Basic Analysis (Jiri Lebl) 29日目

CC BY-NC-SA 3.0

8.2 Analysis with vector spaces

8.2.1 Norms

Chapter 7では距離空間について論じた．距離空間を導く概念にnorm(ノルム)がある．集合にnormを定めると，そのnormから距離関数を導ける．

Definition 8.2.1

$X$をベクトル空間とする．$|| \cdot || : X \rightarrow \mathbb{R}$が次の(i)~(iii)を満たすとき，それをノルムという．
(i) $||x|| \geq 0$が常に成立し，特に$x=0 \Leftrightarrow ||x||=0$
(ii) $c \in \mathbb{R}, x \in X$として，$||cx|| = |c| ||x||$
(iii) $\forall x, y \in X, ||x+y|| \leq ||x|| + ||y||$

$\mathbb{R}^n$における標準ノルムを定める前に，標準ドット積を定める．
$x = (x_1, ..., x_n), y = (y_1, .., y_n) \in \mathbb{R}^n$について，
$$x \cdot y := \sum_{j=1}^n x_j y_j$$
を標準ドット積という．標準ドット積の一般化が内積である．標準ドット積を$\mathbb{R}^n$における標準内積とも呼ぶ．Euclidean normを,
$$||x || := ||x||_{\mathbb{R}^n} := \sqrt{x \cdot x} = \sqrt{ (x_1)^2 + \cdots + (x_n)^2}$$
と定める．$\mathbb{R}^n$には様々なノルムが定義できるが，単にノルムというとこれのことを指す．

これがノルムの条件を満たすことを示す．(i),(ii)は明らかで，(iii)は前章で示したが，重要なのでもう一度証明することにする．

Theorem 8.2.2 (Cauchy-Schwartz inequality)

$x, y \in \mathbb{R}^n$について，
$$|x \cdot y| \leq ||x||||y|| = \sqrt{x \cdot x} \sqrt{y \cdot y}$$
が成立．
proof.

$x, y$の少なくとも一方が$0$なら明らか．$x\neq 0, y\neq 0$とする．
$y = \lambda x$と書けるとき，$|\lambda y \cdot y| = |\lambda| ||y||^2 = ||\lambda y||||y||$.そうでない場合，
$$||x + ty||^2 = ||x||^2 + 2t(x \cdot y) + t^2 ||y||^2$$
は常に正になるから，この方程式は実数根を持たない．ゆえに$t$に関して解の公式を使って，
$$(x \cdot y) ^2 - ||x||^2||y||^2 < 0$$
が成立する．根をとれば，Cauchy-Scwartzの不等式になる．　以上より示せた．

さて，$||x+y|| \leq ||x|| + ||y||$を示す．両辺を二乗し，
$$||x||^2 + ||y||^2 + 2(x \cdot y) \leq ||x||^2 + ||y||^2 + 2||x||||y||$$
を言えばよい．整理すれば直ちにCauchy-Scwartzの不等式と同値になる．

Definition

$$d(x, y) = ||x -y ||$$
は$\mathbb{R}^n$における標準距離関数である．
一般に，ベクトル空間$X$とノルム$|| \cdot ||$があるとき，$x, y \in X$の差$d:(x, y) \mapsto ||x-y||$はとして関数$d$を定めると$d$は$X$上の距離関数となる

Definition 8.2.3

$A \in L(X, Y)$とする．
$$||A || := \sup \{||Ax|| : x \in X, ||x||=1\}$$
この演算子をのoperator norm(作用素ノルム)という．$||\cdot||_{L(X,Y)}$とも書く．
$||A \frac{x}{||x||}||_{L(X,Y)}= \frac{||Ax||_{L(X,Y)}}{||x||}$だから，
$$|| A ||_{L(X,Y)} = \sup_{x \neq 0} \frac{||Ax||}{||x||}$$
である．したがって
$$||Ax|| \leq ||A||_{L(X,Y)} ||x||$$
が成立する．また，$||A||=0 \Leftrightarrow \forall x Ax = 0$である．

今はベクトル空間が有限次元であるときのみ考えるが，無限次元ではかなり話が違ってくるので注意する．

Proposition 8.2.4

$X, Y$: 有限次元ベクトル空間とする．
$A \in L(X, Y)$とすると，$||A|| < \infty$であり，かあつ$A$は$||A||$をLipschitz定数としてLipschits連続($\Rightarrow$一様連続)である．

proof.

$X=\mathbb{R}^n, Y =\mathbb{R}^m$で，ノルムは標準ノルムとする．
$L=\{e_1, ..., e_n\}$を$X$の標準基底とし，$x \in \mathbb{R}^n, ||x||=1$を$x = \sum_j c_j e_j$と書ける．
$c_j = x \cdot e_j$であって， $|c_j| = |x_\cdot e_j| \leq ||x||||e_j||=1$が成立する．よって
$$||Ax|| = \left\| \sum_j c_j Ae_j\right\| \leq \sum_j |c_j| \left\|Ae_j\right\| \leq \sum_j \left\|Ae_j \right\| < \infty$$
が三角不等式とSchwartzの不等式より成立する．

さらに，$A \in L(X, Y)$について，$||A||<\infty$とすると，$v, w \in X$に
$$\| A(v-w) \| \leq \|A\| \| v-w\|$$
すなわち$A$は$||A||$をLipschitz定数としてLipschitz連続である．

Proposition 8.2.5

$X, Y, Z$をノルムを入れた有限次元ベクトル空間とする．
(i) $A, B \in L(X, Y), c \in \mathbb{R}$とすと，
$$|| A+B || \leq ||A|| + ||B||, ||cA|| = |c| ||A||$$
(ii) $A \in L(X, Y), B \in L(Y, Z)$とすると，
$$||BA|| \leq ||B||| ||A||$$
proof.

(i)
$$||(A+B)x|| = ||Ax+Bx|| \leq ||Ax||+||Bx|| \leq ||A||||x||+||B||||x|| = (||A||+||B||)||x||$$
よって$||A+B|| \leq ||A|| + ||B||$. 後半もほとんど同様．

(ii)
$$||BAx|| \leq ||B|||||Ax|| \leq ||B|||||A||||x||$$
よって成立．

Proposition 8.2.6

$X$を有限次元なベクトル空間とする．$U \subset L(X)$を可逆な作用素の集合とする．
(i) $A \in U, B \in L(X)$で，$||A-B|| < 1 / ||A^{-1}||$ならば$B$は可逆である.
(ii) $U$は開集合で，$A \mapsto A^{-1}$は$U$上の連続関数である
proof.

(i)
$A, A^{-1}$は線形だから，
$$A^{-1}(A-B)x = x - A^{-1}Bx$$
故に
$$\begin{aligned} ||x|| &= \|A^{-1}(A-B)x + A^{-1}Bx \| \\ &\leq \|A^{-1}\|\|A-B\|\|x\|+\|A^{-1}\|\|Bx\|\end{aligned}$$
$x \neq 0$であれば$\|x\| \neq 0$であり，仮定より
$||x|| < ||x|| + ||A^{-1}||||Bx||$が成立する．$||A^{1-}|| \neq 0$から任意の$x\neq 0$に$||Bx|| \neq 0$である．すなわち$B$は単車であり，$B: X \rightarrow X$が単車で，$X$hは有限次元だから，$B$は全単射．よって可逆．
(ii)
$A \in U$を固定する．$B$は$A$に近く可逆とする．つまり，$\|A-B\| \|A^{-1}\| < 1 /2$であるとする．このとき$y =Bx$とすると
$$\|B^{-1} y\| \leq 2 \|A^{-1}\| \|y\|$$
が成立する．したがって，$||B^{-1}|| \leq 2 ||A^{-1}||$である．
$$||B^{-1} - A^{-1}|| = || A^{-1}(A-B)B^{-1}|| \leq ||A^{-1}||||A-B||||B^{-1}||\leq 2 ||A^{-1}||^2 ||A-B||$$
が成立するから，$B \rightarrow A$によって$||B^{-1}-A^{-1}|| \rightarrow 0$.たしかに逆関数をとる操作は連続である．