2017年7月17日月曜日

MIT OCW, Fundamentals of Probability 12日目 積分の順序交換

David Gamarnik, and John Tsitsiklis. 6.436J Fundamentals of Probability. Fall 2008. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA.

Lecture 13 Product Measure and Fubini’s Theorem

1. Product Measure

(Ω1,F1,P1),(Ω2,F2,P2)と2つのprobability spaceを考える.ふたつのprobability spaceで独立にexperimentを行うとき,”joint experiment”とでも言うものを考え,それに対して新たなprobability spaceを与える.

1.1, 1.2, 1.3 The Sample Space, σ-Field and Measure of the Joint Experiment

明らかに新たなsample spaceはΩ=Ω1×Ω2.
A1F1,A2F2であれば,新しいprobability spaceでもP(ω1A1,ω2A2)という確率が知りたいので,新しいσ-fieldを以下のように定義する.

Definition 13-1

F1×F2:=σ({A1F1,A2F2})


Ω1×Ω2上のσ-fieldである.F1×F2はデカルト積ではない.
さらに,(Ω1×Ω2,F1×F2)上のprobability measurePを定義する.独立性を仮定しているから,
P(A1×A2)=P1(A1)P2(A2)

が成り立たなければならない.

Theorem 13-1 (証明略)

P(A1×A2)=P1(A1)P2(A2)


を満たすPは唯一つ存在する.このPP1×P2とも書き,P1P2product measureと呼ぶ.

1.4 Beyond Probability Measures

Ωの可算個の分割で,そのすべての分割にmeasure μが有限であるようにできるとき,μσ-finiteという.{μi}たちがσ-finiteであるとき,Theorem 13-1は成立する.

1.5 The Product Measure on R2

(R,B,λ)を2つ考えて節1のように新しいmeasure space
(R2,B×B,λ2)


を定義できる.ただしλはLebesgue measureとする.λ2は2次元Lebesgue measureという.
ところでB×BR2の開集合全体から導からるσ-fieldとして定義しても同じことである.

2. Fubini’s Theorem

Lebesgue積分の順序交換ができる条件を論じる.Lebesgue積分の勉強をしたいわけではないので結論だけ見る.g:Ω1×Ω2Rはmeasurableとする.これは任意のcR{(ω1,ω2)|g(ω1,ω2)c}F1×F2という条件に同値.
わかりやす measurable functionの例に

(a) 連続なR2Rはmeasurable
(b) measurable setのindicator functionはmeasurable
(c) measurable functionたちの加減乗算と極限操作はmeasurable

Theorem 13-2

g:Ω1×Ω2Rは非負かつmeasurableで,P=P1×P2はこの上のproduct measureとする.このとき

(a) ω1Ω1  g(ω1,ω2)ω2の関数としてmeasurable
(b) ω2Ω2  g(ω1,ω2)ω1の関数としてmeasurable
(c) Ω2g(ω1,ω2)dP2ω1の関数としてmeasurable
(d) Ω1g(ω1,ω2)dP1ω2の関数としてmeasurable
(e) Ω1[Ω2g(ω1,ω2)dP2]dP1=Ω2[Ω1g(ω1,ω2)dP1]dP2=Ω1×Ω2g(ω1,ω2)dP

Theorem 13-2はgが非負であると仮定していて,積分がであることを禁じていない.関数がintegrableとは,積分が未満の実数に確定することであった.関数の絶対値の二重積分がintegrableであるとき,順序交換できるというのがTheorem 13-3の主張である.

Theorem 13-3

g:Ω1×Ω2Rがemasurableで,かつ
Ω1×Ω2|g(ω1,ω2)|dP<


であるとする.このとき

(a) ω1Ω1,a.e.g(ω1,ω2)ω2の関数としてintegrable
(b) ω2Ω2,a.e.g(ω1,ω2)ω1の関数としてintegrable
(c) Ω2g(ω1,ω2)dP2=h(ω1) a.s.となるh:Ω1Rが存在する.
(d) Ω1g(ω1,ω2)dP1=h(ω2) a.s.となるh:Ω2Rが存在する.
(e) Ω1[Ω2g(ω1,ω2)dP2]dP1=Ω2[Ω1g(ω1,ω2)dP1]dP2=Ω1×Ω2g(ω1,ω2)dP

4. An Application

基本的な確率論の定理をFubini’s Theoremを使って証明する.

Xを非負なrandom variableとする.このとき
E[X]=0P(Xx)

を示す.

proof.

A={(w,x)|0xX(w)}とする.このとき
E[X]=ΩX(w)dP=Ω01A(w,x)dxdP


Fubini’s theoremを適用して
E[X]=0Ω1A(w,x)dPdx

Ω1A(w,x)dPというのはxを固定して1A(w,x)wの関数と考えているので,
1A(w,x)={1   (wx)0(w<x)よってΩ1A(w,x)dP=P(Xx)
以上より
E[X]=0P(Xx)

(Fubini’s theoremが使える条件をみたしているかの判定は略した)

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