MIT OCW, Fundamentals of Probability Assignmets 1

David Gamarnik, and John Tsitsiklis. 6.436J Fundamentals of Probability. Fall 2008. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA.

Exercise 1.

(a) 可算個の可算集合の和は可算集合であることを示せ
(b) $\mathbb{Q}$が可算集合であることを示せ

答案.

(a) $A_i=\{a^i_1,a^i_2,...\}$が,$i=1,2,...$と可算個あるとき,$\cup_i A_i$の任意の元は$a^i_j$と書ける. $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}^2$なる全単射な写像が在ることを言えばよく,例えば
$n$について,$m(m+1)/2 \leq n < (m+1)(m+2)/2$なる$m$がただ一つあって,$n \mapsto (m(m+1)/2 - (m-n), n-m+1)$は条件を満たす.
(b) 任意の有理数は2つの正数の組で表せるから,(a)の単純な拡張で示せる.

Exercise 2.

$\{x_n\}, \{y_n\}$は実数列で,それぞれ$x, y \in\mathbb{R}$に収束するとする. $x_ny_n$が$xy$に収束することを示せ.

答案.

定義より$\forall \epsilon > 0 \exists N \text{ s.t. } n \geq N \Rightarrow |x_n-x|<\epsilon \land |y_n-y|<\epsilon$.よって$n \geq N$ならば
$$\begin{aligned}|x_ny_n - xy| &= |(x_n-x)(y_n-y)+x_ny + xy_n -2xy| \\ &\leq |x_n-x||y_n-y|+|x_ny+xy_n-2xy| \\ &\leq |x_n-x||y_n-y|+|y||x_n-x|+|x||y_n-y)| \\ &\leq \epsilon^2 + (|x|+|y|)\epsilon \end{aligned}$$
$|x|, |y|$は$n$によらないから,確かに$|x_ny_n-xy| \rightarrow 0 \Leftrightarrow x_ny_n \rightarrow xy$

Exercise 3.

$f: A \times B \rightarrow \mathbb{R}, A, B \neq \phi$とする.
(b) $$\sup_{x \in A} \inf_{y \in B} f(x, y) \leq \inf_{y\in B} \sup_{x \in A} f(x, y)$$
を示せ.

答案.

$\inf_{y \in B} f(x, y) \leq (f(x, y)) \leq \sup_{x \in A} f(x, y)$である. 左辺で$\sup$,右辺で$\inf$を取ると,成立.

Exercise 4.

$\{A_n\}$は集合列で,$\lim_n A_n = A \Leftrightarrow \forall \omega \lim I_{A_n}(\omega)=I_A(\omega)$を示せ.

答案.

$$\lim A_n = A \Leftrightarrow A= \cup_{k\in\mathbb{N}} \cap_{n \geq k} A_n = \cap_{k \in \mathbb{N}} \cup_{n \geq k} A_n$$
が集合列の極限の定義である.
$\omega \in \cap_{k \in \mathbb{N}} \cup_{n \geq k} A_n \Leftrightarrow [\exists N \text{ s.t. } n \geq N \Rightarrow \omega \in A_n ]$だから,問の右の矢印が成立.
ﾋﾞｰﾝもうだめ

Exercise 5. (The union bound)

$(\Omega, \mathcal{F})$はmeasurable spaceとする. $\{A_i\}\subset \mathcal{F}$は必ずしも互いに素でない集合列とする.
$$P(\cup_{i=1}^\infty A_i) \leq \sum_{i=1}^\infty P(A_i))$$
を示せ.

答案.

$B_1=A_1, B_i = A_i \backslash \cup_{j=1}^{n-1} A_i$とすると$\cup A_i = \cup B_i$で,$\{B_i\}$は互いに素,完全加法性から
$$P(\cup B_i) = \sum_{i} P(B_i)$$
だが,任意の$i$に$P(A_i) \geq P(B_i)$.以上より$\sum P(A_i) \geq P(\cup A_i) = P(\cup B_i) =\sum P(B_i)$

Exercise 6.

$\Omega = \mathbb{N}$とする. $\mathcal{F}_0$を,$\Omega \backslash A$か$A$の少なくとも一方が有限集合である$A$の集合とする. また,任意の$A \in \mathcal{F}_0$に,$A$が有限なら$P(A)=0$,$A^C$が有限なら$P(A)=1$とする.このとき,
(a) $\mathcal{F}_0$はfieldだが$\sigma$-fieldでないことを示せ.
(b) $P$は$\mathcal{F}_0$で有限加法性をもつことを示せ.
(c) $P$は$\mathcal{F}_0$で可算加法性を持たないことを示せ.
(d) $A_i \in \mathcal{F}_0, \cap_{i=1}^\infty A_i =\phi$, $\lim P(A_i)\neq 0$なる減少列$A_i$を構成せよ.

答案.

(a) $A_i = \{2, 4, ..., 2i\}$とする. $A=\cup_{i\geq 1} A_i=2\mathbb{N} = \{2i|i \in \mathbb{N}\}$とすると, $A, A^C$はともに無限集合で,$A \notin \mathcal{F}_0$よって$\sigma$-fieldでない.
また,$|\phi|=0$から$\phi \in \mathcal{F}_0$であり,明らかに$\mathcal{F}_0$は補集合に閉じている.さらに$A_1, A_2 \in \mathcal{F}_0$について,$|A_1|< \infty,|A_2|=\infty$ならば$|A_2^C|< \infty$であって, $A_2 \subset A_1 \cup A_2$だから$|(A_1\cup A_2)^C| < \infty$だから$A_1 \cup A_2 \in \mathcal{F}_0$. $A_1,A_2$の要素数の関係性が今示したものでないときは$A_1 \cup A_2 \in \mathcal{F}_0$なのは明らか.
(b),(c)　略
(d) $A_i = \{i,i+1, i+2, ...\}$とすると,$\cap_i\{A_i\}=\phi, P(A_i)=1 \rightarrow 1$