暗号学 二歩目

代数学

体論

Definition 2-1

集合$\mathbf{R}$と$\mathbf{R}$上の二項演算$+, *$(それぞれを加算,乗算という)があって、以下の条件を満たすとき$(\mathbf{R}, +, *)$を環(Ring)という.

(1) $(\mathbf{R}, +)$ は可換群である. $+$についての単位元を$0_\mathbf{R}$と書く.
(2) $(\mathbf{R}, *)$はモノイドである. i.e.

(1) $*$ は結合法則を満たす
(2) $*$は$\mathbf{R}$に閉じている
(3) $*$の単位元が存在する

$(\mathbf{R}, *)$の単位元を$1_\mathbf{R}$と書く.

(3) $(\mathbf{R}, +, *)$は分配法則を満たす. i.e.

$$\begin{aligned}\forall a, b, c. (a + b) * c &= a *c + b* c\\ a *(b+c) &= a * b + a * c\end{aligned}$$

さらに,環$(\mathbf{R}, +, *)$の乗算が$0_\mathbf{R}$以外のすべての元に逆元をもつときこれを体(field)といい,特に$*$が可換なとき可換体という.可換体を単に体といい,$*$が非可換なとき特に非可換体や斜体ということもある.(後者を採用する)

Examples

1. $\mathbb{Q}$や$\mathbb{R}$は通常の加算・乗算で体
2. $\mathbf{R}$上のn次の正方行列の集合$M_n(\mathbb{R})$は通常の加算・乗算で非可換環をなす.
   3. $\mathbf{R}$上のn次の可逆な行列$GL_n (\mathbb{R})$を一般線形(general linear)群,とくにdeterminant が1な行列の集合$SL_n(\mathbb{R})$を特殊線形(special linear)群といい,ともに通常の加算・乗算で斜体をなす.

Definition 2-2 素数体

$p$:素数 について,$\mathbb{F}_p = \{0, 1, ..., p-1\}$に,演算を
加算: $(a, b) \mapsto a + b \mod p$
乗算: $(a, b) \mapsto a \times b \mod p$
と定義し,単に$(+, *)$と書くことにすると、$(\mathbf{F}_p, +, *)$は体である.(証明略)