Basic Analysis (Jiri Lebl) 32日目

CC BY-NC-SA 3.0

8.5 Inverse and implicit function theorem

$(X, d), (X', d')$という距離空間上の$f: X \rightarrow X'$がcontraction(縮小)写像である
$\Leftrightarrow$ $d'(f(x), f(y)) \leq kd(x,y)$が常に成り立つような$k$がある.

$f: X\rightarrow X$がcontractionで$X$がcompleteならば,ただ一つのfixed point(不動点)が存在することはChap.7 でみた．
関数がある点で微分可能であるというのは，その点の近くではその関数がその微分係数による線形写像の様に振る舞うということである．関数がある点で微分可能で，その周りでその導関数が可逆なら，もとの関数もまた局所的に可逆であるというのが,inverse function theoremの主張するところである．

Theorem 8.5.1 (Inverse function theorem)

$U \subset \mathbb{R}^n$で，$f: U \rightarrow \mathbb{R}^m$が連続微分可能とする．$p \in U$について$f(p) = q$で,$f'(p)$が可逆(すなわち$J_f (p) \neq 0$)であるなら,$V \subset \mathbb{R}^n$があって，$p \in V \subset U$．さらに$f_{|V}$が全単射であり，逆関数$g(y) = (f_{|V})^{-1}(y)$は連続微分可能であって，
$g'(y) = (f'(x))^{-1}$が$y \in f(V)$が成立する．

proof.

$A = f'(p)$とする．$f'$は連続だから，$p$を中心とした開球$V$があって，
$$\forall x \in V\ \ ||A -f'(x)|| \leq 1//2||A^{-1}||$$
が成立する．$f'(x)$は$V$において可逆である．
$y \in \mathbb{R}^n$があるとき，$\phi_y : C \rightarrow \mathbb{R}^n$で，
$$\phi_y(x) = x + A^{-1}(y - f(x))$$
とする．$A^{-1}$は全単射だから，$\phi_y (x) = x \Leftrightarrow y = f(x)$.chain ruleにより
$$\phi'_y (x) = I - A^{-1}f'(x) = A^{-1}(A-f'(x))$$
したがって$x \in V$に
$$\|\phi'_y(x)\| \leq ||A^{-1}||||A-f'(x)||<1/2$$
$V$は開球なので,凸．よって
$$\|\phi_y(x_1) - \phi_y (x_2)\| \leq \frac{1}{2} ||x_1 - x_2||$$
これは，$\phi_y$は$V$で縮小写像であることを意味している．fixed point theorem, Theorem 7.6.2の前提は$f: X \rightarrow X$なので，$\phi_y(V)=V$とは限らないからfixed point の存在は言えないが，たかだか1つ存在するということは言える．したがって$f_{|V}$は単写である．
$W = f(V)$とする．$W$が開であることを示さない(もうめんどくさくなった)

微積分の基礎の復習はここまで．以後は機械学習とプログラミングに注力しよう．（広すぎ）