David Gamarnik, and John Tsitsiklis. 6.436J Fundamentals of Probability. Fall 2008. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA.
Lecture 13 Product Measure and Fubini’s Theorem
1. Product Measure
(Ω1,F1,P1),(Ω2,F2,P2)と2つのprobability spaceを考える.ふたつのprobability spaceで独立にexperimentを行うとき,”joint experiment”とでも言うものを考え,それに対して新たなprobability spaceを与える.
1.1, 1.2, 1.3 The Sample Space, σ-Field and Measure of the Joint Experiment
明らかに新たなsample spaceはΩ=Ω1×Ω2.
A1∈F1,A2∈F2であれば,新しいprobability spaceでもP(ω1∈A1,ω2∈A2)という確率が知りたいので,新しいσ-fieldを以下のように定義する.
Definition 13-1
F1×F2:=σ({A1∈F1,A2∈F2})
はΩ1×Ω2上のσ-fieldである.F1×F2はデカルト積ではない.
さらに,(Ω1×Ω2,F1×F2)上のprobability measurePを定義する.独立性を仮定しているから,
P(A1×A2)=P1(A1)P2(A2)
が成り立たなければならない.
Theorem 13-1 (証明略)
P(A1×A2)=P1(A1)P2(A2)
を満たすPは唯一つ存在する.このPをP1×P2とも書き,P1とP2のproduct measureと呼ぶ.
1.4 Beyond Probability Measures
Ωの可算個の分割で,そのすべての分割にmeasure μが有限であるようにできるとき,μはσ-finiteという.{μi}たちがσ-finiteであるとき,Theorem 13-1は成立する.
1.5 The Product Measure on R2
(R,B,λ)を2つ考えて節1のように新しいmeasure space
(R2,B×B,λ2)
を定義できる.ただしλはLebesgue measureとする.λ2は2次元Lebesgue measureという.
ところでB×BはR2の開集合全体から導からるσ-fieldとして定義しても同じことである.
2. Fubini’s Theorem
Lebesgue積分の順序交換ができる条件を論じる.Lebesgue積分の勉強をしたいわけではないので結論だけ見る.g:Ω1×Ω2→Rはmeasurableとする.これは任意のc∈Rに{(ω1,ω2)|g(ω1,ω2)≤c}∈F1×F2という条件に同値.
わかりやす measurable functionの例に
(a) 連続なR2→Rはmeasurable
(b) measurable setのindicator functionはmeasurable
(c) measurable functionたちの加減乗算と極限操作はmeasurable
Theorem 13-2
g:Ω1×Ω2→Rは非負かつmeasurableで,P=P1×P2はこの上のproduct measureとする.このとき
(a) ∀ω1∈Ω1 g(ω1,ω2)はω2の関数としてmeasurable
(b) ∀ω2∈Ω2 g(ω1,ω2)はω1の関数としてmeasurable
(c) ∫Ω2g(ω1,ω2)dP2 はω1の関数としてmeasurable
(d) ∫Ω1g(ω1,ω2)dP1 はω2の関数としてmeasurable
(e) ∫Ω1[∫Ω2g(ω1,ω2)dP2]dP1=∫Ω2[∫Ω1g(ω1,ω2)dP1]dP2=∫Ω1×Ω2g(ω1,ω2)dP
Theorem 13-2はgが非負であると仮定していて,積分が∞であることを禁じていない.関数がintegrableとは,積分が∞未満の実数に確定することであった.関数の絶対値の二重積分がintegrableであるとき,順序交換できるというのがTheorem 13-3の主張である.
Theorem 13-3
g:Ω1×Ω2→Rがemasurableで,かつ
∫Ω1×Ω2|g(ω1,ω2)|dP<∞
であるとする.このとき(a) ω1∈Ω1,a.e.にg(ω1,ω2)はω2の関数としてintegrable
(b) ω2∈Ω2,a.e.にg(ω1,ω2)はω1の関数としてintegrable
(c) ∫Ω2g(ω1,ω2)dP2=h(ω1) a.s.となるh:Ω1→Rが存在する.
(d) ∫Ω1g(ω1,ω2)dP1=h(ω2) a.s.となるh:Ω2→Rが存在する.
(e) ∫Ω1[∫Ω2g(ω1,ω2)dP2]dP1=∫Ω2[∫Ω1g(ω1,ω2)dP1]dP2=∫Ω1×Ω2g(ω1,ω2)dP
4. An Application
基本的な確率論の定理をFubini’s Theoremを使って証明する.
Xを非負なrandom variableとする.このとき
E[X]=∫∞0P(X≥x)
を示す.
proof.
A={(w,x)|0≤x≤X(w)}とする.このとき
E[X]=∫ΩX(w)dP=∫Ω∫∞01A(w,x)dxdP
Fubini’s theoremを適用して
E[X]=∫∞0∫Ω1A(w,x)dPdx
∫Ω1A(w,x)dPというのはxを固定して1A(w,x)をwの関数と考えているので,
1A(w,x)={1 (w≥x)0(w<x)よって∫Ω1A(w,x)dP=P(X≥x)
以上より
E[X]=∫∞0P(X≥x)
(Fubini’s theoremが使える条件をみたしているかの判定は略した)
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