MIT OCW, Fundamentals of Probability 12日目 積分の順序交換

David Gamarnik, and John Tsitsiklis. 6.436J Fundamentals of Probability. Fall 2008. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA.

• • Lecture 13 Product Measure and Fubini’s Theorem
    • 1. Product Measure
    • 1.1, 1.2, 1.3 The Sample Space, $\sigma$-Field and Measure of the Joint Experiment
      • Definition 13-1
      • Theorem 13-1 (証明略)
    • 1.4 Beyond Probability Measures
    • 1.5 The Product Measure on $\mathbb{R}^2$
    • 2. Fubini’s Theorem
      • Theorem 13-2
      • Theorem 13-3
    • 4. An Application

Lecture 13 Product Measure and Fubini’s Theorem

1. Product Measure

$(\Omega_1, \mathcal{F}_1, P_1), (\Omega_2, \mathcal{F}_2, P_2)$と2つのprobability spaceを考える.ふたつのprobability spaceで独立にexperimentを行うとき,”joint experiment”とでも言うものを考え,それに対して新たなprobability spaceを与える.

1.1, 1.2, 1.3 The Sample Space, $\sigma$-Field and Measure of the Joint Experiment

明らかに新たなsample spaceは$\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2$.
$A_1 \in \mathcal{F}_1, A_2 \in \mathcal{F}_2$であれば,新しいprobability spaceでも$P(\omega_1 \in A_1, \omega_2 \in A_2)$という確率が知りたいので,新しい$\sigma$-fieldを以下のように定義する.

Definition 13-1

$$\mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2 := \sigma(\{A_1 \in \mathcal{F}_1, A_2 \in \mathcal{F}_2\})$$
は$\Omega_1 \times \Omega_2$上の$\sigma$-fieldである.$\mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2$はデカルト積ではない.
さらに,$(\Omega_1 \times \Omega_2, \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2)$上のprobability measure$P$を定義する.独立性を仮定しているから,
$$P(A_1 \times A_2) = P_1(A_1) P_2(A_2)$$
が成り立たなければならない.

Theorem 13-1 (証明略)

$$P(A_1 \times A_2 ) =P_1(A_1)P_2(A_2)$$
を満たす$P$は唯一つ存在する.この$P$を$P_1 \times P_2$とも書き,$P_1$と$P_2$のproduct measureと呼ぶ.

1.4 Beyond Probability Measures

$\Omega$の可算個の分割で,そのすべての分割にmeasure $\mu$が有限であるようにできるとき,$\mu$は$\sigma$-finiteという.$\{\mu_i\}$たちが$\sigma$-finiteであるとき,Theorem 13-1は成立する.

1.5 The Product Measure on $\mathbb{R}^2$

$(\mathbb{R}, \mathcal{B}, \lambda)$を2つ考えて節1のように新しいmeasure space
$$(\mathbb{R}^2, \mathcal{B} \times \mathcal{B}, \lambda_2)$$
を定義できる.ただし$\lambda$はLebesgue measureとする.$\lambda_2$は2次元Lebesgue measureという.
ところで$\mathcal{B} \times \mathcal{B}$は$\mathbb{R}^2$の開集合全体から導からる$\sigma$-fieldとして定義しても同じことである.

2. Fubini’s Theorem

Lebesgue積分の順序交換ができる条件を論じる.Lebesgue積分の勉強をしたいわけではないので結論だけ見る.$g: \Omega_1 \times \Omega_2 \rightarrow \mathbb{R}$はmeasurableとする.これは任意の$c \in \mathbb{R}$に$\{(\omega_1, \omega_2)| g(\omega_1, \omega_2) \leq c\}\in \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2$という条件に同値.
わかりやす measurable functionの例に

(a) 連続な$\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$はmeasurable
(b) measurable setのindicator functionはmeasurable
(c) measurable functionたちの加減乗算と極限操作はmeasurable

Theorem 13-2

$g: \Omega_1 \times \Omega_2 \rightarrow \mathbb{R}$は非負かつmeasurableで,$P = P_1 \times P_2$はこの上のproduct measureとする.このとき

(a) $\forall \omega_1 \in \Omega_1 \ \ g(\omega_1, \omega_2)$は$\omega_2$の関数としてmeasurable
(b) $\forall \omega_2 \in \Omega_2 \ \ g(\omega_1, \omega_2)$は$\omega_1$の関数としてmeasurable
(c) $\int_{\Omega_2} g(\omega_1, \omega_2) dP_2$ は$\omega_1$の関数としてmeasurable
(d) $\int_{\Omega_1} g(\omega_1, \omega_2) dP_1$ は$\omega_2$の関数としてmeasurable
(e) $$\begin{aligned} \int_{\Omega_1}\left[\int_{\Omega_2} g(\omega_1, \omega_2) dP_2 \right]dP_1 &= \int_{\Omega_2} \left[ \int_{\Omega_1} g(\omega_1, \omega_2) dP_1 \right]dP_2 \\ &= \int_{\Omega_1 \times \Omega_2} g(\omega_1, \omega_2) dP \end{aligned}$$

Theorem 13-2は$g$が非負であると仮定していて,積分が$\infty$であることを禁じていない.関数がintegrableとは,積分が$\infty$未満の実数に確定することであった.関数の絶対値の二重積分がintegrableであるとき,順序交換できるというのがTheorem 13-3の主張である.

Theorem 13-3

$g: \Omega_1 \times \Omega_2 \rightarrow \mathbb{R}$がemasurableで,かつ
$$\int_{\Omega_1 \times \Omega_2} |g(\omega_1, \omega_2)| dP < \infty$$
であるとする.このとき

(a) $\omega_1 \in \Omega_1, a.e.$に$g(\omega_1, \omega_2)$は$\omega_2$の関数としてintegrable
(b) $\omega_2 \in \Omega_2, a.e.$に$g(\omega_1, \omega_2)$は$\omega_1$の関数としてintegrable
(c) $\int_{\Omega_2} g(\omega_1, \omega_2) dP_2 = h(\omega_1)\ a.s.$となる$h: \Omega_1 \rightarrow \mathbb{R}$が存在する.
(d) $\int_{\Omega_1} g(\omega_1, \omega_2) dP_1 = h(\omega_2)\ a.s.$となる$h: \Omega_2 \rightarrow \mathbb{R}$が存在する.
(e) $$\begin{aligned} \int_{\Omega_1}\left[\int_{\Omega_2} g(\omega_1, \omega_2) dP_2 \right]dP_1 &= \int_{\Omega_2} \left[ \int_{\Omega_1} g(\omega_1, \omega_2) dP_1 \right]dP_2 \\ &= \int_{\Omega_1 \times \Omega_2} g(\omega_1, \omega_2) dP \end{aligned}$$

4. An Application

基本的な確率論の定理をFubini’s Theoremを使って証明する.

$X$を非負なrandom variableとする.このとき
$$E[X] = \int^{\infty}_0 P(X \geq x)$$

を示す.

proof.

$A = \{(w, x) | 0 \leq x \leq X(w)\}$とする.このとき
$$E[X] = \int_{\Omega} X(w)dP = \int_{\Omega} \int^{\infty}_0 1_A(w, x)dxdP$$
Fubini’s theoremを適用して
$$E[X] = \int^\infty_0 \int_\Omega 1_A(w, x) dPdx$$
$\int_{\Omega} 1_A(w, x)dP$というのは$x$を固定して$1_A(w, x)$を$w$の関数と考えているので,
$1_A(w,x) = \begin{cases} 1 \ \ \ &(w \geq x) \\ 0 & (w < x) \end{cases}$よって$\int_{\Omega} 1_A(w, x)dP = P(X \geq x)$
以上より
$$E[X] = \int^\infty_0 P(X \geq x)$$
(Fubini’s theoremが使える条件をみたしているかの判定は略した)