A がXに等しいときxを返したり実行したりする.

(3)

    match guess.cmp(&secret_number) {   // 後述 (3)
      Ordering::Less     => println!("Too small!"),
      Ordering::Greater  => println!("Too big!"),
      Ordering::Equal    => {
        println!("You win!");
        break;
      }

cmpメソッドはもとのインスタンスと引数の大小比較を行い,std::cmp::Ordering型のインスタンス{Less,Greater,Equal}のどれかを返す.返されたインスタンスが何であるかによる条件分岐をmatch expressionで実現する.

The Rust Programming Language 2nd 1日目 Introduction

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Apache License　Version 2.0

1. Introduction

1.2 Hello, World!

Creating a Project with Cargo

シェル上で

cargo new hello_cargo --bin

を実行して,カレントディレクトリ以下に”hello_cargo”プロジェクトのディレクトリが作成されて,その中には必要なファイルのテンプレートが入っている.”–bin”によってライブラリでなく実行ファイルを作成することを明示している.

hello_cargo/
　├ cargo.toml : プロジェクトの情報を書く
　└ src/       : ソースコードを置くディレクトリ
　 　└ main.rs : ソースコードの拡張子はrs

cargo.tomlにはプロジェクトの情報を書く.

[package]
name = "hello_cargo"
version = "0.1.0"
authors = ["Your Name <you@example.com>"]

[dependencies]

[package]欄にはプログラムの名前と著者の情報を書く.
[dependencies]欄には,このプログラムが使用するcrate(他の言語でいうライブラリ)の名前を書く.ここに書かれたcrateをcargoがダウンロードしてきて,ビルド時にリンクしてくれる.

Building and Running a Cargo Project

cargo build

によってhello_cargo直下にtargetディレクトリ以下が作られ,ビルドされた実行ファイルはtarget/debug/hello_cargo である.

cargo run 

によって,ビルドしたら直ちに実行してくれる.ソースコードに変更がない場合,ビルドをやり直すことはせず,以前つくった実行ファイルをまた実行する.

Building for Release

“cargo build”でビルドされた実行ファイルはデバッグ用の機能が埋め込まれ,最適化もされていない.”cargo build –release”によって,最適化が行われた実行ファイルが”target/release”に作成される.

Basic Analysis (Jiri Lebl) 22日目 極限と積分の順序交換

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6.2 INterchange of limits

6.2.1 Continuity of the limit

Theorem 6.2.2

$\{f_n\}$が連続関数の列で,$f$に一様収束するとき,$f$は連続.
proof. 略

6.2.2 Integral of the limit

Theorem 6.2.4

$\{f_n\}\subset \mathscr{R}[a,b]$で,$f$に一様収束するとき,$f\in \mathscr{R}[a,b]$で,$\int^b_a f = \lim \int^b_a f_n$.
proof.

$\epsilon>$を固定する.$\{f_n\}$は$f$に一様収束するから,$n\geq M \Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{2(b-a)}$なる$M$がある.
このとき$|f(x)|<\frac{\epsilon}{2(b-a)}+|f_n(x)|$であって,$f_n$の有界性より$f$も有界.
$$\begin{aligned}\overline{\int^b_a} f - \underline{\int^b_a} f &= \overline{\int^b_a} (f - f_n + f_n) - \underline{\int^b_a} (f - f_n + f_n) \\ &\underline{\leq}_{(1)} \overline{\int^b_a} (f -f_n) + \overline{\int^b_a} f_n - \underline{\int^b_a} (f-f_n) - \underline{\int^b_a} f_n \\ &=_{(2)} \overline{\int^b_a}(f-f_n) + \int^b_a f_n - \underline{\int^b_a} (f-f_n) - \int^b_a f_n \\ &\leq 2\frac{\epsilon}{2(b-a)}(b-a) = \epsilon \end{aligned}$$
が成立する.((1): Exercise 5.2.16, (2): $f_n$のリーマン可積性)
$\epsilon$は任意だから,$f$のダルブー上下積分は一致し,リーマン可積分.
さらに,Prop 5.1.10から,$n \geq M$で
$$\left| \int^b_a f - \int^b_a f_n \right| = \left|\int^b_a (f - f_n)\right| \leq \epsilon/2 < \epsilon$$
より,$\int^b_a f = \lim \int^b_a f_n$がたしかに成立.

Example 6.2.5

$$f_n = \frac{nx+\sin(nx^2)}{n},\ \ \lim_{n \rightarrow \infty} \int^1_0 f_n$$
を計算する.

$$|f_n-x| = \left| \frac{\sin(nx^2)}{n} \right|< |\frac{1}{n}| \rightarrow 0$$
より,$\{f_n\}$は$x$に一様収束する.
$\lim \int^1_0 f_n = \int^1_0 x = 1/2$.

Example 6.2.6

リーマン可積分関数列の各点収束極限がリーマン可積分でない例
$$f_n(x):= \begin{cases} 1 \ \ &(x=p/q, q \leq n\text{と書けるとき}) \\ 0 &(otherwise)\end{cases}$$
とすると,
$$f := \begin{cases} 1 \ \ &(x \in \mathbb{Q}) \\ 0&(x \notin \mathbb{Q})\end{cases}$$
に$[0,1]$上で各点収束する.
これはリーマン可積分でない.

6.2.3 Exercises

Definition

$\{x_{n,m}\}$を2次元数列とする.$L$がこの数列のjoint limitである
$\Leftrightarrow [\forall \epsilon\ \exists M\ n,m\geq M \Rightarrow |x_{n,m}-L|<\epsilon]$
このとき$L$を$\lim_{(n,m)\rightarrow \infty} x_{n,m}=L$と書く.

Exercise 6.2.13

$L=\lim_{n,m} x_{n,m}$とする.任意の$n$を固定したしたとき$\lim_m x_{n,m}$が存在し,$m$を固定したときも同様のことが言えるとする.このとき$L=\lim_n(\lim_m x_{n,m}) = \lim_m(\lim_n x_{n,m})$を示せ.
答案.

$y_n = \lim_m x_{n,m}$とする.
$$|x_{n,n} - y_n|\leq \underline{|x_{n,n} -L|}_{(0)}+ \underline{|L-x_{n,m}|}_{(1)} + \underline{|x_{n,m} - y_n|}_{(2)}$$
が常に成立する.
$\epsilon >0$を固定する.joint limitの存在より$n,m \geq N_1 \Rightarrow (0),(1) < \epsilon$なる$N_1$が存在する.
$y_n = \lim_m x_{n,m}$から,十分大きな$m$に$(2) < \epsilon$.
以上より$n \geq N_1 \Rightarrow |x_{n,n} -y_n|<3\epsilon$.
したがって$\{x_{n,n}\}_n$と$\{y_n\}=\{\lim_m x_{n,m}\}_n$の極限は等しく,$L$.
同様に$L=\lim_m (\lim_n x_{n,m})$.
以上により示せた.

Exercise 6.2.14

joint limitの存在は,$\lim_m x_{n,m}$や$\lim_n x_{n,m}$の存在を保証しない.
$$x_{n,m} := \frac{(-1)^{n+m}}{\min{n,m}}$$
とする.
(a)$\lim_m x_{n,m}$が存在しないこと, $\lim_n x_{n,m}$が存在しないことを示せ.(したがって$\lim_n (\lim_m x_{n,m}),\ \lim_{m} (\lim_n x_{n,m})$は意味を持たない)
(b) joint limitは$0$であることを示せ.
答案.

(a)
$n$を固定するとき,$m>n$について$x_{n,m}=(-1)^{n+m}/n$であって,$m$とともに振動して収束しない.よって$\lim_m x_{n,m}$は存在しない.もう一方も同様.
(b)
$\epsilon >0$とする.$N=\lceil{1/\epsilon}\rceil$とすると,$n,m\geq N \Rightarrow |x_{n,m}|<\epsilon$.よって示せた.

6.3 Picard’s Theorem

これまでに学んだすべてを使ってPicard’s theoremを証明する.ある常微分方程式のクラスの解の存在と一意性を与える定理であり,応用上も重要.wikipediaにあるピカールの定理とは違う定理で,Picard–Lindelöf theorem,Picard’s existence theorem or Cauchy–Lipschitz theoremとか呼ばれることもある.

6.3.1 First order ordinary differential equation

$y' = F(x,y)$という形の微分方程式を1階上微分方程式という.ふつう初期値$y(x_0)=y_0$を予め与えて,その条件のもとで解く.$F$が$x$のみの関数なら,微積分学の基本定理を使えば良いが,そうでないときは解が存在するとは限らない(存在すれば一意).

6.3.2 The Theorem

Definition 6.3.1

$U \subset \mathbb{R}^2$を定義域とする$F:U\rightarrow \mathbb{R}$を考える.$(x, y) \in U$で$F$が連続
$\Leftrightarrow$ $(x,y)$に収束する任意の列$\{x_n,y_n\}_n$について,$F(x_n,y_n)\rightarrow F(x,y)$.
$\forall x \in U$で連続なら,$F$は$U$で連続という.

Theorem 6.3.2 (Picard’s theorem on existence and uniqueness)

$I, J\subset \mathbb{R}$を有界閉区間とする.$I_0, J_0$を$I, J$の内部,$(x_0,y_0) \in I_0 \times J_0$とする.$f:I\times J \rightarrow \mathbb{R}$は連像で,2つめの引数についてリプシッツ連続とする.すなわち
$$\exists L \text{s.t. }\forall y, z \in J, x\in I \ \ \ |F(x,y) - F(x,z)| \leq L|y-z|$$
このとき,ある$h>0$と,で微分可能な$f:[x_0-h, x_0+h]\rightarrow J$で,$f'(x) = F(x,f(x)), f(x_0)=y_0$をみたす$f$がただ一つ存在する.

sketch.

条件を満たす$f$が存在すると仮定すると,$y_0=f(x_0)$と初期値を与えると微積分学の基本定理から
$$f(x) = y_0 + \int^x_{x_0} F(t, f(t)) dt$$
が成立する.右辺を近似して,極限で右辺の解に収束するような関数列$\{f_k\}$を考える.この手法をPicard iterationといい, $\{f_k\}$をPicard iteratesという.

proof.

$x_0=0$として一般性を失わない(Exercise 6.3.3).$|F(x,y)| \leq M$なる$M$が存在する.$[-\alpha, \alpha] \subset I, \ [y_0 -\alpha, y_0+\alpha]\subset J$なる$\alpha>0$を一つ取る.$h := \min\{\alpha, \alpha/(M+L\alpha)$とすると,$[-h,h] \subset I$.
$f_0(x)=y_0$から帰納的に$\{f_k\}$を定める.
$f_{k-1}([-h,h]) \subset[y_0-\alpha, y_0+\alpha]$であるとき,$F(t, f_{k-1}(t))$は$t\in [-h,h]$できちんと定義された関数であって(Exercise 6.3.2),$f_{k-1}$が$[-h,h]$で連続なら$F(t, f_{k-1}(t))$もまた$t \in [-h,h]$で連続(Exercise 6.3.1).
$$f_k(x) := y_0 + \int^x_0 F(t,f_{k-1}(t))dt$$
が存在して,$f_k$はまた微積分学の基本定理より$[-h, h]$で連続である.$x \in [-h,h]$で
$$|f_k(x)-y_0| = \left| \int^x_0 F(t, f_{k-1}(t))dt \right|\leq M|x|\leq Mh\leq M\frac{\alpha}{M+L\alpha} \leq \alpha$$
だから,$f_{k}$のrangeは$[y_0-\alpha, y_0+\alpha]$の部分集合.
こうして$\{f_k\}$を構成していく.$\{f_k\}$が題意を満たす$f$に収束することを示す.
$\{f_k\}$が$[-h,h]$である関数に一様収束することを示す.$t \in [-h,h]$に,
$$|F(t,f_n(t))-F(t,f_k(t))| \leq L|f_n(t)-f_k(t)| \leq L||f_n-f_k||u$$
が任意の$n,k$に成立し,$|x|\leq h \leq \alpha/(M+L\alpha)$だから,
$$\begin{aligned} |f_n(x)-f_k(x)| &= \left|\int^x_0 \left[ F(t,f_{n-1}(t))dt - F(t,f_{k-1}(t)) \right]dt \right| \\&\leq L||f_{n-1}-f_{k-1}||_u |x| \\ &\leq \frac{L\alpha}{M+L\alpha}||f_{n-1}-f_{k-1}||_u \end{aligned}$$
であって,$C:=L\alpha/(M+L\alpha)<1$とすれば$||f_n-f_k||_u \leq C||f_{n-1}-f_{k-1}||_u$
$n\geq k$として,$||f_n-f_k||_u \leq C^k ||f_{n-k} -f_0||_u$が成立し,
$||f_n-f_k\|_u \leq C^k ||f_{n-k}-f_0||_u \leq C^k \alpha$.
$C<1$だから$\{f_n\}$がuniform Cauchyで,$\{f_n\}$は$[-h,h]$である$f:[-h,h]\rightarrow \mathbb{R}$に一様収束する(このような$f$は一意).
$f$は連続関数の一様収束極限だから,連続であり,$f_n([-h,h]) \subset[y_0-\alpha,y_0+\alpha]$から,$f([-h,h]) \subset [y_0-\alpha, y_0+\alpha]$.
$f$がたしかに与えられた方程式の解であることを示す.
$$|f(t, f_n(t)) -F(t,f(t))| \leq L||f_n - f||_u$$
で,$||f_n-f||_u \rightarrow 0$から,$F(t, f_n(t))$は$F(t, f(t))$に一様収束する.
したがって$x\in [0,h]$で,$t \in [0,x]$
$$\begin{aligned} y_0 + \int^x_0 F(t, f(t)) dt &= y_0 + \int^x_0 F(t, \lim f_n (t)) dt \\&= y_0 + \int^x_0 \lim F(t, f_n(t)) \\ &= \lim_n \left(y_0 + \int^x_0 F(t,f_n(t))dt\right)\\ &= \lim_n f_{n+1}(x) = f(x) \end{aligned}$$
である.
微積分学の基本定理から,$f$は微分可能で導関数は$F(x,f(x))$.また$f(0)=y_0$.

6.3.4 Exercises

Exercise 6.3.1

$I, J \subset \mathbb{R}$を区間とする.$F: I\times J \rightarrow \mathbb{R}$が2変数の連続関数で,$f: I\rightarrow J$が連続なら,$F(x,f(x))$も$I$上連続と示せ.
答案.

$x_0$での連続性を示す.
$x_0$に収束する$\{x_n\}\subset I$を任意にとる.$f$の連続性から$\{f(x_n)\}$は$f(x_0)\in J$に収束する.
$(x_n, f(x_n))$は$(x_0,f(x_0))$に収束する$I\times J$に含まれる数列であって,$F$の連続性から任意の$\epsilon$に
$n \geq N \Rightarrow |F(x_n, f(x_n))-F(x_0,f(x_0))|< \epsilon$なる$N$がある.
これは$F(x,f(x))$の$x_0$での連続性と同値.

Exercise 6.3.2

$I, J \subset \mathbb{R}$は有界な閉区間とする.$F: I \times J \rightarrow \mathbb{R}$が連続なら,$F$は有界であると示せ.
答案.

非有界であるとして矛盾を導く.
$F(x_n,y_n)>n$を満たすような$\{(x_n,y_n)\}_n \subset I\times J$が存在する.Bolzano-Weierstrassの定理(多次元)から,収束する部分列$\{(x_{n_k}, y_{n_k})\}_k$がある.その極限を$(x_0,y_0)$とすると,$M:=F(x_0,y_0)$は有限値.一方$\{F(x_{n_k}, y_{n_k})\}$は発散する.これは$F$の連続性に反する.背理法によって示せた.

Basic Analysis (Jiri Lebl) 21日目 関数列の収束

CC BY-NC-SA 3.0

大概の本ではこの章の議論は数列の議論の直後にやる一方,関数のノルム収束は扱われないことが多い.

Chapter 6. Sequences and Functions

この章では$S: \text{a set}, \ \{f_n:S \rightarrow \mathbb{R}\}, f: S\rightarrow \mathbb{R}$とする.

6.1 Pointwise and uniform convergence

6.1.1 Pointwise convergence

Definition 6.1.1. (各点収束)

$\{f_n:S \rightarrow \mathbb{R}\}_n$が$f:S\rightarrow \mathbb{R}$にpointwise converge(各点収束)する
$\Leftrightarrow [\forall x \in S \ \forall \epsilon > 0 \ \exists N(x,\epsilon) \text{s.t.} n \geq N(x, \epsilon) \Rightarrow |f(x)-f_n(x)|<\epsilon]$
つまり、各$x$を固定したとき、数列$\{f_n(x)\}$が$f(x) \in \mathbb{R}$に収束するということ.

Example 6.1.4

$f_n(x) = \sin(xn)$とする.これは$x=k\pi\ \ (k \in \mathbb{N})$以外のすべての点でいかなる関数にも各点収束しない.
proof.

$x=k\pi \ \ (k \in \mathbb{N})$において,$f_n(x)=0$が常に成立するので,$0$に収束する.
それ以外の点でいかなる$N$をとっても,$n,m > N$で,$\pi/6 < \text{mod}(nx, 2\pi)< 5\pi/6,\ 7\pi/6 < \text{mod}(nx, 2\pi) < 11\pi/6$を満たす$n,m$が存在する.
このとき,$\sin(nx)-\sin(mx)>1$が成立する.よって$\{\sin(nx)\}_n \ \ (x \notin \pi \mathbb{N})$はコーシー列でないので,収束しない.

6.1.2 Uniform convergence (一様収束)

Definition 6.1.6

$\{f_n\}n$が$f$に一様収束する
$\Leftrightarrow [\forall \epsilon \ \exists N(\epsilon)\in\mathbb{N} \ \text{s.t.} n \geq N(\epsilon) \Rightarrow \forall x |f_n(x)-f(x)|<\epsilon]$

Proposition 6.1.7

$\{f_n\}$が$f$に一様収束するとき,$\{f_n\}$は$f$に各点収束する.
proof.

定義より明らか.

Example 6.1.8

$f_n(x) = x^{2n}$は$[-1, 1]$で各点収束するが一様収束しない.
proof.

$f(x) = \begin{cases} 0 \ \ \ (x \in (-1, 1)) \\ 1 \ \ \ (x \in \{-1,1\}) \end{cases}$
に各点収束するのは明らか.
一方,ある$f$に一様収束すると仮定する.$\epsilon = 1/2$とすると,$x \in (-1,1)$で,
$|f_N(x) - f(x)| = |f_N(x)| = x^{2N} <1/2$ となる$N$が$x$によらず存在する.
両辺で$\log$をとると,$2N \log x < -\log 2 \Rightarrow \log x < -\log 2 /(2N)<0$
$-\log 2 /(2N) < y < 0$なる$y$があって、 $e^y \in (0, 1)$である. $x=e^y$とすると$f_N(x) \geq 1/2$となり,矛盾.背理法によって$\{f_n\}$が一様収束しないと示せた.

6.1.3 Convergence in uniform norm

有界関数にある実数(uniform norm)を与える.uniform normは恒等関数0からのその関数の距離を表している(多くの本ではノルムのことを長さの一般化としているが,原点からの距離と長さを同一視するのは自然かも).関数列から関数のノルムの実数列を作って,収束性を議論する.

Definition 6.1.9

有界な$f: S \rightarrow \mathbb{R}$のuniform norm(sup norm, infinity norm)を
$$||f||_{\sup} = ||f||_{\infty}=||f||_u := \sup\{|f(x)| : x \in S\}$$
と定める.

Proposition 6.1.10

$\{f_n\}$が$f$に一様収束する
$\Leftrightarrow$
$$\lim_{n \rightarrow \infty} ||f_n - f||_u = 0$$
proof.

($\Rightarrow$)
$\epsilon>0$に$n \geq N \Rightarrow \forall x\ |f_n(x)-f(x)|<\epsilon/2$が成立する.
ここで$\sup$の性質より$|f_n(x)-f(x)| \leq ||f_n - f|| \leq \epsilon$が常に成立するから,$||f_n-f|| \rightarrow 0$がたしかに成立.
($\Leftarrow$)
$\forall x\ \ |f_n(x)-f(x)|\leq ||f_n-f||_u$から明らか.

Example 6.1.11

$f_n:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$を$f_n(x) = \frac{nx + \sin(nx^2)}{n}$とする.
$$\begin{aligned} ||f_n-x||_U &=\sup \left\{\left| \frac{nx+\sin(nx^2)}{n} - x \right| \right\} \\ & = \sup \left\{ \frac{|\sin(nx^2)|}{n}\right\} \\ & \leq \sup \{1/n\} \\ &= 1/n \\ &\rightarrow 0 \end{aligned}$$
よって$\{f_n\}$は$f=x$に一様収束する.

Definition 6.1.12

$\{f_n\}$は有界な関数列とする.この関数列が”Cauchy in the uniform norm” or “uniformly Cauchy”である
$\Leftrightarrow [\forall \epsilon \ \exists N\ \text{s.t. } m,k\geq N \Rightarrow ||f_m - f_k||_u < \epsilon]$

Proposition 6.1.13

$\{f_n\}$は有界関数の列とする.$\{f_n\}$がCauchy in the uniform normである
$\Leftrightarrow [\exists N\ \text{s.t. } n \geq N \Rightarrow ||f_m-f_k||m < \epsilon]$
proof. 略

6.1.4 Exercises

Exercise 6.1.9

$\{f_n:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\}$のそれぞれの関数が単調増加とする.
$f_n(0)=0,\ \ \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(1) = 0$なら,$\{f_n\}$は$f=0$に一様収束すると示せ.
答案.

$$\begin{aligned}||f_n-0||_u &= \sup_{x \in [0,1]} \{|f_n(x)|\}& \\ &=|f_n(1)| &(\because \text{単調増加}) \\ & \rightarrow 0 &(n \rightarrow \infty)\end{aligned}$$
よって示せた

Exercise 6.1.10

$\{f_n:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}\}$について,$f_n(x_n)=1$をみたす各要素が異なる数列$\{x_n\}$が存在するとき,以下の命題の真偽を調べよ
(a) 0に各点収束するような$\{f_n\}$がある
(b) 0に一様収束するような$\{f_n\}$がある
答案.

(a)
$$f_n(x) = \begin{cases} 1 \ \ &(x = 1/n)\\ 0 \ \ &(x \neq 1/n)\end{cases}$$
とすると,任意の$x>0$について,$n > 1/x \Rightarrow f_n(x)=0$
また$x=0$では常に$f_n(x)=0$.よって$\{f_n\}$は$0$に各点収束していて,命題(a)は真.
(b)
$$||f_n - 0||_u = \sup\{|f_n(x)|\} \geq |f_n(x_n)|=1$$
が必ず成り立つから,命題(b)は偽.

Exercise 6.1.11

連続関数$h:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$を固定し,
$$f(x) := \begin{cases} h(x) \ \ &(x\in [a,b]) \\ h(a) &(x < a) \\ h(b) &(x > b) \end{cases}$$
とする.まず$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$が連続であると示し,さらに$[a,b]$を定義域とする$f_n$を
$$f_n(x):= \frac{1}{2\epsilon} \int^{x+\epsilon}_{x-\epsilon} f, \ \ \epsilon = 1/n$$
としたとき,$f_n$が$h$に一様収束することを示せ.
答案.

$f$の連続性は明らかである.
$x \in (a,b)$について,$n$が十分大きければ$[x-\epsilon, x+\epsilon] \subset [a,b]$であって,$f(x)=h(x) \ \ (x \in [x-\epsilon, x+\epsilon])$ だから,$f_n(x) = 0$となる.
$x=a$であれば,
$$f_n(a) = \frac{1}{2\epsilon}(\int^a_{a-\epsilon} + \int^{a+\epsilon}_a) f = \frac{1}{2\epsilon}\cdot[\epsilon h(a) + \int^{a+\epsilon}_a h] = \frac{h(a)}{2} +\frac{1}{2\epsilon} \int^{a+\epsilon}_a h(x)$$
$h$の連続性から,$\zeta>0$に,$|x-a|<e \Rightarrow |h(a)-h(x)|<\zeta$なる$e$がある.
$$\frac{h(a)}{2} -\frac{\zeta}{2} = \frac{1}{2e}\int^{a+e}_a(h(a)-\zeta)<\frac{1}{2e} \int^{a+e}_a h < \frac{1}{2e}\int^{a+e}_a (h(a)+\zeta)=\frac{h(a)}{2} + \frac{\zeta}{2}$$
したがって,$n > 1/e$ならば$|f_n(a)-h(a)|<\zeta/2$.
x=b の場合も同様に$n>1/e$ならば$f_n(b) -h(b)|<\zeta/2$が言える.
以上より,任意の$\zeta >0$に,$n > N$ならば$\forall x \ \ |f_n(x) - h(x)|<\zeta$なる$N(=1/e)$が存在する.
よって確かに$f_n$は$h$に一様収束する.

Basic Analysis (Jiri Lebl) 20日目 Cauchyの主値

CC BY-NC-SA 3.0

Cauchy principal value (Cauchyの主値)

$\int^1_{-1} 1/x$のような,普通には広義積分が収束しない場合にも与えられることがある値．

Definition

$f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$について，$a<c<b$なる任意の$c$と任意の$\epsilon >0$に,$f$が$[a, c-\epsilon], [c+\epsilon, b]$でリーマン可積分であるとき，
$$p.v. \int^b_a f := \lim_{\epsilon \rightarrow 0+0} \left(\int^{c-\epsilon}_a f+\int^b_{c+\epsilon} f\right)$$
が収束するとき，これをCauchyの主値という．

Exercise 5.5.13

(a) $p.v.\int^1_{-1} 1/x dx$を計算せよ
(b) $\lim_{\epsilon \rightarrow 0+0} (\int^{-\epsilon}_{-1} 1/x dx + \int^1_{2\epsilon} 1/x dx)$が，(a)と異なることを示せ．
(c) $f \in \mathscr{R}[a,b]$ならば，$\int^b_a f = p.v. \int^b_a f$を示せ
(d) $c \in [a,b]$を特異点に持ち,$p.v.\ \int^b_a f$が存在するが，$\int^c_a f, \int^b_c f$が存在しないような$f$を見つけろ
(e) $f:[-1, 1]$が連続とする．$p.v. \int^1_{-1} f(x)/x dx$が存在することを示せ

答案.

(a) $$\lim_{\epsilon \rightarrow 0+0} \left(\int^{-\epsilon}_{-1}1/x + \int^1_{\epsilon} 1/x\right)= \lim_{\epsilon \rightarrow 0 +0} [\log(|-\epsilon|) - \log(\epsilon)] = \lim_{\epsilon \rightarrow 0+0} 0 = 0$$
(b)
$$\lim_{\epsilon \rightarrow 0+0} \left(\int^{-\epsilon}_{-1}1/x + \int^1_{2\epsilon} 1/x\right)= \lim_{\epsilon \rightarrow 0 +0} [\log(|-\epsilon|) - \log(2\epsilon)] = \lim_{\epsilon \rightarrow 0+0} \log\frac{1}{2} = -\log2$$
確かに(a)で得られた値と異なっている．
(c)
特異点$c$として，任意の$\epsilon>0$に$[a, c-\epsilon],[c-\epsilon, c+\epsilon], [c+\epsilon, b]$において$f$は可積分で，
$$\int^b_a f = \left(\int^{c-\epsilon}_a + \int^{c+\epsilon}_{c-\epsilon} + \int^b_{c+\epsilon} \right) f$$
が常に成立するから．定積分と主値積分は等しい．
(d)
(a)で与えられた$\int^1_{-1} 1/x$が求める条件を満たしている．
(e)
特異点は明らかに$0$のみ.また$x\neq 0$で連続だから，任意の$\epsilon >0$に,$f$が$[-1, -\epsilon], [\epsilon, 1]$でリーマン可積分である.微積分の基本定理(Second form)より，$F_1 = \int^{x}_{-1} f, F_2 = \int^x_\epsilon f$があって，$f$は$x\neq 0$で連続だから$F_1'(x) =f(x)/x \ \ (-1 \leq x \leq -\epsilon), F_2'(x)=f(x)/x \ \ (\epsilon \leq x \leq 1)$
$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} ( F_1(-\epsilon) +F_2(\epsilon))$ が存在することを言えば良い．
$$F_1'(-\epsilon)=\lim \left[\frac{f(-\epsilon - h)}{-\epsilon -h} - \frac{f(-\epsilon)}{-\epsilon}\right] / -h$$
$$F_2'(\epsilon)=\lim \left[\frac{f(\epsilon + h)}{\epsilon + h} - \frac{f(\epsilon)}{\epsilon}\right] / h$$
ビーンもうダメ

Exercise 5.5.14

$f,g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$は連続で，ある$[a,b]$があって$[a,b]$以外の点$g$はで常に0の値を取る．
(a)
$$(g * f)(x) = \int^{\infty}_{-\infty} f(t)g(x-t)dt$$
は$x \in \mathbb{R}$で定義されていることを示せ．
(b)
$\int^{\infty}_{-\infty} |f| < \infty$ならば，
$$\lim_{x\rightarrow -\infty} (g * f)(x) =0, \ \ \ \lim_{x\rightarrow \infty} (g*f)(x)=0$$
を示せ．
答案.

(a)
$t \notin [a+x, b+x]$ならば$f(t)g(x-t)=0$だから，積分区間を$[a+x, b+x]$とそれ以下，それ以上の3つに区切れば，常に$[a+x, b+x]$以外の区間での積分は$0$となり，$\int^{\infty}_{-\infty}f(t)g(x-t)dt = \int^{b+x}_{a+x} f(t)g(x-t)dt$