David Gamarnik, and John Tsitsiklis. 6.436J Fundamentals of Probability. Fall 2008. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA.
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Lecture 14. Moment Generating Functions
2. Sum of a Random Number of Independent Random Variables
X1,X2,...をi.i.d. なrandom variableの列とする.meanはμ, varianceはσ2とする.Nを非負整数をとる別のrandom variableとする. Y=∑NI=1Xiとし,Yの様々な統計量を考える.
まず
E[Y]=E[E[Y|N]]=E[Nμ]=E[N]E[X]
さらに, law of total varianceによって
var[Y]=E[var(Y|N)]+var(E[Y|N])=E[Nσ2]+var(Nμ)=E[N]σ2+μ2var(N)
またE[exp(sY)|N=n]=MnX(s)=exp(nlogMX(s))だから,
MY(s)=∑exp(nlogMX(s))P(N=n)=MN(logMX(s))
Example
Xiはexp(λ)に従う独立なrandom variableとする.またN∼geo(p)とすると
MY(s)=elogMX(s)p1−elogMX(s)(1−p)=pλ/(λ−s)1−λ(1−p)/(λ−s)=λpλp−s
∵MN(s)=∑np(1−p)n−1esn
このように,YM(s)はパラメータλpのexponential random variableのmoment generating functionと一致する.
cf.
X∼exp(λ)とすると,
MX(s)=∫∞0esxλe−λx=λ∫∞0ex(s−λ)=λ[1s−λex(s−λ)]∞0=λλ−s
inversion theoremからY∼exp(λp).exponential random variableの有限和はexponential出ないことを考えると驚くべき結果である. 後にPoisson processの視点から直感的な説明を与える.
3. Transfroms Associated wtih Joint Distributions
X,Yにjoint distribution(joint PDF)があるとき,MX(s)とMY(s)が導ける.これはmarginal distribution の変換で,もう一方のrandom variableとの関係性を保存しない. X,Yの関係を保存する変換を述べる. X1,...,Xnについて,s1,...,snを実数のパラメータとすると,associated multivariate transformをn変数関数
MX1,...,Xn(s1,...,sn)=E[es1X1+...+snXn)]
と定める.
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