Basic Analysis (Jiri Lebl) 一日目 実数の定義 1

Chapter 1. Real Numbers

実数を公理的に定義する

Definition 1.1.1

(i) $\forall x \in S \ \ x \leq x$
(ii) $x \leq y$ and $y \leq z \Rightarrow x \leq z$
(iii) $x \leq y$ and $y \leq x \Rightarrow x = y$
(iv) $x, y \in S \Rightarrow x \leq y$ or $y \leq x$
これらの命題を(i): 反射律 (ii): 推移律 (iii): 対象律 (iv): 全順序律という.

$S$ が$\leq$ を順序関係とする順序集合である
$\Leftrightarrow$ (i),(ii),(iii),(iv)をすべて満たす$S$とその関係の組$(S, \leq)$を全順序集合という.
(本では $<$ の関係を考えていたが,こっちのほうが標準的だろう.)

Definition 1.1.2

全順序集合$S$と部分集合$E$において, $b \in S$ で $\forall x \in E\ \ x \leq b$ なる$b$があるとき,$b$を$E$の上界といい, $E$は上に有界という. また$b_0$が$E$の上界であり,かつ$b_0 \leq b$なら$b$が$E$の上界であるとき,$b_0$を$E$の上限といい,$\sup E$と書く. 下界,下への有界,下限もほとんど同様に定義し, $E$の下限を $\inf E$と書く.

Definition 1.1.3

$S$の任意の上に有界かつ空でない部分集合$E$が常に上限を持つという性質をleast-upper-bound propertyとかcompleteness(完備性) という.

Example 1.1.4

$\{x\in \mathbb{Q} | x^2 < 2\}$ の上限は$S=\mathbb{R}$ とみると $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ だが,$\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}$ から,有理数全体の集合は完備でない.

Definition 1.1.7

体$F$が順序体である
$\Leftrightarrow$ $F$は体であり,かつ
(i) $x, y, z \in F, x< y \Rightarrow x + z < y + z$
(ii) $x, y \in F, x > 0, y> 0 \Rightarrow xy>0$